2025-2026学年重庆市巴蜀科学城中学八年级（下）入学数学试卷-（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年重庆市巴蜀科学城中学八年级（下）入学数学试卷-（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 159.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年重庆市巴蜀科学城中学八年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当a是什么实数时，在实数范围内有意义（ ）
A. a≥-1 B. a≥1 C. a＞-1 D. a＞1
2.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=0 B. x≠0 C. x≠1 D. x≠0且x≠1
4.若a≠b,则下列分式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD=BC
B. AB=CD，AD=BC
C. ∠A=∠B，∠C=∠D
D. AB=CD，∠B=∠DAB
6.地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命.在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.000 000 2米.将数字0.000 000 2用科学记数法表示为（ ）
A. 2×10-7 B. 2×10-8 C. 2×10-9 D. 20×10-8
7.估计的值应在（ ）
A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间
8.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，，AD=AE=2，∠BAD=30°，F、G分别为DE、BC中点，连接FG，则FG长度为（ ）
A. B. C. 4 D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=8，点D为AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△B′CD，过点A作AF∥BC交DB′于点E，交CB′于点F，若AE=B′E，则BD的长为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.已知单项式串：a1x,，， ，，其中a1=2，a2， ，an，n均为正整数，且1≤a1≤a2≤ an≤n.规定：T1=a1x+1，， ，，整式Tn的所有系数之和记作F（n）.例如：因为T1=a1x+1，所以F（1）=a1+1；因为，所以F（2）=a2+a1+2.（ ）
A. 当n=2时，满足条件的所有整式T2的和为5x2+4x+6
B. 当n=3时，F（3）的值有10种不同的可能
C. 若为整数，则满足条件的所有整数x之和为-6
D. 以上说法都不对
三、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
11.因式分解：m2-12m+36= .
12.某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少36°，则该正多边形的边数为
13.若，则= .
14.如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，F是边CB延长线上一点，连接AE，AF，EF，若AE⊥AF，，，则△CEF的面积为 .
15.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm.（杯壁厚度不计）
16.如图，△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，AD=2，∠ABD=30°，取AB中点E，连结CE，若CE平分∠ACB，则BC= .
17.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为16，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
18.如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，AC=16，BD=12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE=4，则BF的长等于______．
19.若关于x的不等式组无解，关于y的分式方程有负数解，则符合条件的所有整数a的和为 .
20.一个四位自然数N，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称N为“city数”.若将一个“city数”N的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数N′.规定.例如：N=1283，∵1+8=9，2+3=5，∴1283是“city数”，则.若“city数”N=6431，则F（6431）= ；已知是“city数”（a,b,c,d均为正整数），若F（T）+3b+2c-2被7整除，则满足条件的T的最大值是 .
四、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
计算：
（1）；
（2）（a-b）（a+5b）-（a+b）2；
（3）（-）2÷（）-3 x-1；
（4）.
22.(本小题7分)
先化简，再求值：，请从-3、-2、0、3中选取合适的x的值代入.
23.(本小题7分)
学行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O.（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O.求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴∠ECO= ______ .
∵EF垂直平分AC，
∴ ______ .
又∠EOC= ______ ，
∴△COE≌△AOF（ASA）.
∴OE=OF.
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ______ .
24.(本小题7分)
红星超市购入盒装纯牛奶和酸奶共240盒.已知酸奶的进价比纯牛奶高25%，纯牛奶的进货总费用为400元，酸奶的进货总费用为700元.
（1）求纯牛奶和酸奶的进价分别是每盒多少元；
（2）该批纯牛奶按每盒6.5元的单价全部售出.酸奶因保质期较短，先以每盒8元的价格售出总量的，剩余部分降价促销并全部卖完.若该批纯牛奶与酸奶的总利润不低于600元，则酸奶降价后的单价至少应为每盒多少元？
25.(本小题7分)
阅读与理解：
勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：
以Rt△ABC的三边分别向外作三个正方形；延长DE和MN交于点Q，连接QC并延长分别交AB和FI于点P，G，延长FA交DE于点H，延长IB交QN于点T.
然后，通过证明△ACB≌△CEQ，得到∠CAB=∠ECQ，QC=AB，所以∠HAC=∠QCN，进一步得到四边形AHQC为平行四边形.因为AC∥DQ，FH∥GQ，所以 AHQC与正方形ADEC同底等高，与长方形AFGP等底等高，所以正方形ADEC与长方形AFGP的面积相等.同理可得正方形BMNC与长方形BIGP的面积相等.证得正方形ADEC与正方形BMNC的面积和等于正方形ABIF的面积，从而证得勾股定理.
（1）如图2，以Rt△ABC三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为S1、S2、S3则它们的数量关系为______；如图3，以Rt△ABC三边为直角边分别作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形ACE，等腰直角三角形BCF.若图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则它们的数量关系为______（用含S1、
S2、S3、S4的式子表示）.
思考与拓展：
从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系.进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）：
①分别以直角边AC、BC为边向外作 ACED和 BCNM；
②分别延长DE，MN交于点Q；
③作射线QC与AB相交于点P，在射线上截取PG=QC；
④过点G作AB的平行线l,并在直线l上截取FH=AB，连接AF、BH，即得 AFHB.
（2）如图4，在 ACED和 BCNM中，若∠ACE=∠NCB=120°，AC=5cm,AD=4cm,CB=7cm,BM=3cm,求 AFHB的面积.
26.(本小题7分)
在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点K为直线AC上一点.
（1）如图1，若K在线段AC上，AK=3CK，连接BK，将BK绕点B顺时针旋转90°至BT，连接AT，CT，若，求CT的长度；
（2）如图2，若K为AC的中点，点D，G分别为BC，AB延长线上的点，连接DK，GK，满足DK⊥GK，连接DG与AC的延长线交于点F，点E为AC上一点，连接BE，满足∠BEF=∠EFG，求证：DF+BE=FG；
（3）如图3，AB=4，将BK绕点B逆时针旋转45°至BP，当CP取到最小值时，在直线BK上取一点Q，连接AQ，将△AQK沿AQ翻折至△AQM，点K的对应点为点M，点N为直线BC上一点，连接MN，当取到最小值时，请直接写出此时△MNP的面积.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】AC
11.【答案】（m-6）2
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】
16.【答案】4
17.【答案】8
18.【答案】6
19.【答案】-1
20.【答案】5
8114
21.【答案】解：（1）
=
=0；
（2）（a-b）（a+5b）-（a+b）2
=a2+5ab-ab-5b2-（a2+2ab+b2）
=a2+4ab-5b2-a2-2ab-b2
=2ab-6b2；
（3）（-）2÷（）-3 x-1
=
=
=；
（4）
=
=
=
=
=．
22.【答案】解：原式=
=
=
=，
∵x-3≠0，x≠0，x2-9≠0，
∴x≠3且x≠0且x≠-3，
∴当x=-2时，原式=．
23.【答案】∠FAO；OA=OC；∠FOA；平分．
24.【答案】纯牛奶的进价是每盒4元，酸奶的进价是每盒5元 酸奶降价后的单价至少应为每盒5.5元
25.【答案】S1=S2+S3，S1+S2=S3+S4；
．
26.【答案】∵∠ABC=∠KBT=90°，
∴∠ABC-∠ABK=∠KBT-∠ABK，即∠ABT=∠CBK，
在△ABT与△CBK中，
，
∴△ABT=△CBK（SAS），
∴AT=CK且∠BAT=∠BCK=45°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴，
∴，
在Rt△ACT中，∠CAT=∠BAC+∠BAT=90°，
∴ 证明：连接BK，延长FG与EB交于点M，截BN=DF，
∵K是AF中点且∠ABC=90°，
∴，
∴∠BCK=∠CBK=45°且∠BCK=90°，
∴∠DCK=∠KBG=135°，
∵DK⊥GK，
∴∠DKG-∠CKG=∠CKB-∠CKG，即∠DKC=∠GKB，
在△DKC与△GKB中，
，
∴△DKC=△GKB（ASA），
∴CD=BG，
设∠BEF=∠EFG=α，
∴∠CDF=∠ABE=∠GBN=45°-α，
在△CDF与△GBN中，
，
∴△CDF=△GBN（SAS），
∴∠BNG=∠CFD=180°-α，
∴∠GNM=∠NGM=α，
∴MN=MG且ME=MF，
∴ME-MN=MF-MG，即FG=EN，
∴FG=BN+BE=DF+BE
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一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当a是什么实数时，在实数范围内有意义（ ）
A. a≥-1 B. a≥1 C. a＞-1 D. a＞1
2.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=0 B. x≠0 C. x≠1 D. x≠0且x≠1
4.若a≠b,则下列分式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD=BC
B. AB=CD，AD=BC
C. ∠A=∠B，∠C=∠D
D. AB=CD，∠B=∠DAB
6.地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命.在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.000 000 2米.将数字0.000 000 2用科学记数法表示为（ ）
A. 2×10-7 B. 2×10-8 C. 2×10-9 D. 20×10-8
7.估计的值应在（ ）
A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间
8.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，，AD=AE=2，∠BAD=30°，F、G分别为DE、BC中点，连接FG，则FG长度为（ ）
A. B. C. 4 D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=8，点D为AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△B′CD，过点A作AF∥BC交DB′于点E，交CB′于点F，若AE=B′E，则BD的长为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.已知单项式串：a1x,，， ，，其中a1=2，a2， ，an，n均为正整数，且1≤a1≤a2≤ an≤n.规定：T1=a1x+1，， ，，整式Tn的所有系数之和记作F（n）.例如：因为T1=a1x+1，所以F（1）=a1+1；因为，所以F（2）=a2+a1+2.（ ）
A. 当n=2时，满足条件的所有整式T2的和为5x2+4x+6
B. 当n=3时，F（3）的值有10种不同的可能
C. 若为整数，则满足条件的所有整数x之和为-6
D. 以上说法都不对
三、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
11.因式分解：m2-12m+36= .
12.某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少36°，则该正多边形的边数为
13.若，则= .
14.如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，F是边CB延长线上一点，连接AE，AF，EF，若AE⊥AF，，，则△CEF的面积为 .
15.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm.（杯壁厚度不计）
16.如图，△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，AD=2，∠ABD=30°，取AB中点E，连结CE，若CE平分∠ACB，则BC= .
17.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为16，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
18.如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，AC=16，BD=12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE=4，则BF的长等于______．
19.若关于x的不等式组无解，关于y的分式方程有负数解，则符合条件的所有整数a的和为 .
20.一个四位自然数N，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称N为“city数”.若将一个“city数”N的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数N′.规定.例如：N=1283，∵1+8=9，2+3=5，∴1283是“city数”，则.若“city数”N=6431，则F（6431）= ；已知是“city数”（a,b,c,d均为正整数），若F（T）+3b+2c-2被7整除，则满足条件的T的最大值是 .
四、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
计算：
（1）；
（2）（a-b）（a+5b）-（a+b）2；
（3）（-）2÷（）-3 x-1；
（4）.
22.(本小题7分)
先化简，再求值：，请从-3、-2、0、3中选取合适的x的值代入.
23.(本小题7分)
学行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O.（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O.求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴∠ECO= ______ .
∵EF垂直平分AC，
∴ ______ .
又∠EOC= ______ ，
∴△COE≌△AOF（ASA）.
∴OE=OF.
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ______ .
24.(本小题7分)
红星超市购入盒装纯牛奶和酸奶共240盒.已知酸奶的进价比纯牛奶高25%，纯牛奶的进货总费用为400元，酸奶的进货总费用为700元.
（1）求纯牛奶和酸奶的进价分别是每盒多少元；
（2）该批纯牛奶按每盒6.5元的单价全部售出.酸奶因保质期较短，先以每盒8元的价格售出总量的，剩余部分降价促销并全部卖完.若该批纯牛奶与酸奶的总利润不低于600元，则酸奶降价后的单价至少应为每盒多少元？
25.(本小题7分)
阅读与理解：
勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：
以Rt△ABC的三边分别向外作三个正方形；延长DE和MN交于点Q，连接QC并延长分别交AB和FI于点P，G，延长FA交DE于点H，延长IB交QN于点T.
然后，通过证明△ACB≌△CEQ，得到∠CAB=∠ECQ，QC=AB，所以∠HAC=∠QCN，进一步得到四边形AHQC为平行四边形.因为AC∥DQ，FH∥GQ，所以 AHQC与正方形ADEC同底等高，与长方形AFGP等底等高，所以正方形ADEC与长方形AFGP的面积相等.同理可得正方形BMNC与长方形BIGP的面积相等.证得正方形ADEC与正方形BMNC的面积和等于正方形ABIF的面积，从而证得勾股定理.
（1）如图2，以Rt△ABC三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为S1、S2、S3则它们的数量关系为______；如图3，以Rt△ABC三边为直角边分别作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形ACE，等腰直角三角形BCF.若图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则它们的数量关系为______（用含S1、
S2、S3、S4的式子表示）.
思考与拓展：
从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系.进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）：
①分别以直角边AC、BC为边向外作 ACED和 BCNM；
②分别延长DE，MN交于点Q；
③作射线QC与AB相交于点P，在射线上截取PG=QC；
④过点G作AB的平行线l,并在直线l上截取FH=AB，连接AF、BH，即得 AFHB.
（2）如图4，在 ACED和 BCNM中，若∠ACE=∠NCB=120°，AC=5cm,AD=4cm,CB=7cm,BM=3cm,求 AFHB的面积.
26.(本小题7分)
在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点K为直线AC上一点.
（1）如图1，若K在线段AC上，AK=3CK，连接BK，将BK绕点B顺时针旋转90°至BT，连接AT，CT，若，求CT的长度；
（2）如图2，若K为AC的中点，点D，G分别为BC，AB延长线上的点，连接DK，GK，满足DK⊥GK，连接DG与AC的延长线交于点F，点E为AC上一点，连接BE，满足∠BEF=∠EFG，求证：DF+BE=FG；
（3）如图3，AB=4，将BK绕点B逆时针旋转45°至BP，当CP取到最小值时，在直线BK上取一点Q，连接AQ，将△AQK沿AQ翻折至△AQM，点K的对应点为点M，点N为直线BC上一点，连接MN，当取到最小值时，请直接写出此时△MNP的面积.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】AC
11.【答案】（m-6）2
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】
16.【答案】4
17.【答案】8
18.【答案】6
19.【答案】-1
20.【答案】5
8114
21.【答案】解：（1）
=
=0；
（2）（a-b）（a+5b）-（a+b）2
=a2+5ab-ab-5b2-（a2+2ab+b2）
=a2+4ab-5b2-a2-2ab-b2
=2ab-6b2；
（3）（-）2÷（）-3 x-1
=
=
=；
（4）
=
=
=
=
=．
22.【答案】解：原式=
=
=
=，
∵x-3≠0，x≠0，x2-9≠0，
∴x≠3且x≠0且x≠-3，
∴当x=-2时，原式=．
23.【答案】∠FAO；OA=OC；∠FOA；平分．
24.【答案】纯牛奶的进价是每盒4元，酸奶的进价是每盒5元 酸奶降价后的单价至少应为每盒5.5元
25.【答案】S1=S2+S3，S1+S2=S3+S4；
．
26.【答案】∵∠ABC=∠KBT=90°，
∴∠ABC-∠ABK=∠KBT-∠ABK，即∠ABT=∠CBK，
在△ABT与△CBK中，
，
∴△ABT=△CBK（SAS），
∴AT=CK且∠BAT=∠BCK=45°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴，
∴，
在Rt△ACT中，∠CAT=∠BAC+∠BAT=90°，
∴ 证明：连接BK，延长FG与EB交于点M，截BN=DF，
∵K是AF中点且∠ABC=90°，
∴，
∴∠BCK=∠CBK=45°且∠BCK=90°，
∴∠DCK=∠KBG=135°，
∵DK⊥GK，
∴∠DKG-∠CKG=∠CKB-∠CKG，即∠DKC=∠GKB，
在△DKC与△GKB中，
，
∴△DKC=△GKB（ASA），
∴CD=BG，
设∠BEF=∠EFG=α，
∴∠CDF=∠ABE=∠GBN=45°-α，
在△CDF与△GBN中，
，
∴△CDF=△GBN（SAS），
∴∠BNG=∠CFD=180°-α，
∴∠GNM=∠NGM=α，
∴MN=MG且ME=MF，
∴ME-MN=MF-MG，即FG=EN，
∴FG=BN+BE=DF+BE
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