(共14张PPT)
第二部分
基础题型过关
一、填空题、选择题常用解题技巧
技巧 1
直接求解法
对于大部分的选择题和填空题可采用直接求解法，即直接从题目
的已知条件入手，通过正确的推理论证求得结论，再结合选项确定正
确的答案.
1.(2024·广州)若 a≠0，则下列运算正确的是(
)
B
(
)
A.
C.
B.
D.
3.(2024·广州改编)圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇形，
若扇形的半径 l 是 5，则该圆锥的体积是(
)
B
D
则函数 y＝ax＋b 和 y＝ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是(
技巧 2
排除法
当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾
的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样
逐步排除，直到得到正确的选项.
B
4.(2025·潮南区一模)若函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，
)
A.
B.
C.
D.
5.(2025·惠城区模拟)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，
CD 的中点，AE 交 BF 于点 H，CG∥AE 交 BF 于点 G，下列结论：
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
，其中正确的是( )
D
技巧 3
赋予特殊值法
根据题目的条件，设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的
运算，得出最终答案的一种方法.用特殊值法要注意所选取的值要符合
条件，易于计算.
D
6.实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的
是(
)
A. a＋2＞b＋2
B. 2a＞2b
C. a＋b＜0
D. a2＞ab
7.根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第 n 个图中平
行四边形的个数是(
)
A. 3n
B. 3n(n＋1)
C. 6n
D. 6n(n＋1)
8.已知 a－1＞0，则下列结论正确的是(
)
A. －1＜－a＜a＜1
C. －a＜－1＜a＜1
B. －a＜－1＜1＜a
D. －1＜－a＜1＜a
B
B
技巧 4
数形结合法
数与形在一定条件下可以相互转化，数形结合的应用大致又可分
为两种情形：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，二是借助
形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，第一种情形是“以数解
形”，而第二种情形是“以形助数”.
9.(2025·金平区一模)如图，从边长为(t＋2)cm 的正方形纸片中剪去
一个边长为(t－2)cm 的正方形(t＞2)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩
形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(
)
C
A. 4 cm2 B. 4t cm2 C. 8t cm2 D. (t2－2)cm2
10.(2025·凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，
)
其对称轴为 x＝2，且图象经过点(6，0)，则下列结论错误的是(
A. bc＞0
B. 4a＋b＝0
D. 若(－1，y1)，(3，y2)两点都在抛物线y＝ax2＋bx
＋c的图象上，则y2＜y1
则a的取值范围是_______________.
D
－2≤a＜－1
技巧 5
代入验证法
将选择题的选项代入题干中进行检验、计算，得出结论．
13.在同一平面直角坐标系中，抛物线M：y＝ax2－4ax＋6与坐标
轴有且只有一个交点，若抛物线 M 与抛物线 M′关于 x 轴对称，且两抛
物线顶点之间的距离为 4，则 a 的值为(
)
A. ±2
B. ±1
C. 2
D. 1
B
D
图象上，点 B 在反比例函数 y ＝
(x ＞0) 的图象上，且 AB∥x 轴，
AB⊥BC，垂足为点B，BC交 x轴于点C，若△ABC的面积为5，则k
的值为(
)
A.－2
B. 2
C.－1
D. 1
14.(2025·中山市校级模拟)如图，点A在反比例函数y＝ (x＜0)的
A
技巧 6
巧用结论法
在平时的学习中，有一些重要结论，如射影定理、切割线定理、
平面内两点之间的距离公式等，这些结论在解答题中，不能直接应用，
但在解选择题和填空题时，应用其可以提高解题效率.
15.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1，1)，B(5，－3)，则
线段 AB 的长为(
)
B
16.如图，点 P 是⊙O 直径 AB 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点 C，
已知 OB＝3，PB＝2，则 PC 等于________.
第 16 题图
第 17 题图
17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD
＝1，AD＝2，则 BC 的长为________.
4
5(共33张PPT)
三、应用类解答题
类型一
方程(组)的应用
1.(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参，为促进我省特色经济的发
展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种
商品的售价分别为每盒 25 元和 20 元.某游客购买了甲、乙两种商品共
10 盒，花费 230 元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.(6 分)
解：设游客购买甲种商品 x 盒，购买乙种商品 y 盒，根据题意得
答：游客购买甲种商品 6 盒，购买乙种商品 4 盒．
2.(2025·北京)北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作
一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图 1)：一根门条、两根等长
的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎
成风筝的骨架(如图 2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是 1∶1∶2.
已知单根膀条长是胸腹高的 5 倍，门条比单根膀条短 10 cm，图 1 中
的总高.(6 分)
图 1
图 2
(5x－10)cm，BC＝ (5x－10)cm，AB＝CD＝x cm，头部高为x cm，尾
可得5x－10＝x＋ (5x－10)＋x，解得x＝20.
解：设胸腹高为 x cm，则单根膀条长为 5x cm，门条 AD 的长度为
部高为 2x cm，这只风筝的骨架的总高为 4x cm，
由 AD＝AB＋BC＋CD，
所以这只风筝的骨架的总高为 4x＝80(cm)，
答：这只风筝的骨架的总高为 80 cm.
3.(2025·白云区校级三模)列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每
天生产乙种文创产品的数量多 50 个，3 天时间生产的甲种文创产品的
数量比 4 天时间生产的乙种文创产品的数量多 100 个.
(1) 求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？(5 分)
(2) 由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，
每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数
量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种
文创产品每天增加数量的 2 倍.若生产甲、乙两种文创产品各 1 400 个，
乙比甲多用 10 天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.(5 分)
－
＝10，解得 y＝20，
解：(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是 x 个，则每天生产
乙种文创产品的数量是(x－50)个，
根据题意得 3x－4(x－50)＝100，
解得 x＝100，∴ x－50＝100－50＝50(个).
答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是 100 个，每天生产乙种
文创产品的数量是 50 个．
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是 y 个，则每天生产的
甲种文创产品增加的数量是 2y 个，
根据题意得
1 400 1 400
50＋y 100＋2y
经检验，y＝20 是所列方程的解，且符合题意．
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是 20 个．
4.(2025·广州校级模拟)社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小
型停车场，其布局如图所示.已知 AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设
计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路.已知铺花砖
的面积为 640 m2.
(1) 求道路的宽是多少米？(5 分)
(2) 该停车场共有车位 50 个，据调查分析，
当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租出；
若每个车位的月租金每上涨 5 元，就会少租出
1 个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，
停车场的月租金收入为 10 125 元？(5 分)
整理得a2－50a＋625＝0，解得a＝25.
答：当每个车位的月租金上涨 25 元时，停车场的月租金收入为
10 125 元．
解：(1)根据题意得(52－2x)(28－2x)＝640，
整理得x2－40x＋204＝0，
解得x1＝34(舍去)，x2＝6.
答：道路的宽为6米．
(2)设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10 125元，
类型二
一元一次不等式(组)的应用
5.(2025·广州二模)在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答
题”环节.规则是两人轮流答题，每人都要回答 20 个题，每个题回答
正确得 a 分，回答错误或放弃回答扣 b 分.当甲、乙两人恰好都答完 12
个题时，甲答对了 8 个题，得分为 64 分；乙答对了 9 个题，得分为
78 分.
(1) 求 a 和 b 的值；(4 分)
(2) 规定此环节得分不低于 120 分能晋级，甲在剩下的比赛中至少
还要答对多少个题才能顺利晋级？(6 分)
答：a 的值为 10，b 的值为 4.
(2)设甲在剩下的比赛中答对 x 个题，
根据题意，得 64＋10x－4(20－12－x)≥120，
答：甲在剩下的比赛中至少还要答对 7 个题才能顺利晋级．
6.(2025·海珠区校级二模)某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若
购进甲种圆规 15 个，乙种圆规 20 个，需要 310 元；若购进甲种圆规
20 个，乙种圆规 30 个，需要 440 元.
(1) 求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(4 分)
(2) 文具店购进甲、乙两种圆规共 100 个，每个甲种圆规的售价为
15 元，每个乙种圆规的售价为 12 元，销售这两种圆规的总利润不低
于 480 元，且购进两种圆规所用费用不超过 964 元，那么这个文具店
购进甲种圆规的方案有几种？(6 分)
解：(1)设甲种圆规的单价是 x 元，乙种圆规的单价是 y 元，
答：甲种圆规的单价是 10 元，乙种圆规的单价是 8 元．
(2)设购进 m 个甲种圆规，则购进(100－m)个乙种圆规，根据题意
解得 80≤m≤82，
∵ m 为正整数，∴ m 可以为 80，81，82，∴ 这个文具店购进甲
种圆规的方案有 3 种．
答：这个文具店购进甲种圆规的方案有 3 种．
类型三
函数的实际应用
7.(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体
育用品商店排球的单价为 30 元/个，篮球、足球的价格如表：
(1) 请你从上述 3 个条件中任选 2 个作为条件，求出篮球和足球的
单价；(4 分)
① 篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
② 购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③ 购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(2) 若该学校要购买篮球、足球共 10 个，且足球的个数不超过篮
球个数的 2 倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
(6 分)
解：(1)设篮球的单价为 x 元/个，足球的单价为 y 元/个，
答：篮球的单价为 60 元/个，足球的单价为 50 元/个．(答案不唯
一)
(2)设该学校购买篮球 m 个，则购买足球(10－m)个，根据题意得
设学校要购买篮球、足球的总费用为 w 元，
根据题意得 w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500，
∵ 10＞0，∴ w 随 m 的增大而增大，
∴ 当 m＝4 时，w 最小，最小值为 540.
答：购买 4 个篮球时花费最少，最少费用是 540 元．
8.(2025·广州模拟)【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固
定电压为 12 V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成
控制灯泡 L(灯丝的阻值 RL＝2 Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1) a＝________，b＝________；(2 分)
2
1.5
1.5)，在平面直角坐标系中画出对应函数 y＝
解：①根据表格数据描点：(1，4)，(2，3)，(3，2.4)，(4，2)，(6，
12
x＋2
(x≥0)的图象如图所示．
② 随着自变量 x 的不断增大，函数值 y 的变化趋势是________；
(2 分)
的解集为_____________.(4 分)
不断减小
x≥2 或 x＝0
9.(2025·广州)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高
架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图 1 所示
的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解
决问题.
图 1
发现问题
确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象
绘制图形
图 2
隧道及斜坡的侧面示意图可
近似如图 2 所示.
图 3
图 3 为隧道横截面示意图，
由抛物线的一部分 ACB 和矩
形 ADEB 的三边构成.
发现问题
确定目标 涉水线设置 限高架设置
信息收集
资料整理 当隧道内积水的水深
为 0.27 米时(即积水达
到涉水线处)，车辆应
避免通行. 车辆进入隧道，应在行驶车道内通
行(禁止压线)，且必须保证车辆顶
部与隧道顶部 ACB 在竖直方向的
空隙不小于 0.3 米.
实地考察
数据采集 斜坡的坡角α为 10°，并
查得 sin 10°≈0.174，
cos 10°≈0.985，tan 10°
≈0.176. 隧道的最高点 C 到地面 DE 距离为
5.4 米，两侧墙面高 AD＝BE＝3 米，
地面跨度 DE＝10 米.车辆行驶方向
的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙
面的距离为 1 米.
问题解决：
(1) 如图 2，求涉水线离坡底的距离 MN(精确到 0.01 米)；(4 分)
(2) 在图 3 中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 ACB 的解析
式；(4 分)
(3) 限高架上标有警示语“车辆限高 h 米”(即最大安全限高)，求
h 的值(精确到 0.1 米).(4 分)
解：(1)如图，过点 M 作 MP⊥l.
∵ 斜坡的坡角α为 10°，隧道内积水的水深为 0.27 米，
∴ ∠MNP＝10°，MP＝0.27，
∵ MP⊥l，sin 10°≈0.174，在 Rt△MNP 中，
答：涉水线离坡底的距离 MN 约为 1.55 米．
(2)如图，以点 C 为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设抛物线ACB的解析式为y＝ax2(a＜0)，
∵ 隧道的最高点 C 到地面 DE 距离为 5.4 米，两侧墙面高 AD＝
BE＝3 米，地面跨度 DE＝10 米，
∴ B(5，－2.4)，
把B(5，－2.4)代入y＝ax2，得－2.4＝25a，
(3)车辆行驶方向的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙面的距离为 1
米，必须保证车辆顶部与隧道顶部 ACB 在竖直方向的空隙不小于 0.3
米，
∴ 10÷2－1＝4，
则 OG＝1.536 米，
∴ GH＝CH－OG＝5.4－1.536＝3.864(米)，
∵限高架上标有警示语“车辆限高 h 米”(即最大安全限高)，
∴ h＝GH－0.3＝3.864－0.3＝3.564，
∵ 涉及安全问题，∴ h＝3.564≈3.5.
类型四
解直角三角形的应用
10.(2025·广州二模 )某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长
度，实施了如下方案：先测得球罐最低处 B 离地面高度 AB＝1.5 米.接
着一人站在球罐最高点 C 处，看到斜梯末端 F 处恰好被斜梯顶端 E 遮
挡(此时 EF 与⊙O 相切)，已知过切点 B 恰有一水平横梁交于斜梯末端
F 处.
(1) 连接 OE，求证：∠DOE＝∠BFD；(5 分)
分)
(2) 若眼睛D与点C的距离为1.5米，sin D＝ ，求斜梯EF的长.(5
(1)证明：如图，连接 OE，由切线的性质可得∠OEF＝∠OBF＝90°，
∴ ∠BOE＋∠BFD＝180°，
又∵ ∠BOE＋∠DOE＝180°，∴ ∠DOE＝∠BFD.
∴ BD＝1.5＋6＋6＝13.5(米)，
∴ BF＝BD·tan D＝18(米)，
根据切线长定理可知 EF＝BF＝18 米．
答：斜梯 EF 的长为 18 米
11.(2025·广州校级二模)如图，小红同学为了测量小河对岸某塔 AB
的高度，她在与塔底 B 同一水平线 BF 上的点 C 处测得塔的顶端 A 的
仰角为 45°，接着她沿着坡度 i＝1∶ 的斜坡 CE 向上行走 10 米到达
点 D 处(点 A，B，C，D，E，F 在同一平面内)，此时测得塔的顶端 A
的仰角为 31°.(参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，
(1) 求点 D 到 FC 的距离；(5 分)
(2) 求塔 AB 的高度(结果精确到 0.1 米).(5 分)
解：(1)如图，过点 D 作 DM⊥BF 于点 M.
答：点 D 到 FC 的距离为 5 米．
(2)如图，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H.
∵ ∠DMB＝∠DHB＝∠HBM＝90°，∴ 四边形 DMBH 为矩形，
∴ BH＝DM＝5 米，DH＝CM＋BC，
∵ ∠ACB＝45°，∴ BC＝AB＝AH＋5，
∴ AH＝DH·tan 31°，
∴ AB＝AH＋BH＝20.475＋5≈25.5(米).
答：塔 AB 的高度约为 25.5 米．(共16张PPT)
四、作图题专项
类型一
基本作图
1.(2025·增城区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.
(1) 尺规作图：作线段 BC 的垂直平分线 MN，交 AC 于点 D，交
BC 于点 F；(不写作法，保留作图痕迹)(2 分)
(2) 在(1)的条件下，∠C＝30°，AB＝3，求 CD 的长.(4 分)
∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝ BD，
解：(1)如图，直线 MN 是 BC 的垂直平分线．
(2)如上图，连接 BD.
∵ 直线 DF 是 BC 的垂直平分线，∴ BD＝CD，
∴ ∠CBD＝∠C＝30°，∵ ∠A＝90°，∠C＝30°，
在Rt△ABD中，
AB＝3，BD＝2AD，AB2＋AD2＝BD2，
(2)在(1)作出的图中，若AC＝2，tan∠BAD＝ ，求AB的长度.(4
2.(2025·白云区一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1) 尺规作图：作∠CAB 的角平分线 AD，交线段 BC 于点 D；(不
写作法，保留作图痕迹)(2 分)
分)
解：(1)如图，射线 AD 即为所求．
(2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.
∵ AD 为∠CAB 的平分线，∠C＝90°，
∴ DE＝CD.
∵ AD＝AD，∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴ AE＝AC＝2.
∵ ∠BED＝∠BCA＝90°，∠DBE＝∠ABC，
∴ △DBE∽△ABC，
类型二
复杂作图
3.(2025·增城区校级三模)如图，在△ABC 中，AB＝BC，点 O 在
AB 上，以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 BC 边相切于点 D.
(1) 尺规作图：作 AE∥BC 交⊙O 于点 E；(不写作法，保留作图
痕迹)(2 分)
(2) 连接 CO 并延长交 AE 于点 F.若 OA＝3，BD＝6，求 AF 的长.(4
分)
解：(1)如图，在 AB 的上方作∠BAE＝∠B，交⊙O 于点 E，则 AE
即为所求．
(2)如图，连接 OD，∵ 以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 BC
边相切于点 D，
∴ OD⊥BC，OD＝OA＝3，
∵ AE∥BC，∴ ∠OAF＝∠B，∠AFO＝∠BCO，
4.(2025·宿迁)实验活动：仅用一把圆规作图.
【任务阅读】如图 1，仅用一把圆规在∠AOB 内部画一点 P，使
点 P 在∠AOB 的平分线上.
小明的作法如下：
如图 2，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 OA，
两弧交于点 P，则点 P 为所求点.
理由：如图 3，连接 EP，FP，OP，
由作图可知 OE＝OF，PE＝PF，
又因为 OP＝OP，
OB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，
所以______________________，
所以∠EOP＝∠FOP，
所以 OP 平分∠AOB，
即点 P 为所求点.(3 分)
【实践操作】如图 4，已知直线 AB 及其外一点 P，只用一把圆规
画一点 Q，使点 P，Q 所在直线与直线 AB 平行，并给出证明.(不写作
法，保留作图痕迹)(3 分)
△OEP≌△OFP(SSS)
图 1
图 2
图 3
图 4
解：【实践操作】如图，连接 AP，以点 A 为圆心，任意长为半径
画弧，交 AB 于点 F，交 AP 于点 E，以点 P 为圆心，AF 长为半径画
弧，作∠CPQ＝∠PAB，点 Q 即为所求．
证明：由作图可知，∠CPQ＝∠PAB，∴ PQ∥AB，
∴ 点 Q 为所求．
类型三
应用与设计作图
5.(2025·长春)图 1、图 2、图 3 均是 4×3 的网格，其中每个小方
格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别
在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC 的顶点均在格点上.
(1) 在图 1 中，△ABC 是面积最大的等腰三角形；(2 分)
(2) 在图 2 中，△ABC 是面积最大的直角三角形；(2 分)
(3) 在图 3 中，△ABC 是面积最大的等腰直角三角形.(2 分)
图 1
图 2
图 3
图 1
图 2
图 3
解：(1)如图1，△ABC即为所求．(答案不唯一)
(2)如图2，△ABC即为所求．(答案不唯一)
(3)如图3，△ABC即为所求．(答案不唯一)
6.(2025·威海)【问题提出】
数.
【问题解决】
(1) 如图，小亮同学在边长为 1 的正方形网格中画出∠BAD 和
∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数；(点 A，B，C，D 都在
格点上)(2 分)
备用图
解：如图 1，连接 BC.
∴ AB2＋BC2＝AC2，∴ ∠ABC＝90°，∴ ∠BAC＝45°，∴ ∠α＋
∠β＝45°.
图 1
图 2
【策略迁移】
________°；(2 分)
90°
＝∠θ，求 tan θ的值.
(提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案)(4
分)
解：如图 2，∠α＝∠GDH，∠β＝∠HDF，(共17张PPT)
二、计算类解答题
类型一
实数的综合运算
1.(2025·河北)(1)一道习题及其错误的解答过程如下：
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的
解答过程；(4 分)
解：原式＝4＋3＋1－1＝8－1＝7.
4.(2025·河北)一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长
度的增加称为线膨胀.在 0～100 ℃(本题涉及的温度均在此范围内)，原
长为 l(m)的铜棒、铁棒受热后，伸长量 y(m)与温度的增加量 x(℃)之间
的关系均为 y＝alx，其中 a 为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜
的线膨胀系数aCu＝1.7×10-5(单位：/℃)；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃
加热到80 ℃伸长了1.8×10-3m.
(1) 原长为 0.6 m 的铜棒受热后升高 50 ℃，求该铜棒的伸长量(用
科学记数法表示)；(2 分)
(2) 求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×
10-4m，求该铁棒温度的增加量；(2分)
(3) 将原长相等的铜棒和铁棒从 0 ℃开始分别加热，当它们的伸长
量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高 20 ℃，求该铁棒温度的增加量.(2
分)
解：(1)1.7×10-5×0.6×50＝5.1×10-4(m)，即该铜棒的伸长量为
5.1×10-4m.
40(℃)，即该铁棒温度的增加量为 40 ℃.
(3)设铜棒增加的温度为 x ℃，则铁棒增加的温度为(x＋20)℃，它
们的伸长量均为 l，
由题意得1.7×10-5lx＝1.2×10-5l(x＋20)
整理得 17x＝12x＋240，解得 x＝48，
则 x＋20＝48＋20＝68，即该铁棒温度的增加量为 68 ℃.
类型二
代数式的化简求值
5.(2025·常州)先化简，再求值：x(x＋2)＋(x－1)2，其中 x＝ .(6
分)
解：原式＝x2＋2x＋x2－2x＋1＝2x2＋1，
－2≤x≤2 内取一个使原式有意义的 x(x 为整数).(6 分)
∵ x≠0，x＋2≠0，x－2≠0，
∴ x≠0，x≠±2，
∴ 取 x＝1，
∴ 原式＝－
4
1－2
＝4.(答案不唯一)
7.(2025·重庆)先化简，再求值：(x＋1)(3x－1)－x(3x＋1)＋
类型三
解方程(组)
8.解下列一次方程(组)：
(1) (2025·白云区校级模拟)2(x－1)＝4－x；(4 分)
解：(1)2(x－1)＝4－x，2x－2＝4－x，2x＋x＝4＋2，3x＝6，x＝2.
(2)去分母，得 6x－3(x－2)＝6＋2(2x－1)，
去括号，得 6x－3x＋6＝6＋4x－2，
移项，得 6x－3x－4x＝6－6－2，
合并同类项，得－x＝－2，
系数化为 1，得 x＝2.
(3)①＋②得 3x＋x－2y＋2y＝4＋4，4x＝8，
解得 x＝2，
把 x＝2 代入①得 3×2－2y＝4，解得 y＝1，
9.解下列分式方程：
解：(1)原方程去分母得 3x＝2x＋2，解得 x＝2，
检验：当 x＝2 时，x(x＋1)≠0，
故原方程的解为 x＝2.
(2)方程两边都乘(x－3)，得 2x＋x－3＝－6，解得 x＝－1，
检验：当 x＝－1 时，x－3≠0，所以 x＝－1 是分式方程的解，即
分式方程的解是 x＝－1.
10.解下列一元二次方程：
(1) (2025·徐州)x2＋2x－4＝0；(4 分)
(2) (2023·广州)x2－6x＋5＝0；(4 分)
解：(1)x2＋2x－4＝0，(x＋1)2＝5，
(2)分解因式得(x－1)(x－5)＝0，
∵x－1＝0，x－5＝0，解得x1＝1，x2＝5.
类型四
解一元一次不等式(组)
11.(2025·河北)(1)解不等式 2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其
解集；(2 分)
(2) 解不等式 3－x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；(2 分)
解：(1)2x≤6，x≤3，数轴表示如下．
(2)3－x＜5，－x＜2，x＞－2，数轴表示如上图．
整数解.(4 分)
解：解不等式①，得 x＞－2，
解不等式②，得 x＜4，∴－2＜x＜4，
∴ 所有整数解为－1，0，1，2，3.(共23张PPT)
五、简单的几何证明与计算
类型一
全等三角形的性质和判定
1.(2023·广州)如图，B 是 AD 的中点，BC∥DE，BC＝DE.求证：
∠C＝∠E.(4 分)
证明：∵ B 是 AD 的中点，∴ AB＝BD，
∵ BC∥DE，∴ ∠ABC＝∠D，
∴ △ABC≌△BDE(SAS)，∴ ∠C＝∠E.
2.(2025·海珠区校级二模)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.在射线 CD 上截取 CE＝CA，过点
E 作 EF⊥CE，交 CB 的延长线于点 F.(4 分)
求证：BC＝FE.
证明：∵ CD⊥AB，∴ ∠A＋∠ACD＝90°，
∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACD＋∠ECF＝90°，∴ ∠A＝∠ECF，
∵ EF⊥CE，∴ ∠E＝90°，∴ ∠E＝∠ACB，
∴ △ACB≌△CEF(ASA)，∴ BC＝FE.
类型二
相似三角形的性质和判定
3.(2025·越秀区校级三模)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，
∠DBC＝∠A.若 BC＝4，AC＝8，求 CD 的长.(4 分)
解：∵ ∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
4.(2025·广州二模)如图，已知点 E，F 在线段 BD 上，AE∥FC，
AE＝2CF，BE＝2DF，求证：AB＝2CD.(4 分)
证明：∵ AE∥FC，∴ ∠AEF＝∠EFC，
又∵∠AEB＋∠AEF＝180°，∠CFD＋∠EFC＝180°，
∴ ∠AEB＝∠CFD.
类型三
平行四边形或特殊平行四边形的性质和判定
5.(2025·越秀区一模)已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E
在BD的延长线上，连接EA，EC.求证：△EAB≌△ECB.(4分)
证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴ △EAB≌△ECB(SAS).
6.(2025·广州校级模拟)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB
＝AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB
交 AB 的延长线于点 E.
(1) 求证：四边形 ABCD 是菱形；(4 分)
(2) 若 OC＝EC，AB＝4，求 CE 的长.(4 分)
(1)证明：∵ AB∥DC，∴ ∠ACD＝∠BAC.
∵ AC 平分∠BAD，∴ ∠BAC＝∠DAC，
∴ ∠ACD＝∠DAC，∴ AD＝CD.
∵ AB＝AD，∴ AB＝CD，
∵ AB∥DC，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ AB＝AD，∴ 四边形 ABCD 是菱形．
(2)解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，且 CE⊥BE，
∴ ∠COB＝∠E＝90°.
∵ OC＝EC，CB＝CB，
∴ Rt△COB≌Rt△CEB(HL)，
∴ ∠BCO＝∠BCE.
∵ AB＝BC＝4，∴ ∠BAC＝∠BCA，
∴ ∠BAC＝∠BCA＝∠BCE，
∵ ∠BAC＋∠ACE＝90°，∴ ∠BCE＝30°，
7.(2025·越秀区校级二模)如图，在 ABCD 中，BE⊥AD 交 DA 的
延长线于点 E，AE＝AD.
(1) 求证：四边形 AEBC 是矩形；(4 分)
(2) F 为 CD 的中点，连接 AF，BF.已知 AB＝6，BF⊥AF，求 BF
的长.(4 分)
(1)证明：由题意可得 AD∥BC，AD＝BC，∵ AE＝AD，∴ AE∥
BC， AE＝BC，∴ 四边形 AEBC 是平行四边形，
又∵ BE⊥AD，∴ ∠E＝90°，
∴ 四边形 AEBC 是矩形．
(2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD＝6.由(1)得四
边形 AEBC 是矩形，∴ ∠CAD＝∠CAE＝90°，
∵ ∠AFB＝90°，由勾股定理得
类型四
圆中的问题
8.(8 分)(2025·越秀区校级三模)如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，
以 AC 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 交 CA 的延
长线于点 E，垂足为点 F.
(1) 判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(4 分)
(2) 若⊙O的半径R＝3，cos ∠E＝ ，求EF的长.(4分)
解：(1)DE 与⊙O 相切，理由如下：如图，连接 OD.
∵ OD＝OC，∴ ∠ODC＝∠C，
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C，∴ ∠B＝∠ODC，
∴ AB∥OD，
∵ DE⊥AB，∴ OD⊥DE，
∵ D 在⊙O 上，∴ DE 是⊙O 的切线．
又∵∠ACB＝90°，且D是AB的中点，∴CD＝ AB＝AD＝BD，
9.(12分)(2025·深圳)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE
＝CD，AD＝EC.
(1) 求证：四边形 ADCE 为菱形.(3 分)
证明：∵ AD＝EC，AE＝CD，∴ 四边形 ADCE 为平行四边形，
∴ 四边形 ADCE 为菱形．
(2) 如图 2，若点 O 为 AC 上一点，且 E，A，D 三点均在⊙O 上，
连接 OD，CD 与⊙O 相切于点 D，
① 求∠ACD＝________；(3 分)
② AC＝4，求⊙O 的半径 r.(3 分)
30°
(3) 利用圆规和无刻度直尺在图 2 中作射线 DF∥AC，交 BC 于点
F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由.(3 分)
图 1
图 2
解：②∵ AC＝4，∴ OC＝4－r，
∵ ∠ACD＝30°，∠CDO＝90°，
(3)由题意，作图如下．
10.(8 分)(2024·深圳)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四点，AC 是
直径，AB＝BD，⊙O 的切线 BE 交 DC 的延长线于点 E.
(1) 求证：BE⊥DE；(4 分)
(1)证明：如图，连接 OD，连接 BO 并延长交 AD 于点 H.
∵ AB＝BD，OA＝OD，
∴ BO 垂直平分 AD，∴ ∠BHD＝90°，
∵ BE 为⊙O 的切线，∴ OB⊥BE，∴ ∠OBE＝90°，
∵ AC 为⊙O 的直径，∴ ∠ADC＝90°，
∴ 四边形 BEDH 为矩形，
∴ ∠E＝90°，∴ BE⊥DE.
