2025-2026学年广东省惠州市惠城区惠泽学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省惠州市惠城区惠泽学校九年级（下）开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 151.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省惠州市惠城区惠泽学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.关于x的方程x2-6x+3=0，下列说法错误的是（ ）
A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为-6 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程
3.长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABO=30°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 50°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7.若反比例函数的图象经过点（3，-4），则它的图象一定经过的点是（ ）
A. （-2，-6） B. （-3，4） C. （6，2） D. （-12，-1）
8.由抛物线y=-3x2平移而得到抛物线y=-3（x-1）2+2，下列平移正确的是（ ）
A. 向右平移1个单位，向上平移2个单位 B. 向右平移1个单位，向下平移2个单位
C. 向左平移1个单位，向上平移2个单位 D. 向左平移1个单位，向下平移2个单位
9.如图，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，使边B′C′恰好经过点C，若∠ACB=75°，则∠BAB′的度数为（ ）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
10.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），下列结论一定正确的是（ ）
A. m+n=2
B.
C. mn=2
D. m-n=1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x1，x2是方程x2-3x+2=0的实数根，则x1+x2-x1x2= .
12.已知点P（a,b）与P1（6，-3）关于原点对称，则a+b= .
13.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-1），则这个二次函数的解析式为______.
14.若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是6π，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点B1，连接OB1，以点B1为直角顶点作等腰直角△OA1B1，点A1在x轴上，过点A1作A1B2∥OB1交反比例函数图象于点B2，过点B2作B2A2∥A1B1交x轴于点A2，过点A2作A2B3∥A1B2交反比例函数图象于点B3，过点B3作B3A3∥A2B2交x轴于点A3，…，按此规律依次作图，则A2026的坐标为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
阅读下列关于解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问题.
解：x2-2x=9①
x2-2x+1=9②
（x-1）2=9③
x-1=3或x-1=-3④
∴x1=4，x2=-2⑤
（1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号）；
（2）请你写出正确的解答过程.
17.(本小题7分)
2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情.我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：A（篮球），B（羽毛球），C（乒乓球），D（足球）.如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图.
（1）本次统计的总份数为______份，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中B类所对应的圆心角度数为______°；
（3）本次调查比较喜爱的球类运动C（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率.
18.(本小题7分)
如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上.
（1）将△ABC由左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2；
（3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 ______ .
19.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=，∠ABC=60°，求线段AF的长.
20.(本小题10分)
某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
21.(本小题10分)
如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数.若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.
（1）将水从20℃加热到100℃需要______min；
（2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式；
（3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作PM⊥l,垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标.
23.(本小题12分)
正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y=（x＞0）.
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y=（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】-3
13.【答案】y=2（x+2）2-3
14.【答案】135°
15.【答案】
16.【答案】② x2-2x-9=0，
x2-2x=9，
x2-2x+1=9+1，
（x-1）2=10，
则x-1=，
所以
17.【答案】100 72 （3）
18.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求；
（3）．
19.【答案】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC=∠CAE，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠D=90°，CD=，
∴AD==3，
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°，
∴AF=2AD=6．
20.【答案】y=-10x2+40x+600（0≤x≤4且x为整数） 每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元 不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元
21.【答案】3.2；
；
一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7.2min．
22.【答案】解：（1）设直线l的解析式为y=mx+n（m≠0），
∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-6），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y=x-6；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k（a≠0），
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴y=a（x-1）2+k,
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-；
（3）∵A（6，0），B（0，-6），
∴OA=OB=6，
在△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l,
∴∠PCA=∠PMD=90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA=90°，∠OAB=45°，
∴∠ADC=45°，
∴∠PDM=∠ADC=45°，
在Rt△PMD中，∠PMD=90°，∠PDM=45°，
∴sin45°=，
∴PM=PD，
∵y=（x-1）2-=x2-x-6，
∴设点P（t,t2-t-6），
∴D（t,t-6），
∴PD=t-6-（t2-t-6）=-t2+t=-（t-3）2+，
∵-＜0，
∴当t=3时，PD有最大值是，此时PM最大，
PM=PD=×=，
当t=3时，t2-t-6=×9-×3-6=-，
∴P（3，-），
∴PM的最大值是，此时点P（3，-）．
23.【答案】解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3，
故反比例函数表达式为：y=；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E横坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积=S正方形A′B′C′D′-S△A′B′E-S△A′D′F-S△EFC′=2×2×2×-2×1-××1=
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2=（3-）2+（2-1）2=，EP2=（m-3）2+1，PF2=（m-）2+4，
当EF=EP时，即=（m-3）2+1，解得：m=（舍去）或；
当EF=PF时，同理可得：方程无实数根，舍去；
当EP=PF时，同理可得：m=，
故点P的坐标为：（，0）或（，0）．
第1页，共1页
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.关于x的方程x2-6x+3=0，下列说法错误的是（ ）
A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为-6 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程
3.长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABO=30°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 50°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7.若反比例函数的图象经过点（3，-4），则它的图象一定经过的点是（ ）
A. （-2，-6） B. （-3，4） C. （6，2） D. （-12，-1）
8.由抛物线y=-3x2平移而得到抛物线y=-3（x-1）2+2，下列平移正确的是（ ）
A. 向右平移1个单位，向上平移2个单位 B. 向右平移1个单位，向下平移2个单位
C. 向左平移1个单位，向上平移2个单位 D. 向左平移1个单位，向下平移2个单位
9.如图，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，使边B′C′恰好经过点C，若∠ACB=75°，则∠BAB′的度数为（ ）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
10.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），下列结论一定正确的是（ ）
A. m+n=2
B.
C. mn=2
D. m-n=1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x1，x2是方程x2-3x+2=0的实数根，则x1+x2-x1x2= .
12.已知点P（a,b）与P1（6，-3）关于原点对称，则a+b= .
13.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-1），则这个二次函数的解析式为______.
14.若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是6π，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点B1，连接OB1，以点B1为直角顶点作等腰直角△OA1B1，点A1在x轴上，过点A1作A1B2∥OB1交反比例函数图象于点B2，过点B2作B2A2∥A1B1交x轴于点A2，过点A2作A2B3∥A1B2交反比例函数图象于点B3，过点B3作B3A3∥A2B2交x轴于点A3，…，按此规律依次作图，则A2026的坐标为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
阅读下列关于解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问题.
解：x2-2x=9①
x2-2x+1=9②
（x-1）2=9③
x-1=3或x-1=-3④
∴x1=4，x2=-2⑤
（1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号）；
（2）请你写出正确的解答过程.
17.(本小题7分)
2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情.我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：A（篮球），B（羽毛球），C（乒乓球），D（足球）.如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图.
（1）本次统计的总份数为______份，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中B类所对应的圆心角度数为______°；
（3）本次调查比较喜爱的球类运动C（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率.
18.(本小题7分)
如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上.
（1）将△ABC由左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2；
（3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 ______ .
19.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=，∠ABC=60°，求线段AF的长.
20.(本小题10分)
某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
21.(本小题10分)
如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数.若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.
（1）将水从20℃加热到100℃需要______min；
（2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式；
（3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作PM⊥l,垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标.
23.(本小题12分)
正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y=（x＞0）.
（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y=（x＞0）的关系式；
（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，
①求△A'EF的面积；
②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】-3
13.【答案】y=2（x+2）2-3
14.【答案】135°
15.【答案】
16.【答案】② x2-2x-9=0，
x2-2x=9，
x2-2x+1=9+1，
（x-1）2=10，
则x-1=，
所以
17.【答案】100 72 （3）
18.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求；
（3）．
19.【答案】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC=∠CAE，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠D=90°，CD=，
∴AD==3，
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°，
∴AF=2AD=6．
20.【答案】y=-10x2+40x+600（0≤x≤4且x为整数） 每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元 不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元
21.【答案】3.2；
；
一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7.2min．
22.【答案】解：（1）设直线l的解析式为y=mx+n（m≠0），
∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-6），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y=x-6；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k（a≠0），
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴y=a（x-1）2+k,
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-；
（3）∵A（6，0），B（0，-6），
∴OA=OB=6，
在△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l,
∴∠PCA=∠PMD=90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA=90°，∠OAB=45°，
∴∠ADC=45°，
∴∠PDM=∠ADC=45°，
在Rt△PMD中，∠PMD=90°，∠PDM=45°，
∴sin45°=，
∴PM=PD，
∵y=（x-1）2-=x2-x-6，
∴设点P（t,t2-t-6），
∴D（t,t-6），
∴PD=t-6-（t2-t-6）=-t2+t=-（t-3）2+，
∵-＜0，
∴当t=3时，PD有最大值是，此时PM最大，
PM=PD=×=，
当t=3时，t2-t-6=×9-×3-6=-，
∴P（3，-），
∴PM的最大值是，此时点P（3，-）．
23.【答案】解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），
∴点D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3，
故反比例函数表达式为：y=；
（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），
则平移后点E横坐标为3，则点E（3，1），
同理点F（，2），
△A'EF的面积=S正方形A′B′C′D′-S△A′B′E-S△A′D′F-S△EFC′=2×2×2×-2×1-××1=
（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），
设点P（m，0），
则EF2=（3-）2+（2-1）2=，EP2=（m-3）2+1，PF2=（m-）2+4，
当EF=EP时，即=（m-3）2+1，解得：m=（舍去）或；
当EF=PF时，同理可得：方程无实数根，舍去；
当EP=PF时，同理可得：m=，
故点P的坐标为：（，0）或（，0）．
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