2025-2026学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）综评数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）综评数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在物理实验中，某弹簧测力计的初始示数为55N，若以此示数为基准，当示数为57N时记为+2N，那么当示数为52.5 N时应记为（　　）
A. -2.5N B. -2N C. +2.5N D. +50N
2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化.如图为部分“卦”的符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）
A. x2-2x=0 B. x2-2x+1=0 C. x2-2x+2=0 D. x2-2x-2=0
5.如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB=1，BC=2，EF=2，CE=4，点P在边GF上，且PF=CQ，连结AC和PQ，点N是AC的中点，M是PQ的中点，则MN的长为（　　）
A. 3 B. 6 C. D.
6.如图，在△ABD中，AB=AD.利用尺规作图作菱形ABCD.第1步：作BD的中垂线l交BD于点O.完成下述第2步作法后，不一定能作出菱形的是（　　）
A. 以D为圆心，DA的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连结BC，CD
B. 在直线l上截取OC=OA（A，C不重合），连结BC，CD
C. 以B为圆心，BD的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连结BC，CD
D. 过点D作AB的平行线，交直线l于点C，连结BC，CD
7.若反比例函数的图象上有两点A（-1，m），B（2，n），则m,n的关系是（　　）
A. m＞n B. m＜n C. m≥n D. m≤n
8.哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m,哥哥骑自行车每分钟行驶160m,如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　）
A. A点表示哥哥已经到达学校 B. 哥哥与弟弟相距的最大距离是500米
C. 他们家与学校之间的距离为800米 D. BC的函数表达式为y=-100x+1000
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.抛掷一枚质地均匀的1元硬币1次，反面朝上的概率是 .
10.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共50本供学生阅读，其中甲种读本的单价为8元/本，乙种读本的单价为6元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为 元.
11.如图，△ABC内接于⊙O，点E是弧AC的中点，连接BE，AD平分∠BAC交线段BE于点D，过点E作EF∥AC交BC的延长线于点F.若，CF=6，，则△ABE的面积为 .
12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AM平分∠BAC，交BD、BC于点P、M，连接MD，当OP=1，∠BAM=∠BDC时，点C到MD的距离为 .
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题10分)
（1）化简：，
（2）计算：.
14.(本小题10分)
为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间，学校随机抽取一部分学生，对学生幅月的劳动时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘削了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）调查学生的人数为______，m=______，扇形统计图中E组对应的圆心角为______度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数.
15.(本小题10分)
博物院是一座城市重要的公共文化窗口.十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的.
（1）求该学习小组的实际参观人数；
（2）参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为10元和8元，若该小组每个参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买多少套“长信宫灯”纪念卡？
16.(本小题10分)
如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG.设∠ACB=α.
（1）用含α的代数式表示∠BFD；
（2）求证：△BDE≌△FDG；
（3）如图2，AD为⊙O的直径.
①当的长为2时，求的长；
②当OF：OE=4：11时，求的值.
17.(本小题10分)
【阅读理解】：
关于x的函数y=mx-2m-3（m为常数，且m≠0），经过某个定点，请求出定点的坐标.
方法一：先将等式化为（x-2）m=y+3的形式，再根据0m=0时有m无数多个解，求得定点的坐标为（2，-3）；
方法二：当m=1时，y=x-5；当m=2时，y=2x-7；
解方程组解得，
∴求得定点的坐标为（2，-3）
【模仿练习】
关于x的二次函数 y=mx2+（2m+1）x+1（为常数，且 m≠0），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-（x-1）（|x|-3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）计算x与y的几组对应值，其中m= ______；
列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …

（2）如图，在直角坐标系中用描点法画出了函数y=-（x-1）（|x|-3）这个图象；
（3）若直线y=tx-2t+2与函数y=-（x-1）（|x|-3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围.
18.(本小题14分)
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片ABCD的边所在的射线AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P.
判断：根据以上操作，图1中AP与EF的数量关系：______.
（2）迁移探究
在（1）条件下，若点E是AD的中点，如图2，延长CF交AB于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段BQ的长度，如果不确定，说明理由；
（3）拓展应用
在（1）条件下，如图3，CE，DF交于点G，取CG的中点H，连接BH，求BH的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】6（50-x）
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】解：（1）原式=[-]（a+3）
=（a+3）
=（a+3）
= （a+3）
=3；
（2）原式=1-4+3+-2
=-2．
14.【答案】100;40;14.4 580名
15.【答案】解：（1）设该学习小组的实际参观人数为x人，
根据题意得：=×，
解得：x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意．
答：该学习小组的实际参观人数为15人；
（2）设购买y套“长信宫灯”纪念卡，则购买（15-y）套“错金铜博山炉”纪念卡，
根据题意得：10y+8（15-y）≤140，
解得：y≤10，
∴y的最大值为10．
答：最多购买10套“长信宫灯”纪念卡．
16.【答案】解：（1）∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α①，
又∵∠AFB+∠BFD=180°②，
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°-；
（2）由（1）得∠BFD=90°-，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-，
∴DB=DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD=∠DFG，
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，
∵DE=DG，
∴∠DGE=（180°-∠FDG）=90°-，
∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=，
∴与所对的圆心角度数之比为3：2，
∴与的长度之比为3：2，
∵的长为2，
∴的长为3；
②连接OB，作BM⊥AD于M，
由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM=MF，
设OE=11，OF=4，
设DE=m,则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，
∴OB2-OM2=BD2-DM2，
即（m+11）2-3.52=（m+15）2-（m+7.5）2，
解得m=5或m=-12（舍去），
∴cos∠BDM==．
即．
17.【答案】-4； 见解答； t＜-2.5或t=-2．
18.【答案】AP=EF；
点Q的位置确定；BQ=9，理由见解析；
BH的最小值为．
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