广东佛山市2025-2026学年下学期九年级供题训练（一）数学（3月）（含答案）

广东佛山市2025-2026学年下学期九年级供题训练（一）数学（3月）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，0，0.01，2中，最小的数是（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 0.01
2.在“溯源经典, 致敬先贤”数学文化节中, 小明从我国古代5位著名数学家: 祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中, 随机选取一位介绍其生平事迹, 赵爽被选中的概率是( )
A. B. C. D.
3.第15届全运会于2025年11月9日-21日在广东、香港、澳门三地共同举办．体育蕴含着昂扬向上、追求卓越的精神力量．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
4.我国幅员辽阔，疆域广大，陆地面积约为平方千米，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. =-5 B. 2-=1 C. =4 D. =3
6.如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ）
A. B.
C. D.
7.某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉,之后逐年增加,到初三毕业时,三年累计获奖共23人次.若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x,则下列方程正确的是( )
A. 2(1+x)=23 B. 2=23
C. 2=23 D. 2+2(1+x)+2=23
8.如图, 等腰ABC的顶角B=,将ABC绕点A逆时针旋转,BC的对应边B'C'恰好经过点C,则旋转角的度数为( )
A. B. C. D.
9.如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,AB与CD相交于点P,则CPB的值为( )
A. B. C. D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： ．
12.计算的结果是 ．
13.如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是 ；
14.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是 （写出一个即可）；
15.如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题3分)
阅读小明解不等式x+3>-(x-2)的过程:
解:不等号左右两边同乘以(-2),得:-2(x+3)>x-2 第一步 去括号,得:-2x+3>x-2 第二步 移项, 得:-2x-x>-3-2 第三步 合并同类项, 得:-3x>-5 第四步 系数化为1,得:x< 第五步
请判断小明的解答过程是否正确.若不正确,请指出在哪一步首先出错,错误原因是什么 并写出正确的解答过程.
17.(本小题10分)
如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接．
(1) 尺规作图：在半圆上确定一点P，使得（不写作法，只保留作图痕迹）．
(2) 在（1）的条件下，连接，，若，求的度数．
18.(本小题10分)
某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中，都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分．
(1) 求证：．
(2) 现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）．
19.(本小题10分)
当下，人工智能发展日新月异，其应用已成为提升工作效率的重要引擎．某公司计划从A、B两款人工智能产品中选择一款投入使用．该公司对A、B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试，每项能力均测试10次，取10次测试得分的平均数作为该项的成绩（单位：分）．各项数据统计如下：
语言交互能力得分统计表
产品 平均数 中位数 众数
A a 8 c
B 7.3 b 6
分析能力和学习能力测试得分统计表
产品 分析能力 学习能力
A 7.5 8
B 8 9
请根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表格中的a，b，c的值分别是多少？（直接写出答案）
(2) 哪款产品的语言交互能力更强？请综合各项统计数据说明理由．
(3) 如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的权重计算最终成绩，那么哪款产品的成绩最好？
20.(本小题10分)
综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？
(1) 【特例尝试】如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边AB上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答）
(2) 【拓展延伸】一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（某反比例函数图像的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值．
21.(本小题11分)
如图，在四边形中，，，与交于点O，．点F是上任意一点，连接交于点E，连接．
(1) 求证：．
(2) 若，，求四边形的周长．
(3) 若添加一个条件后，则这个条件可以是什么？说明理由．
22.(本小题11分)
在平面直角坐标系中，我们约定：
①不重合的两点与为一对对换点；
②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．
根据约定，解答下列问题：
(1) 反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．
(2) 若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？
(3) 对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．
23.(本小题10分)
已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、．
(1) 由图1，试说明是等腰直角三角形．
(2) 与交于点G，将沿翻折得到．
①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明．
②如图3，设．求S与x之间的函数关系式．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】12
14.【答案】/（答案不唯一）
15.【答案】6
16.【答案】解：小明的解答过程不正确.
首先出错的是第一步，错误原因是：不等式两边同时乘以负数时，不等号方向没有改变.
正确的解答过程如下：
解：原不等式为，
不等式两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得.
17.【答案】【小题1】
解：如图，点即为所求；
【小题2】
解：∵，，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴．

18.【答案】【小题1】
证明：∵，点M、C、D在同一直线上，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【小题2】
解：如图，过点E作交于点F，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵后车轮圆心点D到地面的距离为，
∴车座点E到地面的距离为．

19.【答案】【小题1】
解：由统计图可知，
A产品10次得分的平均数为（分），
B产品10次得分从小到大排序为：5、6、6、6、7、7、8、9、9、10，
∵10为偶数，
∴B产品10次得分的中位数为第5个和第6个数据的平均数，而第5和第6个数据均为7，
∴B产品10次得分的中位数为（分），
在A产品中，出现次数最多的得分为7分，即众数为7分，
∴，，．
【小题2】
解：A产品，
理由：在语言交互能力得分统计表中，A产品的平均数、中位数和众数均高于B产品，
所以A产品语言交互能力更强．
【小题3】
解：A产品：（分），
B产品：（分），
∵，
∴B产品的成绩最好．

20.【答案】【小题1】
解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最大值，最大值为，即；
如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q，
∴四边形为矩形，
∵，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
当时，有最大值，最大值为，即．
【小题2】
解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，
∵矩形卡纸的长为，宽为，，，
∴，，
设直线的解析式为，
将点A，E代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
∵曲线是反比例函数的一部分，
设反比例函数的解析式为，
将点E代入得：，解得，
∴反比例函数的解析式为，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
当时，的最大值为．

21.【答案】【小题1】
证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【小题2】
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即四边形是菱形，
∴．
【小题3】
解：，
理由：∵，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得：
，
由①得，
由②得，
故可得反比例函数是对换函数，
取，则，对应对换点坐标为和；
【小题2】
解：设对换点为与，代入一次函数解析式得：
，
由②得，
把①代入得：，
整理得，
又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立，
故且，
解得：；
【小题3】
解：设对换点为与，代入函数解析式得：
两式相减得，
整理得，
∵两点不重合，
∴，
∴，
∴，
∴代入得：，
∴，
∴当时，有最小值为，
∴，
又取最小正整数，
∴，此时，，对换点为和．

23.【答案】【小题1】
证明：在正方形中，平分，
∴，
在对应的圆周角中，，
在对应的圆周角中，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【小题2】
解：①证明：由折叠可得，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
如图，过点M作于H，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴点D，M，B三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
．

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