2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-04函数与导数、三节函数与解三角形填空题基础通关训练（含解析）

2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-04函数与导数、三节函数与解三角形 填空题基础通关训练
一、指对幂函数
1．已知幂函数在上严格增，则实数__________
2．已知函数，则______.
3．已知函数，则__________.
4．已知函数的反函数为，则________
5．函数的定义域为_______.
6．函数的定义域是__________．
7．已知函数，且，则方程的解为______________．
8．方程的解集为________．
二、导数及其应用
9．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

10．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.
已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到）
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
12．设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为_________.
三、函数的应用
13．关于x的方程的解集为__________．
四、三角函数
14．函数，的零点是______．
15．设，则__________.
16．已知，且，则______.
17．我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加__________个．
18．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为__________
19．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
五、函数及其性质
20．已知函数，其中，则__________．
21．设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________.
22．已知，求的的取值范围_______.
23．已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
六、集合
24．对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________.
七、平面向量的数量积
25．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________
八、三角恒等变换
26．已知，则__________．
27．已知函数．若存在，使得，则的最大值为______．
28．已知，则_______
29．已知，则__________．
30．三角形中，，则______
九、解三角形
31．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
试卷第1页，共3页
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《2026届上海市高考数学二轮复习专项练习-04函数与导数、三节函数与解三角形 填空题基础通关训练》参考答案
1．
【分析】根据幂函数的性质有，即可求.
【详解】由题设，可得.
故答案为：2
2．/
【分析】直接代入计算即可.
【详解】.
故答案为：.
3．3
【分析】利用分段函数解析式，可得答案.
【详解】由，则.
故答案为：.
4．
【分析】求出函数的反函数的解析式，进而可求得结果.
【详解】由可得，故，因此，.
故答案为：.
5．
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得，即的定义域为.
故答案为：.
6．
【分析】先求出和定义域，再求交集.
【详解】由题意 ， ；
故答案为： .
7．
【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案.
【详解】当时，，解得：，
当时，，解得：（舍去），
所以方程的解为.
故答案为：.
8．
【分析】依题意得到，解得即可.
【详解】因为,
则，解得，
所以方程的解集为.
故答案为：
9．
【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.
【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则，，设方程为：，
所以，，方程为：，
令矩形面积为，
当时，，
当，设，则，
所以，
则，
令，则，在上递增，
令，则或，在上递减，
又，，，
所以当的长为时，该矩形面积最大.

故答案为：
10．
【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角.
【详解】因为，，
故，故，设，则，
又
，
设，
则，
，
记，，因为，故，
又当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，此时，
故，用度表示后约等于，
故答案为：.
11．
【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域，再利用导数求当时的极大值，使的极大值大于等于1即可求解.
【详解】当时，的值域为，
函数的值域为，
当时，是的值域的子集，
又，令，或(舍去)，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，取得极大值，
故的值域为，
，.
故答案为：.
12．2
【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.
【详解】由已知得，解得，
又，
所以得，
所以，
所以.
故答案为：2
13．
【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.
【详解】.
当时，令得；
当时，恒成立；
当时，令得.
综上所述，方程的解集为.
故答案为：.
14．，
【分析】令即可求出函数的零点.
【详解】令，则，，
当时，；当时，.
函数，的零点是，.
故答案为：
15．
【分析】根据三角函数值求，以及，再求余弦值.
【详解】，则，，所以.
故答案为：
16．/
【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解.
【详解】由，，
则，
故.
故答案为：
17．71
【分析】根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得.
【详解】停车位相对道路倾斜的角度，，
依题意，，
则，而，于是，
整理得，又，因此，
化简得，由，得，则，，
设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线垂线，垂足为，如图，
则顶点到线段距离，
由各矩形停车位大小相等，得，，
于是，而，
因此，，又，
则，由，得，
解得，即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个.
故答案为：71
18．12
【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的.
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，,
，两式相加得：，，
又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解；
经检验：的值为和；
所以正整数的所有可能取值之和为.
故答案为：.
19．
【分析】根据题意，结合条件分别表示出，然后在中，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
设壶嘴最低点，最高点分别是，
图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，
当水平液面经过点时，可将油倒出，
设倾斜角为，当液面经过点时，，
先考虑液面不超过点，即的情况，
设液面与分别交于点，
设的中点为，过作的垂线，垂足为，
则，，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
即，
即，所以，
即，
因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出.
故答案为：
20．
【分析】根据自变量的取值代入求值即可.
【详解】因为时，，
所以，
故答案为：
21．
【分析】分区域讨论顺、逆时针构造函数，根据题意，旋转后轴右侧点纵坐标若，则必有，由此探求的范围，再构造取最值时的函数即可.
【详解】由是旋转函数，设曲线上任意一点，对应复数，
（1）当时，
则由定义可知，点绕原点仅顺时针旋转即可得到轴右侧的点，
则对应复数：，
即点，
由可得，则，
则有，满足题意，；

（2）当时，
则由定义可知，点绕原点仅逆时针旋转才能得到轴右侧的点，
则对应复数：，
即点，
由可得，
则有，也满足题意，；

（3）当时，
点绕原点顺或逆时针旋转都能得到轴右侧的点，
点或，
由且可知，
若；若；
此时若，满足题意；
此时若，即，；
此时若，即，；
即若，，.
不论选择顺时针还是逆时针旋转，或者顺、逆混合旋转得到，
由旋转函数定义，对任意，旋转后均存在曲线上的点，
故此时取值都应取遍内所有实数，

因为，
由，则.
①当时，，
由题意，
由时，满足；
②当时，，
要使，
则必须有恒成立，由，，
则要使恒成立，故，
则.
下面构造当时的函数，
当时，，
当时，由，解得，
由的构造可知，当时，，
故在单调递增，且，
故；
且当，，
又定义函数上任一点顺时针旋转得到点，
则当时，对应的轨迹可看作单调递增函数的图象且，
当时，对应的，，即且.
且当时，即时，，
不妨定义，
故.
由此可知构造函数满足.
综上所述，的最大值为.

故答案为：11.
22．
【分析】分与两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
23．2
【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.
【详解】解：因为为奇函数，所以，且，
又关于直线对称，所以，
所以，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出函数和的图像如图所示：
由的正数解依次为、、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，
所以.
故答案为：2.
24．643
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答.
【详解】，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图：

观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法；
当与图像有两个公共点时，相应的有种取法；
当与图像有三个公共点时，相应的有种取法，
直线与函数图象的交点个数可能的取值如下：
，
对应的函数个数为，
.
所以集合中元素之和为643.
故答案为：643
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
25．
【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.
【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
当时，
故答案为：.
26．
【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
27．
【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值的的值或取得最小值的的值，再分情况讨论即可.
【详解】因为，
则由题意可得或，
则①令，，解得，，
又，要求的最大值，只需令，则，令，则，
所以的最大值为．
②令，，解得，，
又，要求的最大值，只需令，则，令，，
所以的最大值为，
综上， 的最大值为．
故答案为：.
28．
【分析】根据二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意有：，
故答案为：.
29．-2
【分析】根据正切和角公式计算出答案.
【详解】由已知得．
故答案为：-2
30．
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
【详解】三角形中，，
，
由正弦定理，，，
得．
故答案为：．
31．/
【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
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