2025-2026学年湖南省长沙市雨花区华益中学九年级（下）入学数学试卷(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年湖南省长沙市雨花区华益中学九年级（下）入学数学试卷(含部分答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 142.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年湖南省长沙市雨花区华益中学九年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一.下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为0.0000000058m,是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域.将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A. 5.8×10-9 B. 5.8×10-10 C. 0.58×10-9 D. 0.58×10-10
3.下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A. a3+a4=a7 B. a a2=a2 C. a4-a2=a2 D. （3a）2=9a2
4.一组数7、9、11、11、15，若将每个数都加20，下列不会改变的量是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
5.将点（-2，-3）向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（ ）
A. （-5，2） B. （1，2） C. （-5，-8） D. （1，-8）
6.如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠ACB=65°，∠DCE=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A. 85° B. 80° C. 70° D. 100°
7.下列有关一次函数y=2025x-2026的说法中，正确的是（ ）
A. y的值随着x值的增大而减小
B. 函数图象与y轴的交点坐标为（0，-2026）
C. 当x＜0时，y＞-2026
D. 函数图象经过第一、二、四象限
8.物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长OB=3dm,∠AOB=60°，则的长是（ ）
A. πdm
B.
C. 2πdm
D. 3πdm
9.如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度为x m,根据题意所列方程为（ ）
A. （40-2x）（22-x）=520 B. （40-x）（22-x）=520
C. （40-x）（22-2x）=520 D. （40-x）（22+x）=520
10.已知实数a、b、c满足（a-b）2=ab=c,则下列选项正确的是（ ）
A. 当c≠0时，
B. 当c=5时，a+b=5
C. 当a、b、c中有两个相等时，c=0
D. 二次函数y=x2+bx-c与一次函数y=ax+1的图象只有一个交点
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：a2-7a= ______.
12.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 .
13.甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，.则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 .
14.如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若∠BOD=144°，则∠BCE的度数为 °.
15.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED=∠BEC，DE=4，则BE的长为 .
16.如图，若菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再从-3，0，3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
（1）求∠BCD的度数；
（2）若BC=2.5，求AD的长.
20.(本小题6分)
某地区的一所初级中学为了了解九年级学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了该校部分九年级学生的兴趣爱好，并将本次调查的结果绘制成如下两幅统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了______名学生；
（2）补全条形统计图，并计算爱好运动部分圆心角是______度；
（3）该校想从喜欢上网的九年级学生中选取两位同学分享“网络对学习的影响”，但目前报名分享的同学有四名（2男2女），求选出恰好是一男一女的概率.
21.(本小题6分)
在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑.这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许.小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取A，B两点，点B在点A的右侧，AB相距24m.在点A处测得这座建筑的顶端的仰角为60°，在点B处测得这座建筑顶端的仰角为45°，测角仪的高度忽略不计.
（1）求点A到“天下第一笋”底部的水平距离；
（2）求这座“天下第一笋”的高度.（结果精确到0.1m.参考数据
22.(本小题6分)
老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷.”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一.德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲.小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包.阿姨说：“一共34元.”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧.阿姨说：“可以，但还需补交5元钱.”
（1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价；
（2）如果小何一共有50元，需要买20个包子，他最多可以买几个香菇肉包呢？
23.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF、AF、DE，AF与DE相交于点O.
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=4，OE=3，BF=2，求tan∠AFB的值.
24.(本小题24分)
在平面直角坐标系中，对于直线y=p（p为常数）与抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I.若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II.若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”；
III.若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”.
请你根据该约定，解决下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）；
①直线y=2是抛物线y=-x2+4x-3的“水平双交线”：______；
②若直线y=p-2是抛物线y=x2+2x-3的“水平单交线”，则p=-2；______；
③若直线y=p是抛物线y=-x2+2hx-h2+2026的“水平无交线”，则p＜2026.______.
（2）若直线y=-a是抛物线y=-ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的“水平单交线”，则x轴是该抛物线的“______”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由；
（3）若直线y=-a,x轴，直线y=a均是抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a＞0）的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为l1，l2，l3.
①求l3的长度的取值范围；
②请问是否存在实数k,使得l1，k l2，l3这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：1：2？若存在，求出k的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由.（注：k l2表示一条长度等于l2的k倍的线段）
25.(本小题6分)
如图，△ABD中，AB=AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF∥BD，连接CF，CF⊥AD于点E.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S3，若，求（tanB）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】a（a-7）
12.【答案】x＞2026
13.【答案】丙
14.【答案】72
15.【答案】8
16.【答案】
17.【答案】-1．
18.【答案】，当x=3时，原式=0．
19.【答案】解：（1）∵AB=AC，∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°，
由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，
∴；
（2）∵∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，且∠B=72°，
∴∠BDC=∠B，
∴CD=CB，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∴AD=BC=2.5．
20.【答案】100 ；144
21.【答案】32.8m；
56.8 m．
22.【答案】解：（1）设香菇肉包的单价是x元，酸菜包的单价是y元，
由题意得，
解得，
答：香菇肉包的单价是1.5元，酸菜包的单价是1元；
（2）设可以买m个香菇肉包，则可以买（20-m）个酸菜包，
由题意得：3m+2×（20-m）≤50，
解得：m≤10，
答：小何最多可以买10个香菇肉包．
23.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵CF=BE，
∴CF+CE=BE+CE，
∴EF=BC=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形
24.【答案】×;√;× x轴是抛物线y=-ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“水平无交线”；理由如下：
∵直线y=-a是抛物线y=-ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“水平单交线”，
∴-ax2+bx+c=-a即ax2-bx-c-a=0有两个相等的实根，
∴Δ=（-b）2-4a（-c-a）=0，
∴b2+4ac=-4a2，
∵a≠0，
∴-4a2＜0，
当y=-ax2+bx+c=0（a≠0）时，
∴Δ=b2+4ac=-4a2＜0，
∴函数y=-ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴x轴是抛物线y=-ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“水平无交线” ①；②存在，k的值为，此时二次函数的最小值-3a
25.【答案】如图，连接OC，
∵点C是BD的中点，点O是AB的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥AD，
∵CF⊥AD，
∴CF⊥OC，
∵OC是半径，
∴CF为⊙O的切线
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一.下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为0.0000000058m,是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域.将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A. 5.8×10-9 B. 5.8×10-10 C. 0.58×10-9 D. 0.58×10-10
3.下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A. a3+a4=a7 B. a a2=a2 C. a4-a2=a2 D. （3a）2=9a2
4.一组数7、9、11、11、15，若将每个数都加20，下列不会改变的量是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
5.将点（-2，-3）向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（ ）
A. （-5，2） B. （1，2） C. （-5，-8） D. （1，-8）
6.如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠ACB=65°，∠DCE=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A. 85° B. 80° C. 70° D. 100°
7.下列有关一次函数y=2025x-2026的说法中，正确的是（ ）
A. y的值随着x值的增大而减小
B. 函数图象与y轴的交点坐标为（0，-2026）
C. 当x＜0时，y＞-2026
D. 函数图象经过第一、二、四象限
8.物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长OB=3dm,∠AOB=60°，则的长是（ ）
A. πdm
B.
C. 2πdm
D. 3πdm
9.如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度为x m,根据题意所列方程为（ ）
A. （40-2x）（22-x）=520 B. （40-x）（22-x）=520
C. （40-x）（22-2x）=520 D. （40-x）（22+x）=520
10.已知实数a、b、c满足（a-b）2=ab=c,则下列选项正确的是（ ）
A. 当c≠0时，
B. 当c=5时，a+b=5
C. 当a、b、c中有两个相等时，c=0
D. 二次函数y=x2+bx-c与一次函数y=ax+1的图象只有一个交点
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：a2-7a= ______.
12.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 .
13.甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，.则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 .
14.如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若∠BOD=144°，则∠BCE的度数为 °.
15.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED=∠BEC，DE=4，则BE的长为 .
16.如图，若菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再从-3，0，3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
（1）求∠BCD的度数；
（2）若BC=2.5，求AD的长.
20.(本小题6分)
某地区的一所初级中学为了了解九年级学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了该校部分九年级学生的兴趣爱好，并将本次调查的结果绘制成如下两幅统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了______名学生；
（2）补全条形统计图，并计算爱好运动部分圆心角是______度；
（3）该校想从喜欢上网的九年级学生中选取两位同学分享“网络对学习的影响”，但目前报名分享的同学有四名（2男2女），求选出恰好是一男一女的概率.
21.(本小题6分)
在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑.这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许.小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取A，B两点，点B在点A的右侧，AB相距24m.在点A处测得这座建筑的顶端的仰角为60°，在点B处测得这座建筑顶端的仰角为45°，测角仪的高度忽略不计.
（1）求点A到“天下第一笋”底部的水平距离；
（2）求这座“天下第一笋”的高度.（结果精确到0.1m.参考数据
22.(本小题6分)
老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷.”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一.德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲.小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包.阿姨说：“一共34元.”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧.阿姨说：“可以，但还需补交5元钱.”
（1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价；
（2）如果小何一共有50元，需要买20个包子，他最多可以买几个香菇肉包呢？
23.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF、AF、DE，AF与DE相交于点O.
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=4，OE=3，BF=2，求tan∠AFB的值.
24.(本小题24分)
在平面直角坐标系中，对于直线y=p（p为常数）与抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I.若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II.若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”；
III.若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”.
请你根据该约定，解决下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）；
①直线y=2是抛物线y=-x2+4x-3的“水平双交线”：______；
②若直线y=p-2是抛物线y=x2+2x-3的“水平单交线”，则p=-2；______；
③若直线y=p是抛物线y=-x2+2hx-h2+2026的“水平无交线”，则p＜2026.______.
（2）若直线y=-a是抛物线y=-ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的“水平单交线”，则x轴是该抛物线的“______”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由；
（3）若直线y=-a,x轴，直线y=a均是抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a＞0）的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为l1，l2，l3.
①求l3的长度的取值范围；
②请问是否存在实数k,使得l1，k l2，l3这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：1：2？若存在，求出k的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由.（注：k l2表示一条长度等于l2的k倍的线段）
25.(本小题6分)
如图，△ABD中，AB=AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF∥BD，连接CF，CF⊥AD于点E.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S3，若，求（tanB）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】a（a-7）
12.【答案】x＞2026
13.【答案】丙
14.【答案】72
15.【答案】8
16.【答案】
17.【答案】-1．
18.【答案】，当x=3时，原式=0．
19.【答案】解：（1）∵AB=AC，∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°，
由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，
∴；
（2）∵∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，且∠B=72°，
∴∠BDC=∠B，
∴CD=CB，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∴AD=BC=2.5．
20.【答案】100 ；144
21.【答案】32.8m；
56.8 m．
22.【答案】解：（1）设香菇肉包的单价是x元，酸菜包的单价是y元，
由题意得，
解得，
答：香菇肉包的单价是1.5元，酸菜包的单价是1元；
（2）设可以买m个香菇肉包，则可以买（20-m）个酸菜包，
由题意得：3m+2×（20-m）≤50，
解得：m≤10，
答：小何最多可以买10个香菇肉包．
23.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵CF=BE，
∴CF+CE=BE+CE，
∴EF=BC=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形
24.【答案】×;√;× x轴是抛物线y=-ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“水平无交线”；理由如下：
∵直线y=-a是抛物线y=-ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“水平单交线”，
∴-ax2+bx+c=-a即ax2-bx-c-a=0有两个相等的实根，
∴Δ=（-b）2-4a（-c-a）=0，
∴b2+4ac=-4a2，
∵a≠0，
∴-4a2＜0，
当y=-ax2+bx+c=0（a≠0）时，
∴Δ=b2+4ac=-4a2＜0，
∴函数y=-ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴x轴是抛物线y=-ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“水平无交线” ①；②存在，k的值为，此时二次函数的最小值-3a
25.【答案】如图，连接OC，
∵点C是BD的中点，点O是AB的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥AD，
∵CF⊥AD，
∴CF⊥OC，
∵OC是半径，
∴CF为⊙O的切线
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