2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-07解答题基础通关训练（含解析）

2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-07解答题基础通关训练
一、统计
1．某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？
(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？
(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.
2．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
二、三角恒等变换
3．在中，内角、、所对的边为、、，其中
(1)若，且，求边长的值；
(2)若，，求.
4．已知，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，若，且的面积为，求．
三、空间几何体
5．在三棱锥中，平面平面，，，
(1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积；
(2)求二面角的大小．
6．如图，在圆柱中，底面半径为，为圆柱的母线.
(1)若，为的中点，求直线与底面的夹角大小；
(2)若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
7．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．
(1)求直线和平面所成角的大小；
(2)求该几何体的表面积．
四、点、直线、平面之间的位置关系
8．已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.
9．如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合）
(1)证明：平面平面；
(2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值．
10．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上.

(1)求证: AF⊥BE;
(2)若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小.
11．如图，、、为圆锥三条母线，.
(1)证明:；
(2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小
12．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
五、随机变量及其分布
13．有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球．
(1)若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率；
(2)若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望．
14．许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为，每次套娃娃费用是10元.
(1)记随机变量为小朋友套娃娃的次数，求的分布列和数学期望；
(2)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.
15．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
(1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
16．2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率.
(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从顾客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求
六、圆锥曲线
17．在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点的横坐标为2，求的长;
(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围
(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立 若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆．
(1)若，求椭圆的离心率；
(2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值；
(3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围．
七、统计案例
19．某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
(1)求成对数据的相关系数；
(2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值；
(3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．）
八、函数及其性质
20．已知（且）．
(1)若，解方程，求的值；
(2)若，求的取值范围．
九、直线与方程
21．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；
(3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.
十、计数原理
22．甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
十一、解三角形
23．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
24．已知向量，.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.
十二、三角函数
25．已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
26．已知.
(1)求方程的解集；
(2)求函数在上的单调增区间.
试卷第1页，共3页
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《2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-07解答题基础通关训练》参考答案
1．(1)9；
(2)；
(3)不相互独立，理由见解析.
【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案.
（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；
（3）验证，是否等于可得答案.
【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：；
（2）由题可得人的平均年龄为：；
（3）由题可得，，，
注意到，则事件A与事件B不相互独立.
2．(1)
(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克
【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分层抽样的定义进行求解；
（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.
【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数，
A事件的样本点的公式，
所以；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，
总体样本平均质量为，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估平均质量为克．
3．(1)
(2)
【分析】（1）求出B根据余弦定理求解；
（2）根据正弦定理求出C及c，再由求面积即可.
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，
解得.
（2）因为，所以，所以
因为，所以，，
所以，
，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解；
（2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值.
【详解】（1）由题意，，
∴
.
由，可得，
所以的单调递增区间为.
（2）由，得，
因为，所以，所以，即.
因为，所以，得.
又，所以，
即，
所以
即．
5．(1)证明过程见解析，体积为
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案；
（2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小.
【详解】（1）连接，因为，所以⊥，
因为平面平面，交线为，
平面，
所以⊥平面，
因为，所以⊥，，，
故，
，由勾股定理得，
又⊥平面，
三棱锥的体积；
（2）由（1）知，⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令得，故，
又平面的一个法向量为，
故，
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的大小为.
6．(1)；
(2)侧面积，体积.
【分析】（1）分析可知直线与底面所成的角为，求出，即可得解；
（2）求出圆柱的母线长，利用圆柱的侧面积公式和体积公式可求得结果.
【详解】（1）解：因为与圆柱的上底面垂直，则直线与底面所成的角为，
易知，在中，，，
故，故直线与底面的夹角大小为.
（2）解：若圆柱的轴截面为正方形，则，
故圆柱的侧面积为，体积为.
7．(1)
(2)
【分析】（1）找到直线和平面所成角等于，由，求出线面角；
（2）求出圆锥表面积的一半加上、和的面积即可.
【详解】（1）连接，由题意，⊥平面，故直线在平面上的射影为直线，
因此直线和平面所成角等于．
因为是以为直径的等腰直角三角形，所以．
因此，由知．
即直线和平面所成角的大小为．
（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积．
因为圆锥的高，圆锥的底面半径，所以圆锥的母线长为，
表面积为．
在和中，，，
所以，得． 同理．
因此．
而，
因此，所求表面积为．
8．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可.
（2）利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案.
【详解】（1）

因为平面，连接，
则即为直线与平面所成的角，
又，，，
为中点，可得，，
所以，
即直线与平面所成的角的正切值为.
（2）由题知，平面，平面，
，平面，
所以平面平面.
因为平面，平面，
所以，
又，平面，，
所以平面，又平面，
所以就是直线到平面的距离，
又为中点，
则，
即直线到平面的距离为.
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）面面垂直判定应用，由两个线线垂直：，，得线面垂直，进而得面面垂直；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）在半圆柱内，平面，所以；
因为为上底面对应圆的直径，所以，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面.
（2）根据题意以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，所以，，，，，
所以，，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
则，令，则，
取，所以，
由图可知，二面角为钝角，
所以所求二面角的余弦值为.
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面，得证线线垂直；
（2）设是中点，证明是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．
【详解】（1）连接，则，又平面，而平面，
∴，又，平面，
∴平面，又∵平面，
∴.
（2）设是中点，连接，因为点E是的中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面 是直线与平面所成的角.
设正方形的边长为，则，，
∴，∴，
∴与平面所成的角为．

11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到.
（2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值.
【详解】（1）取中点，连接、，
因为，所以，
又因为面面，所以面，
因为面，所以.
（2）因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为，
所以，
则可得，
故，
设为平面的法向量，则，
令，则，所以.
设为平面的法向量，
则，
令，则，所以.
则，
设二面角为，则为钝角，
所以二面角的大小为.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值.
【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又平面，所以平面.
（2）如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，而平面，因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由，得四边形为平行四边形，则，
由，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
13．(1)
(2)
(3)分布列见解析，期望为
【分析】（1）分两次均为白和两次均为黑讨论，再根据独立事件的乘法公式和概率加法公式即可得到答案；
（2）利用全概率公式即可得到答案；
（3）首先分析知的取值为0，1，2，再分别计算对应概率值，再利用均值公式即可得到答案.
【详解】（1）摸到相同颜色球的概率为．
（2）根据全概率公式知第二次摸到白球的概率为．
（3）的取值为0，1，2，
则，
，
，
则的分布为，
期望为．
14．(1)分布列见解析，
(2)元
【分析】（1）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结果；
（2）间接法求出一个小朋友套娃娃成功的概率，从而计算一个小朋友的利润，再计算总利润.
【详解】（1）由题意知，随机变量的取值为，则
，
即的分布列为
1 2 3 4
所以.
（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为.，
则小朋友套娃娃成功的概率为.
记摊主每天利润为元，则的期望为
，
故摊主每天利润的期望为元.
15．(1)表格见解析，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为，方差为
【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可.
（2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率.
（3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
【详解】（1）根据数据补全列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
因为，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题.
（3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即，
所以；；
；；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则；.
16．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由X的取值，计算相应的概率，得到分布列，利用公式计算数学期望；
（2）人的合计得分恰为分，有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，计算概率，用错位相减法求数列前项和.
【详解】（1）X的取值为3，4，5，6
所以，，
，.
所以的分布列为：
3 4 5 6
所以；
（2）因为这人的合计得分恰为分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，
所以，
设，
，
两式相减得，
所以，
所以；
17．(1)；
(2)；
(3)存在，
【分析】（1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得.
（2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围.
（3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得.
【详解】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又，
所以.
（2）设，而，
则，由，得，
即，又，则，解得，，
所以的范围是.
（3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则，
又，于是，
则，同理，
由，得，
因此，即，则，
设直线，由消去得，
则，即，而，解得，，
由，得，所以.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；
（2）设，求出E点的坐标，表示出，由数量积的定义求出，即可求出m的值；
（3）设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，讨论直线与双曲线的渐近线平行和直线与双曲线的渐近线不平行结合P为椭圆上一点即可得出答案.
【详解】（1）当时，椭圆，焦点在上，
则，则.
（2）因为为椭圆的左右顶点，所以，
令中，则，
若，，
，
解得：.
若，，
，
解得：.
（3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线，
设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，
①直线与双曲线的渐近线平行时，
则双曲线的渐近线为：，所以.
因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意.
②直线与双曲线的渐近线不平行时，
，则，
则，解得：，
解得：，因为，所以.
又因为P为椭圆上一点，所以，则，
则，解得：，
所以，所以，综上所述：.
则m的取值范围为：
19．(1)
(2)答案见解析，
(3)
【分析】（1）首先求，再根据相关系数公式，即可求解；
（2）根据（1）的数据，结合回归直线方程中和的公式，即可求回归直线方程；
（3）根据（1）的结果求和，再根据概率公式，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，，，
，
，
，
所以；
（2），
，
所以，
当时，；
（3），所以,，
，，
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解.
（2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围;
【详解】（1）当时，则，因为，
所以，化简可得，
即，化简得，
所以，所以，
解得或，即或；
（2）当时，函数在上单调递减，若，
则，解得；
当，函数在上单调递增，若，
则，解得，
综上所述：的取值范围为．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案；
（3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案.
【详解】（1）对于双曲线，，，
，
所以双曲线离心率.
（2）因为点是的中点，所以点，
代入双曲线方程，得，
解得，
又点在双曲线的右支上，所以，即，
所以，
所以直线的斜率为.
（3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意；
当直线斜率不为时，设直线方程为，
设，，则，
联立，整理得，
（*）且，
，，
因为，，
所以，，
所以，
即，
即，
整理得，即，
代入（*）中得，又，所以，
又因为，即，所以且，
综上，的取值范围为.
22．(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米；
(2)；
(3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组.
【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；
（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；
（3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）.
【详解】（1）甲队：，
所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；
乙队：，
所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米．
（2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件，
.
（3），
要使两组平均身高都增大，
则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可．
23．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；
【详解】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，
所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；
（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.
【详解】（1）由题意，
，
因此函数的最小正周期为；
（2）由得，
因为，所以，解得，
因为，所以,
由余弦定理解得,
所以.
25．(1);
(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.
（2）利用三角函数的性质求解参数即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以，
即，故.
26．(1)
(2)和
【分析】（1）化简得到，取，解得答案.
（2）取，解不等式，取和得到单调增区间.
【详解】（1）
，
取，则，解得.
故方程的解集为.
（2）取，解得，
当时，满足条件；当时，满足条件；
综上所述：单调增区间是和
答案第1页，共2页
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