(共31张PPT)
第八章
统计与概率
第29讲
统计
调查方式 全面调查 抽样调查
概念 考察________对象的调查 只抽取___________对象进行调
查，然后根据调查数据推断全体
对象的情况
特点 调查对象的范围小，不具有破
坏性，数据要求准确全面 调查对象涉及面大、范围广，或
受条件限制，或具有破坏性
简单随机
抽样 在抽样的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，
这样的抽样方法叫作简单随机抽样
知识点 1 数据的收集
(1)调查方式
全体
一部分
名称 概念
总体 要考察的全体对象
个体 组成总体的每一个考察对象(总体包括所有的个体)
样本 被抽查的那些个体组成一个样本
样本容量 一个样本中包含的个体的________(不用写单位)
(2)总体、个体、样本与样本容量
数目
1.(RJ 七下 P140)为了解全校同学的平均身高，小明调查了座位在
自己旁边的 3 名同学，把他们身高的平均值作为全校同学平均身高的
估计.
(1)小明的调查是抽样调查吗？(3 分)
(2)这个调查结果能较好地反映总体的情况吗？如果不能，请说明
理由.(3 分)
解：(1)小明的调查是抽样调查．
(2)这个调查的结果不能较好地反映总体的情况，因为抽样太片面．
类型 特点
条形统计图 能够显示每组中的具体数据
扇形统计图 能够显示各个部分占总体的________
折线统计图 能够显示数据的___________
频数分布直方图 能够显示数据的分布情况
知识点 2 数据的整理与描述
(1)频数：每个对象出现的次数.
(2)频率：频率＝____________.
(3)统计图
频数
数据总数
百分比
变化趋势
(4)画频数分布直方图的步骤：
①计算_________________的差；
②决定组距与________；
③列频数分布表；
④画频数分布直方图.
最大值与最小值
组数
2.(RJ 七下 P159)如图是某年参加国际教育评估的 15 个国家学生
的数学平均成绩(x)的统计图.
(1)哪一个图能更好地说明一半以上国家的学生成绩在 60≤x＜70
之间？(3 分)
(2)哪一个图能更好地说明学生成绩在 70≤x＜80 的国家多于在
50≤x＜60 的国家？(3 分)
解：(1) 扇形统计图能更好地说明一半以上国家的学生成绩在
60≤x＜70 之间．
(2)频数分布直方图能更好地说明学生成绩在 70≤x＜80 的国家多
于成绩在 50≤x＜60 的国家．
名称 求法
平均数
加权
平均数
② ＝________________________________
(f1，f2，…，fn分别是x1，x2，…，xn出现的次数，且f1＋f2＋…＋fn＝n；ω1，ω2，…，ωn分别是x1，x2，…，xn的权)
知识点 3 数据的分析
(1)数据的集中趋势分析
名称 求法
中位数 将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列：①若数据
的个数是奇数，则中位数为处于中间位置的数据；②若数据
的个数是偶数，则中位数为中间两个数据的________
众数 一组数据中出现次数________的数据
(2)数据的波动程度
①方差：设x1，x2，…，xn的平均数为 ，则这n个数据的方差为
s2＝_________________________________________；
②方差是衡量一组数据波动大小的量. 方差越大，数据的波动
_______；方差越小，数据的波动________，越稳定.
平均数
最多
越大
越小
3.(RJ 八下 P128)甲、乙两台机床同时生产一种零件.在 10 天中，
两台机床每天出次品的数量如下：
甲 0 1 0 2
乙 2 3 1 1
2 0 3 1 2 4
0 2 1 1 0 1
(1)分别计算两组数据的平均数和方差；(2 分)
(2)从计算的结果看，在 10 天中，哪台机床出次品的平均数较小？
哪台机床出次品的波动较小？(4 分)
考点 1
数据的收集与整理
1.(2025·广东)2025 年 2 月，广东省教育厅发布《关于保障中小学
生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文
件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷
调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1.(单选)你每天参加体育活动(含体
育课)的时间(单位：小时)( )
A.0.5≤x＜1 B.1≤x＜1.5
C.1.5≤x＜2 D.x≥2
2.(可多选)随着体育活动时间的延
长，学校拟增设体育活动项目，你
希望增设的活动项目有( )
E.球类 F.田径类
G.体操类 H.水上类 希望增设的活动项目统计表
活动
项目 球类 田径类 体操类 水上类
百分比 72% 23% 40% 46%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求参与这次问卷调查的学生人数；(2 分)
(2)估计该校 1 000 名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时
的学生人数；(2 分)
(3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相
应的建议.(2 分)
解：(1)35÷17.5%＝200(人).
答：参与这次问卷调查的学生人数为 200.
(2)1 000×37.5%＝375(人).
答：估计该校 1 000 名学生中每天参加体育活动时间不低于两小
时的学生人数为 375.
(3)由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，
建议学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间．(言之有
理即可)
(2025·青岛)某校举行科技节.科技小组为了解学
生使用智能软件的情况开展了统计活动.
【收集数据】
科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调
查，收集得到“问题 1”和“问题 2”的数据.(被调查学生两个问题全
部按要求作答并提交)
调查问卷
问题1：你使用智能软件的主要目的是( ).(单选)
A.学习管理 B.健康管理 C.时间管理 D.其他
问题2：你每周使用智能软件的时间是________分钟.
目的 人数累计 人数
A 正正正正正正 30
B 正正 12
C 正正正 15
D 3
【整理和表示数据】
第一步：将“问题 1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统
计表；
第二步：将“问题 2”中每周使用智能软件的时间 t(分钟)整理分
成 4 组：①0≤t＜30，②30≤t＜60，③60≤t＜90，④90≤t≤120，并
绘制成如下的频数分布直方图.
学生使用智能软件主要目的的人数统计表
学生每周使用智能软件时间的频数分布直方图
(1)若将“问题 1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇
72
形圆心角的度数为________°；(1 分)
(2)补全频数分布直方图；(1 分)
解：由(1)知总人数为 30＋12＋15＋3＝60(人)，∴每周使用智能软
件的时间在 30≤t＜60 这一组的人数为 60－12－20－12＝16，补全频
数分布直方图如下．
【分析数据，解答问题】
61
(3)已知“60≤t＜90”这组的数据是：60，60，62，62，63，65，
65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85.被调查
的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为________分钟；(2 分)
(4)全校共有 1 200 名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学
习管理”的人数.(2 分)
答：估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为600.
考点 2
数据分析
2. (2025·常州)甲、乙两人在相同条件下 10 次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析，绘制成下表：
(1)填空： x 甲＝________，m＝________，n＝________；(3 分)
人员 环数
甲 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7
乙 5 7 5 10 5 8 6 9 8 7
人员 平均数 中位数 众数 方差
甲 7 m 1
乙 7 n 5 2.8
7
6
7
(2)根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理
由.(3 分)
解：甲的射击成绩比较稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差
较小，成绩比较稳定
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
(2025·甘肃)某校要从甲、乙两位射击队员中挑选
一人参加比赛.在最近 10 次的选拔赛中，他们的射击成绩(单位：环)
信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 m，n 的值：m＝________，n＝________；(2 分)
(2)________(填“甲”或“乙”)队员在射击选拔赛中发挥得更稳
定；(2 分)
8.5
8
乙
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参
赛都可以. 你认为他说得对吗？请说明理由( 写出一条合理的理由即
可).(2 分)
解：他说得不对．理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，
但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，
所以应该推荐乙队员参赛．(言之有理即可)
)
1. (2025·湖南)下列调查中，适合采用全面调查的是(
A.了解某班同学的跳远成绩
B.了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C.了解全国中学生的身高状况
D.了解某批次汽车的抗撞击能力
A
2.(2025·广州)某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制
)
C
了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是(
A.
B.
C.
D.
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29
3.(2024·广州)为了解公园用地面积 x(单位：公顷)的基本情况，某
地随机调查了本地 50 个公园的用地面积，按照 0＜x≤4，4＜x≤8，8
＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20 的分组绘制了如图所示的频数分布直
)
方图，下列说法正确的是(
A.a 的值为 20
B
B.用地面积在 8＜x≤12 这一组的公园个数最多
C.用地面积在 4＜x≤8 这一组的公园个数最少
D.这 50 个公园中有一半以上的公园用地面积超过 12 公顷
4.为庆祝中国共产党成立一百周年，某单位党支部开展“学史明
理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七
名党员 5 天的学史的时间(单位：h)分别为：4，3，3，5，6，3，5，这
组数据的中位数是________，众数是________.
5.(2025·青岛)为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端
午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为 100 g.甲、乙两
名同学各包了 5 个粽子，每个粽子的质量(单位：g)如下：
甲：103，99，100，101，97
乙：99，103，105，95，98
则甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 ________( 填
“甲”或“乙”).
4 h
3 h
甲
6.(2025·徐州)为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐
随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地
的不同，绘制了如下统计图(不完整)：
根据图中信息，解答下列问题.
(1)小桐共调查了_____辆车，“豫”对应扇形的圆心角为______°；
(2 分)
150
36
(2)补全条形统计图；(2 分)
(3)若该景区附近宾馆停车场当日共有 450 辆外地自驾游客的车
辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？(2 分)
解：(2)车牌号归属地为“鲁”的车辆有 150×18%＝27，补全条
形统计图如图所示．
答：估计其中车牌号归属地为“皖”的车
辆有 63 辆．(共28张PPT)
第30讲
概率
知识点 1 事件的有关概念
(1)确定事件
必然会
必然不会
①必然事件：在一定条件下，有些事件_________发生，这样的事
件称为必然事件；
发生也可能不发生
②不可能事件：在一定条件下，有些事件___________发生，这样
的事件称为不可能事件.
(2)随机事件：在一定条件下，可能___________________的事件称
为随机事件.
1.(RJ 九上 P128)指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可
能事件，哪些是随机事件.
(1)通常加热到 100 ℃时，水沸腾；(2 分)
(2)掷一次骰子，向上一面的点数是 6；(2 分)
(3)任意画一个三角形，其内角和是 360°；(2 分)
(4)射击运动员射击一次，命中靶心.(2 分)
解：随机事件：(2)，(4)；必然事件：(1)；不可能事件：(3).
知识点 2 概率及其求法
1
0
0～1
(1)概率：一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能
性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率.必然事件发生的概率为
________，不可能事件发生的概率为________，随机事件发生的概率
介于________之间.
(2)求概率的方法
①概率公式：一般地，如果在一次试验中，有 n 种等可能的结果，
事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A)＝_____；
②面积法：当一次试验涉及的图形的面积是 S，事件 A 发生时涉
及的图形面积是 S1，则事件 A 发生的概率 P(A)＝________；
③列表法：当一次试验涉及两个因素，且等可能出现的结果数目
较多时，可采用列表法列出所有等可能的结果数 n，再找出符合要求
的结果数 m，则概率 P＝________；
④画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用
画树状图的方法表示出所有等可能的结果数 n，再找出符合要求的结
果数 m，则概率 P＝________.
2.(RJ 九上 P140)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把
它们分别标号为 1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出
一个小球，求下列事件的概率：
(1)两次取出的小球标号相同；(3 分)
(2)两次取出的小球标号的和等于 4.(3 分)
解：如图，
第 1 次
第 2 次
和
(1)随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共
有 16 种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的有 4 种，所以
(2)因为两次取出的小球标号的和等于 4 的有 3 种，所以其概率为
知识点 3 频率与概率
(1)频率：在 n 次重复试验中，不确定事件 A 发生了 m 次，则比值
________称为事件 A 发生的频率.
(2)用频率估计概率：
在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频
率会在一个________附近摆动，这就是频率的稳定性，此时，可以用
这个常数估计事件 A 发生的概率.
常数
分类 区别 联系
频率 有限试验中某事件出现的
次数，是真实存在的 在大量重复试验中，随着试验次数的
增加，频率会稳定在某个常数附近，
这时可以用这个常数来粗略估计该
事件的概率，但不能说这个常数就是
概率
概率 在某一试验中，某一事件
发生的可能性，是估计值
(3)频率与概率的区别与联系
射击次数 20 40 100 200 400 1 000
“射中 9 环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中 9 环以上”的频率
3.(RJ 九上 P147)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如
下：
(1)计算表中相应的“射中 9 环以上”的频率(结果保留小数点后
两位)；(2 分)
(2)这些频率具有怎样的稳定性？(2 分)
(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以
上”的概率(结果保留小数点后一位).(2 分)
0.75
0.83
0.78
0.79
0.80
0.80
解：
(2)从频率的波动情况可以发现，频率稳定在 0.8 附近．
(3)从频率的波动情况可以发现，频率稳定在 0.8 附近，所以这名
运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 0.8.
考点 1
事件发生的可能性及概率的意义
1.下列说法正确的是(
)
A.10 张票中有 1 张奖票，10 人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较
大
B.从 1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出 3 颗质地均匀的骰子，3 颗全是 6 点朝上是随机事
件
次必有 1 次正面朝上
D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2
C
下列说法正确的是(
)
A.第一次练习投篮的小明在罚球线上投篮，“投中”是不可能事
件
C
B.彩票中奖的概率是 1%，买这种彩票 100 张，“中奖”是必然事
件
C.在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
D.从某校学生中随机抽取 2 名进行体测，其中有一名成绩不及格，
说明该校 50%的学生体测成绩不及格
B
)
(2025·广东校级模拟)下列说法不正确的是(
A.不可能事件发生的概率是 0
B.概率很小的事件不可能发生
C.必然事件发生的概率是 1
D.随机事件发生的概率介于 0 和 1 之间
考点 2
求随机事件发生的概率
2. (2024·广州)善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.
为了解同学们的提问水平，对 A，B 两组同学进行问卷调查，并根据
结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下(单位：分)：
(1)求 A 组同学得分的中位数和众数；(2 分)
(2)现从 A，B 两组得分超过 90 分的 4 名同学中随机抽取 2 名同学
参与访谈，求这 2 名同学恰好来自同一组的概率.(4 分)
A 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
解：(1)将 10 名 A 组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在
第 5 和第 6 名的成绩为 84，86，所以 A 组同学得分的中位数为(84＋
86)÷2＝85(分).
由表格可知，A 组同学得分的众数为 82 分．
(2)将 A 组的两名同学分别记为甲、乙，将 B 组的两名同学分别记
为丙、丁，
画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中这 2 名同学恰好来自同一组的结果
有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共 4 种，所以这 2 名同学恰好来自同
(2025·连云港)一只不透明的袋子中装有 1 个红球
和 3 个白球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸到红球的概率是_______；(2
分)
(2)搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中
任意摸出 1 个球.用画树状图或列表的方法，求 2 次都摸到白球的概
率.(4 分)
颜色 红 白 白 白
红 (红，红) (红，白) (红，白) (红，白)
白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白)
白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白)
白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白)
解：列表如下：
共有 16 种等可能的结果，其中 2 次都摸到白球的结果有 9 种，所
以 2 次都摸到白球的概率为
9
16
.
(2025·徐州)如图，甲、乙为两个可以自由转动的
转盘，它们分别被分成了 4 等份与 3 等份，每份内均标有字母，转盘
停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次.
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在 A 区域的概率为_______；
(2 分)
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止
转动后甲盘指针落在 C 区域且乙盘指针未落在 Q 区域的概率.(4 分)
甲
乙
解：画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在 C 区
域且乙盘指针未落在 Q 区域的结果有 2 种，所以转盘停止转动后甲盘
1. (2025·徐州)一只不透明的袋子中装有 4 个红球与 2 个黑球，每
个球除颜色外都相同.从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是
(
)
C
A.至多有 1 个球是红球
C.至少有 1 个球是红球
B.至多有 1 个球是黑球
D.至少有 1 个球是黑球
2.(2025·深圳)某校进行《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算
法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九
章算术》的概率为(
)
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
2
D.
3
C
1
A.
12
1
B.
6
C.
1
4
1
D.
2
3.(2025·河南)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( )
B
4.如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动
这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是_____.
5.(2025·番禺区三模)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整
理的实验数据如下表：
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为_______.
(精确到 0.01)
0.53
累计抛掷
次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面朝上
次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面朝上
频率 0.56 0.54 0.53 0.52 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53
“
6.(2025·江西)校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏
活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方” 数独” 华
容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲
盒打开即作废.
B
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是
________；(2 分)
A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状
图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡
片盲盒的概率.(4 分)
解：把抽中“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用 A，B，
C，D 表示，画树状图如下所示：
由上可得，一共有 12 种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写
有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有 2 种，所以两人恰好抽
