(共15张PPT)
第7讲
分式方程
知识点 1 分式方程及其解法
(1)分式方程的定义：分母中含有____________的方程叫作分式方
程.
(2)解分式方程的一般步骤：
未知数
最简公分母
0
0
(1) 2
－
＝1.(4 分)
1.解下列方程：
5x＋2
x ＋x
＝
3
x＋1
；(4 分)
(2)
2x 2
2x－5 2x＋5
解：(1)原方程去分母得 5x＋2＝3x，解得 x＝－1，
检验：将 x＝－1 代入 x(x＋1)得－1×0＝0，
则 x＝－1 是分式方程的增根，故原方程无解；
(2)去分母得 2x(2x＋5)－2(2x－5)＝(2x＋5)·(2x－5)，
去括号得4x2＋10x－4x＋10＝4x2－25，
移项得4x2＋10x－4x－4x2＝－25－10，
合并同类项得 6x＝－35，
代入最简公分母得(2x＋5)(2x－5)≠0，
有增根，则 a 的值是________.
知识点 2 分式方程的增根
使原分式方程分母为零的根叫作方程的增根.增根是分式方程化
成整式方程的根.
2.若方程
a
x－3
＝2－
3
3－x
3
1－x 1
·(x－2)＝
考点 1
解分式方程
1.(2025·广东)在解分式方程
＝
x－2 2－x
－2 时，小李的解法如下：
第一步：
1－x
x－2
1
2－x
·(x－2)－2，
第二步：1－x＝－1－2，
第三步：－x＝－1－2－1，
第四步：x＝4.
第五步：检验：当 x＝4 时，x－2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为 x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李
的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.(6 分)
解：小李的解法中，第一步是去分母；去分母的依据是等式的基
本性质；小李的解答过程不正确．
整理，得 1－x＝－1－2x＋4，
移项并合并同类项，得 x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，∴原分式方程无解．
解下列分式方程：
解：(1)原方程去分母得 x＝6x－15，解得 x＝3，
检验：当 x＝3 时，x(2x－5)≠0，
故原方程的解为 x＝3；
(2)原方程去分母得 x－2－2x＋1＝－1，解得 x＝0，检验：当 x＝0
时，2x－1≠0，故原方程的解为 x＝0.
关于 x 的分式方程
x＋m
x－2
＋
1
2－x
＝3 有增根，则
m＝________.
－1
考点 2
分式方程的解
2.已知分式方程
2x＋b
x－3
＝－1.
(1)若分式方程无解，求 b 的值；(2 分)
(2)若分式方程的解是非负数，求 b 的取值范围.(4 分)
解：(1)
2x＋b
x－3
＝－1，
方程两边同乘(x－3)，得 2x＋b＝－x＋3，
移项、合并同类项，得 3x＝3－b.
系数化为 1，得 x＝
3－b
3
.
∵分式方程无解，
∴分母 x－3 为 0，即 x＝3，
∴b≤3 且 b≠－6，
∴b 的取值范围是 b≤3 且 b≠－6.
x＋m
(2025· 黑 龙 江 ) 已知关于 x 的分式方程
x＋k
x－4
－
2k
4－x
＝3 的解为负数，则 k 的值为(
)
A.k＜－4
B.k＞－4
C.k＜－4 且 k≠－
4
3
D.k＞－4 且 k≠－
4
3
(2025·凉山州)若关于 x 的分式方程
x－2
＋
1
2－x
＝
3 无解，则 m＝________.
A
－1
(
)
A.x＋1＝2x
B.x＋2＝1
C.1＝2x
D.x＝2(x＋1)
A.x＝－3
B.x＝－9
C.x＝3
D.x＝9
A
D
A.1
B.－1
C.2
D.－2
C
x＝2
解：方程两边同乘(x－2)(x－1)，得(x－3)(x－1)－2＝2(x－2)，
解得 x＝1 或 x＝5，
检验：当 x＝1 时，(x－2)(x－1)＝0，
当 x＝5 时，(x－2)(x－1)≠0，
∴原方程的解为 x＝5.(共27张PPT)
第9讲
不等式与不等式组
知识点 1 不等式的性质
设 a>b，c 是整式，则
(1)性质 1：a±c>b±c.
>
<
＞
＞
1.(RJ 七下 P120)设 a＞b，用“＜”或“＞”填空：
(1)2a－5________2b－5；
(2)－3.5b＋1________－3.5a＋1.
解集 在数轴上表示 总结
x＞a 方向：小于向左，大于向
右边
边界：“≤”“≥”为实
心圆点，“＜”“＞”为
空心圆圈
x________a
x________a
x≥a
知识点 2 一元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为
1(注意：不等式的方向是否改变).
(2)一元一次不等式的解集表示
＜
≤
2.(RJ 七下 P124 节选)解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)5x＋15＞4x－1；(4 分)
解：(1)5x＋15＞4x－1，
5x－4x＞－1－15，
x＞－16.
将解集表示在数轴上如图．
x＋1 2x－5
(2)
≥
6 4
＋1，
2(x＋1)≥3(2x－5)＋12，
2x＋2≥6x－15＋12，
2x－6x≥－15＋12－2，
将解集表示在数轴上如图．
类型(a＞b) 在数轴上的表示 解集 口诀
______________ 同大取大
______________ 同小取小
知识点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示
(1)解法：先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共
部分.
(2)几种常见不等式组的解集
x＞a
x＜b
类型(a＞b) 在数轴上的表示 解集 口诀
______________ 大小、小大中间找
______________ 大大、小小取不了
b＜x＜a
无解
3.(RJ 七下 P129 节选)解下列不等式组：
解：(1)解不等式①，得 x<－6，
解不等式②，得 x≥2，
则不等式组无解．
常见的关键词 不等号
大于，多于，超过，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于 __________
至多，不高于，不大于，不超过 __________
知识点 4 一元一次不等式(组)的应用
(1)列一元一次不等式(组)解应用题的基本步骤
审题→设未知数→列不等式(组)→解不等式(组)→检验并写出答
案
≥
≤
(2)常见的表示不等关系的关键词
4.(RJ 七下 P130)把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么
余 8 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分不到 3 本.这些
书有多少本？共有多少名同学？(6 分)
解：设共有 x 名同学，则这些书有(3x＋8)本，
∵x 为正整数，∴x＝6，∴3x＋8＝3×6＋8＝26.
答：这些书有 26 本，共有 6 名同学．
考点 1
不等式的基本性质
)
1. (2024·广州)若 a＜b，则(
A.a＋3＞b＋3
C.－a＜－b
B.a－2＞b－2
D.2a＜2b
D
(联系生活)不等关系在生活中广泛存在.如图，a，
b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度.图中两人的对话体现的
数学原理是(
)
A.若 a＞b，则 a＋c＞b＋c
B.若 a＞b，b＞c，则 a＞c
C.若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc
A
考点 2
一元一次不等式(组)的解法
表示.(4 分)
解：由不等式①得____________，由不等式②得______________，
在数轴上表示为
所以，原不等式组的解集为____________________.
x≥－1
x＜4
－1≤x＜4
(2024·眉山)解不等式：
x＋1
3
－1≤
2－x
2
，把它的解
集表示在数轴上.(4 分)
解：解不等式得 x≤2，其解集在数轴上表示如下：
(2025· 广 州 )
轴上表示解集.(4 分)
考点 3
一元一次不等式(组)的应用
3.(2025·资阳)某社团计划开展手工制作活动，制作需使用 A，B 两
款材料包.购买 3 份 A 款材料包和 2 份 B 款材料包需 84 元，购买 2 份
A 款材料包和 3 份 B 款材料包需 86 元.
(1)问购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需多少元；(4 分)
(2)该社团打算购买 A，B 两款材料包共 50 份，总费用不超过 830
元，则至少购买 A 款材料包多少份？(6 分)
解：(1)设购买一份 A 款材料包需 x 元，购买一份 B 款材料包需 y
元，
答：购买一份 A 款材料包需 16 元，购买一份 B 款材料包需 18 元．
(2)设购买 A 款材料包 m 份，则购买 B 款材料包(50－m)份，
根据题意得 16m＋18(50－m)≤830，解得 m≥35，
∴m 的最小值为 35.
答：至少购买 A 款材料包 35 份．
某商场购进 A，B 两种商品，已知购进 3 件 A 商
品比购进 4 件 B 商品费用多 60 元；购进 5 件 A 商品和 2 件 B 商品总
费用为 620 元.
(1)求 A，B 两种商品每件进价各为多少元；(4 分)
(2)该商场计划购进 A，B 两种商品共 60 件，且购进 B 商品的件数
不少于 A 商品件数的 2 倍.若 A 商品按每件 150 元销售，B 商品按每件
80 元销售，为满足销售完 A，B 两种商品后获得的总利润不低于 1 770
元，则购进 A 商品的件数最多为多少？(6 分)
解：(1)设 A 商品的进价是 x 元/件，B 商品的进价是 y 元/件，
答：A 商品的进价是 100 元/件，B 商品的进价是 60 元/件．
(2)设购进 m 件 A 商品，则购进(60－m)件 B 商品，
根据题意得
解得 19≤m≤20，∴m 的最大值为 20.
答：购进 A 商品的件数最多为 20 件．
1. (2025·吉林)不等式 x－3＞2 的解集为(
)
A.x＞5
B.x＜5
C.x＞－1
D.x＜－1
2.(应用意识)(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有 a
克水、b 克水，a＞b.都加入 c 克水后，下列式子能反映此时两个玻璃
)
杯中水质量的大小关系的是(
A.a＋c＞b＋c
C.a＋c＜b＋c
B.a＋c＝b＋c
D.a－c＜b－c
A
A
3.(2025·内蒙古)
)
的是(
A
C.
B.
D.
C
4.(2024·广东)关于 x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，
则这个不等式组的解集是________.
5.(2025·青海)在平面直角坐标系中，点 P(a－2，1＋a)在第三象限，
则 a 的取值范围是________.
x≥3
a＜－1
超过乙种路灯数量的 ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最
6.(2025·烟台)2025 年 6 月 5 日是第 54 个“世界环境日”，为打造
绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公
共区域，升级改造现有照明系统.已知购买 1 盏甲种路灯和 2 盏乙种路
灯共需 220 元，购买 3 盏甲种路灯比 4 盏乙种路灯的费用少 140 元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价；(4 分)
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共 40 盏，且甲种路灯的数量不
少.(6 分)
解：(1)设甲种路灯的单价是 x 元，乙种路灯的单价是 y 元，
答：甲种路灯的单价是 60 元，乙种路灯的单价是 80 元．
(2)设购买 m 盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费 w 元，
则购买(40－m)盏乙种路灯，
根据题意得 w＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200.∵－20＜0，∴w
随 m 的增大而减小，
又∵m≤ (40－m)，∴m≤10，
∴当 m＝10 时，w 取得最小值，
此时 40－m＝40－10＝30.
答：当购买 10 盏甲种路灯，30 盏乙种路灯时，所需费用最少．(共25张PPT)
第二章
方程(组)与不等式(组)
第5讲
一元一次方程与二元一次方程组
知识点 1 等式的基本性质
(1)性质 1：若 a＝b，则 a±m＝________ (m 为代数式).
a
m
(m≠0).
b±m
bm
b
m
(2)性质2：m为实数，若a＝b，则am＝_________， ＝_________
方程 含有未知数的等式
方程的解 使方程___________________的未知数的值叫作方程的解
一元一次
方程 只含有________个未知数，且未知数的次数是________的
整式方程叫作一元一次方程
一般形式 ax＋b＝0(a，b 为常数，且 a≠0)
解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并________；⑤系数
化为______
知识点 2 一元一次方程及其解法
左、右两边的值相等
一
1
同类项
1
1.解下列方程：
(1)2(x＋8)＝3(x－1)；(4 分)
解：(1)2x＋16＝3x－3，2x－3x＝－16－3，解得 x＝19.
(2)4(5y＋4)＋3(y－1)＝24－(5y－5)，20y＋16＋3y－3＝24－5y＋
5，20y＋3y＋5y＝24＋5－16＋3，28y＝16，y＝ .
知识点 3 二元一次方程组
(1)定义：含有________未知数，且含有未知数的项的次数都是
________的整式方程.
(2)解二元一次方程组的方法
①代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用
________________的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，
进而求得这个方程组的解；
两个
1
含另一个未知数
②加减消元法：当二元一次方程组中同一个未知数的系数_______
______时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知
数，得到一个一元一次方程；当同一未知数的系数不同也不互为相反
数时，可通过找系数最小公倍数变成系数相同或互为相反，再相加或
相减.
相同或
相反
2.(RJ 七下 P101)解下列方程组：
①＋②×3，得 11x＝11，解得 x＝1，
将 x＝1 代入①，得 8＋9y＝17，解得 y＝1，
考点 1
实数的有关概念
1.下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务.
解：4(2x－1)－3(x＋1)＝12－2(5x＋2)……第一步
8x－4－3x－3＝12－10x－4 ………………第二步
8x－3x－10x＝12－4＋3＋4 ………………第三步
－5x＝15 ……………………………………第四步
x＝－3…………………………………………第五步
任务一：填空：
等式的基本性质
乘法分配律
(1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是______________，二
步去括号时依据的_____________；(2 分)
三
移项时－10x 没有变号
(2)以上解题过程中从第________步开始出现错误，这一步错误的
原因是______________________；(2 分)
x＝1
(3)请直接写出该方程的正确解：________.(1 分)
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一
元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议.(1 分)
解：任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要
给每一项乘以分母的最小公倍数，特别是常数项；②去括号时，如果
括号前面是“－”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动
项的符号的变化．
误：
(1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处；(2 分)
(2)写出你的解答过程.(4 分)
解：2×7x＝(4x－1)＋1，
…
系数化为1，得x＝ .
解：(1)如图．
(2)去分母，得 2×7x＝(4x－1)＋6，
去括号，得 14x＝4x－1＋6，
移项，得 14x－4x＝－1＋6，
合并同类项，得 10x＝5，
解：2×7x＝(4x－1)＋1，
…
已知 A＝
1－2x
3
，B＝
3x＋1
4
，解答下列问题：
(1)当 x 取何值时，A 与 B 的值互为相反数？(3 分)
(2)当 x 取何值时，B 的值比 A 的值大 7？(3 分)
考点 2
解二元一次方程组
【解法一】
解：①×2，得2x＋2y＝20，③
③－②，得5y＝15，
解得y＝3.
把y＝3 代入①，得x＋3＝10，
解得x＝7.
∴原方程组的解为 【解法二】
解：将①变形为x＝10－y，③
将③代入②，得2(10－y)－3y＝5，
解得y＝3.
把y＝3 代入③，得x＝10－3，
解得x＝7.
∴原方程组的解为
加减消元法
代入消元法
加减消元法
代入消元法
【题后反思】
(1)解法一用的方法是________________；
(2)解法二用的方法是________________；
(3)当方程组中同一个未知数的系数相同或者互为相反数时，常用______________；当方程组中一个方程的常数项为0或某一个方程中的未知数的系数为1或－1时，常用________________.
( 代入法 )(2025· 荔湾区校级二模 )解方程组 ：
解：把②代入①，得 4x－(2x＋5)＝1，∴x＝3，把 x＝3 代入②，
∴y＝11，
(加减法)(2025·广州二模)解方程组：
解：②－①得 2x－y＋y＋x＝0－3，3x＝－3，解得 x＝－1，
将 x＝－1 代入①得 y＋1＝3，解得 y＝2.
1.(2025·增城区校级三模)下列运用等式性质变化错误的是(
)
A.若 a＝b，则 a＋3＝b＋3
C.若 a－2＝b－2，则 a＝b
B.若－3x＝－3y，则 x＝y
2.(2025·贵州)已知 x＝2 是关于 x 的方程 x＋m＝7 的解，则 m 的值
为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
D
C
3.(数学文化)(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学
著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程 x＋2y
＝3 恰有一个正整数解 x＝1，y＝1.类似地，方程 2x＋3y＝21 的正整数
解的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
4.(2025·广州模拟)
值为________.
C
4
x －1 0 1 2 3
ax＋b －8 －4 0 4 8
5.整式 ax＋b 的值随着 x 的取值的变化而变化，下表是当 x 取不同
的值时对应的整式的值：
x＝3
则关于 x 的方程－ax－b＝－8 的解是________.
6.(运算能力)解下列方程(组)：
(1)4x－1＝2x＋5；(4 分)
解：(1)4x－1＝2x＋5，
移项，得 4x－2x＝5＋1，
合并同类项，得 2x＝6，
系数化为 1，得 x＝3.
①＋②，得 2x＝4，解得 x＝2，
(3)去分母，得 3(3x－1)－12＝2(5x－7)，
去括号，得 9x－3－12＝10x－14，
移项，得 9x－10x＝－14＋3＋12，
合并同类项，得－x＝1，
系数化为 1，得 x＝－1.
由①，得 5x－11y＝－12，③
由②，得 x－5y＝－8，即 x＝5y－8④，将④代入③，
得 5(5y－8)－11y＝－12，解得 y＝2.
将 y＝2 代入④，得 x＝2，(共28张PPT)
第6讲
一元二次方程
知识点 1 一元二次方程及其有关概念
(1)定义：只含有______个未知数(一元)，未知数的______________
(二次)的整式方程.
一
最高次数是 2
相等
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0).
(3)一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边________的未知
数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二
次方程的根.
1.(RJ 九上 P4)下列哪些数是方程 x2＋x－12＝0 的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：－4 和 3 是方程 x2＋x－12＝0 的根．
解法 适用的方程 方程的解
直接开平方法 形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)
的方程
x＝____________或 x＝
配方法
容易变形为 a(x＋h)2＝k(a≠0，
ak≥0)形式的方程
公式法
所有满足 b2 －4ac≥0 的一元二
次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
x＝__________________
因式分解法 容易变形为(x－a)(x－b)＝0 形
式的方程 x1＝________，x2＝
________
知识点 2 一元二次方程的解法
a
b
2.(RJ 九上 P25 节选)解下列方程：
(2)x2－7x－1＝0；(4 分)
(1)4x2＋12x＋9＝81；(4 分)
(3)2x2＋3x＝3.(4 分)
解(1)4x2＋12x＋9＝81，
(2x＋3)2＝81，2x＋3＝±9，
x1＝3，x2＝－6；
(2)x2－7x－1＝0，
移项，得x2－7x＝1，
知识点 3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac.
(1)Δ>0 时，方程有两个__________的实数根.
(2)Δ＝0 时，方程有两个________的实数根.
(3)Δ＜0 时，方程________实数根.
不相等
相等
没有
3.(RJ 九上 P17 节选)利用判别式判断下列方程的根的情况：
(2)16x2－24x＋9＝0；(3 分)
知识点 4 一元二次方程的根与系数的关系
拓展：
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋
x2＝________，x1·x2＝________.
4.设x1，x2是方程3x2－2x－2＝0的两个实数根，则x1x2－x1－x2
的值为________.
－
4
3
－2
5.若α，β是关于 x 的方程 x2－x＋k＝0 的两个实数根，且α2＋β2＝5，
则 k 的值为________.
考点 1
一元二次方程的解法
1. 下面是在学习一元二次方程的解法时小颖在黑板上的解答过
程，请认真阅读并完成任务.
(1)任务一：①小颖解方程的方法是________；(2 分)
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
②第二步变形的依据是________________；(2 分)
(2)任务二：请按要求解下列方程：
①x2＋2x－3＝0；(公式法)(4 分)
②3(x－2)2＝x2－4.(因式分解法)(4分)
B
等式的基本性质
解：①x2＋2x－3＝0.
∵a＝1，b＝2，c＝－3，
∴Δ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，
∴x1＝1，x2＝－3.
②3(x－2)2＝x2－4，
移项，得3(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0，
∴(x－2)(3x－6－x－2)＝0，
即(x－2)(2x－8)＝0，∴x－2＝0或2x－8＝0，
∴x1＝2，x2＝4.
用适当的方法解一元二次方程：
(1)4(x－1)2－9＝0；(4 分)
(3)x2+6x=9；(4 分)
(2)x2－3x－1＝0；(4 分)
(4)(2x＋1)2－4x－2＝0.(4 分)
(2)∵a＝1，b＝－3，c＝－1，
∴Δ＝9＋4＝13，
(3)∵x2＋6x＝9，∴x2＋6x＋9＝9＋9，
∴(x＋3)2＝18，
(4)∵(2x＋1)2－2(2x＋1)＝0，
∴(2x＋1)(2x＋1－2)＝0，
即(2x＋1)(2x－1)＝0
∴2x＋1＝0或2x＋1－2＝0，
考点 2
一元二次方程根的判别式
2.当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0，
(1)有两个不等的实数根？(2 分)
(2)有两个相等的实数根？(2 分)
(3)无实数根？(2 分)
(2025·广州)关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的
情况为(
)
A.有两个相等的实数根
C.无实数根
B.有两个不相等的实数根
D.只有一个实数根
若关于 x 的一元二次方程 9x2－6x＋c＝0 有两个
相等的实数根，则 c＝(
)
A.－9
B.4
C.－1
D.1
C
D
(2024·广州)关于 x 的方程 x2－2x＋4－m＝0 有两
个不相等的实数根.
(1)求 m 的取值范围；(3 分)
解：(1)根据题意得Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0，解得m＞3；
(2)∵m＞3，∴m－3＞0，
考点 3
一元二次方程根与系数的关系
3.已知关于 x 的一元二次方程 x2－px＋1＝0(p 为常数)有两个不相
等的实数根x1和x2.
(1)填空：x1＋x2＝______，x1x2＝________；(2分)
p
1
解：(2)由(1)知x1＋x2＝p，x1x2＝1，
∵关于x 的一元二次方程x2－px＋1＝0(p 为常数)
有两个不相等的实数根x1和x2，
解得p1＝3，p2＝－1，
当p＝3时，Δ＝p2－4＝9－4＝5>0；
当p＝－1时，Δ＝p2－4＝－3<0(不符合题意，舍去).
∴p＝3.
(2025·苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程
x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________.
(2025·泸州)若一元二次方程 2x2－6x－1＝0 的两
根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________.
－3
10
1.关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不
含一次项，则 m 的值为(
)
A.0
B.±3
C.3
D.－3
)
2.(2025·河南)一元二次方程 x2－2x＝0 的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
D
A
A.－2 026
B.2 026
C.－1
D.1
4.(2025·绥化)已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2－2 025x＋1
＝0 的两个根，则(m＋1)·(n＋1)＝________.
D
2 027
3.用配方法解一元二次方程x2－2x－2 025＝0，将它转化为(x＋a)2
＝b的形式，则ab的值为( )
5.(运算能力)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解
法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法.请从下列一元二次方程
中任选两个，并解这两个方程.(4 分)
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
解：①利用公式法：x2＋2x－1＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝－1，
Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8>0，
②利用因式分解法：x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，∴x＝0 或 x－3＝0，
④利用因式分解法：x2－4＝0，∴(x＋2)(x－2)＝0，∴x＋2＝0 或
x－2＝0，∴x1＝－2，x2＝2.(任选两个即可)
∴x1＝0，x2＝3.
③利用配方法：x2－4x＝4，
两边都加上4，得x2－4x＋4＝8，
6.已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(3 分)
值.(3 分)
(1)证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
这里a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝
m2＋8.
∵m2≥0，∴Δ＞0，
∴无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.
∴(m＋2)2－3(m－1)＝9.
整理，得m2＋m－2＝0.∴(m＋2)(m－1)＝0.
解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值为－2或1.(共31张PPT)
第8讲
方程(组)的实际应用
常见类型 常见的数量关系及相等关系
行程问题 相遇问题 快车行驶路程＋慢车行驶路程＝原距离
追击问题 快车行驶路程－慢车行驶路程＝原距离
航行问题 顺水速度＝_______________________；逆水速度
＝_______________________
知识点
列方程(组)解应用题
(1)列方程(组)解应用题的一般步骤：①审清题意；②找等量关系；
③设未知数；④列方程(组)；⑤解方程(组)；⑥检验；⑦作答.
(2)方程(组)的实际应用中常见的数量关系
静水速度＋水流速度
静水速度－水流速度
常见类型 常见的数量关系及相等关系
工程问题 ①工作总量＝工作时间×工作效率＝各部分工作量之和；
②一般情况下，把工作总量设为________；
③工作效率：单位时间完成的工作量；
④合作的效率＝各效率之和
购买与销售
问题
利润＝_______________；利润率＝________×100%；
售价＝进价×(1＋利润率)；总利润＝总售价－总成本＝单
个利润×总销售量
1
售价－进价
常见类型 常见的数量关系及相等关系
数字问题
(月历中的数字
规律) 设 a，b 分别为一个两位数个位、十位上的数字，则
这个两位数可表示为___________；
月历中，同行的后一个数比前一个数大________，同
列的下一个数比上一个数大________
配套问题 m 件 A 产品与 n 件 B 产品配套，则 A 产品的数量×n
＝B 产品的数量×m
变化率问题 设a为起始量，b为终止量，n为增长(降低)的次数，平均增长率公式为a(1＋x)n＝b(x为平均增长率)，平均降低率公式为a(1－x)n＝b(x为平均降低率)
10b＋a
1
7
常见类型 常见的数量关系及相等关系
图形面积问题 将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与
已知量的内在联系，根据面积公式列出方程
传播(分裂)问题 传染源(分裂母体)＋第一轮被传染数(分裂个数)＋第
二轮被传染数( 分裂个数) ＝第二轮被传染后的总数
(分裂后的总个数)
1.(RJ 八上 P159)(工程问题)某工厂现在平均每天比原计划多生产
50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所
需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？(6 分)
解：设该工厂原来平均每天生产 x 台机器，则现在平均每天生产(x
＋50)台机器．
根据题意得
600
x＋50
＝
450
x
，解得 x＝150.
经检验，x＝150 是原方程的解，且符合题意．
x＋50＝200.
答：该工厂现在平均每天生产 200 台机器．
2.(RJ 七下 P111)(行程问题)甲、乙二人都以不变的速度在环形路
上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔 2 min 相遇一次；如果
同时同地出发，同向而行，每隔 6 min 相遇一次.已知甲比乙跑得快，
甲、乙二人每分各跑多少圈？(6 分)
3.(RJ 七上 P106)(销售问题)某商店有两种书包，每个小书包比大
书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同.其中，每个小书包的
盈利率为 30%，每个大书包的盈利率为 20%，试求两种书包的进价.(6
分)
解：设每个小书包的进价为 x 元，则每个大书包的进价为(x＋10)
元．
依题意，得 30%x＝20%(x＋10)，
解得 x＝20，∴x＋10＝30.
答：每个小书包的进价为 20 元，每个大书包的进价为 30 元．
4.(RJ 九上 P22)(变化率问题)青山村种的水稻 2010 年平均每公顷
产 7 200 kg，2012 年平均每公顷产 8 450 kg.求水稻每公顷产量的年平
均增长率.(6 分)
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，则有 7 200(1＋x)2＝
8 450，
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 8.33%.
5.(RJ 七上 P106)(配套问题)制作一张桌子要用一个桌面和 4 条桌
腿，1 m3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400 条桌腿，现有 12 m3 木
材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？(6 分)
解：设用 x m3 木材制作桌面，用(12－ x) m3 木材制作桌腿．
由题意得 4×20x＝400(12－x)，
解得 x＝10.
则 12－10＝2(m3).
答：用 10 m3 木材制作桌面，2 m3 木材制作桌腿，才能制作尽可
能多的桌子．
考点 1
工程问题
1. (2025·广州)智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和
提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.
(1)若用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采
摘的成本可降低 30%.求用智能机器人采摘的成本是多少元；(用含 a
的代数式表示)(4 分)
(2)若要采摘 4 000 千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4
个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，已知这台智能采摘机器人采摘
的效率是一个工人的 5 倍.求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果
多少千克.(6 分)
解：(1) 根据题意得，用智能机器人采摘的成本是(1 －30%)a ＝
70%a(元).
(2)设一个工人每天可采摘该种水果 x 千克，则这台智能采摘机器
人每天可采摘该种水果 5x 千克．
根据题意得
4 000
4x
－
4 000
5x
＝1，解得 x＝200，
经检验，x＝200 是所列方程的解，且符合题意，
∴5x＝5×200＝1 000.
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果 1 000 千克．
(2025·天河区模拟)星期天，妈妈做饭，小峰和爸
爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完
成，需 4 h；若爸爸单独完成，需 2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时
间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小
峰和爸爸这次一共打扫了 3 h，求这次小峰打扫了多长时间.(10 分)
解：设这次小峰打扫了 x h，则爸爸打扫了(3－x) h.
答：这次小峰打扫了 2 h.
考点 2
行程问题
2. (2025·从化区一模)如图是两张不同类型火车的车票(“D×××
次”表示动车，“G×××次”表示高铁).
(1)已知 A，B 两地之间的距离为 600 km，高铁的平均速度是动车
平均速度的 1.5 倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终
点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少？(4 分)
(2)高铁出发多长时间，两车在什么时刻相距 100 km？(6 分)
解：(1)设动车的平均速度是 x km/h，则高铁的平均速度是 1.5x
km/h.
由题意得
600
x
－1＝
600
1.5x
，解得 x＝200.
经检验，x＝200 是原方程的解，且符合题意．
∴1.5x＝1.5×200＝300.
答：动车的平均速度是 200 km/h，高铁的平均速度是 300 km/h.
(2)设高铁出发 m h 后，两车相距 100 km.
由题意得 200(m＋1)－300m＝100，解得 m＝1.
答：高铁出发 1 h 后，两车相距 100 km.
某中学组织学生去学校附近的山丘进行地理研
学活动.已知从山脚到山顶的路线分为两段：第一段是较平缓的盘山公
路，第二段是较陡峭的登山台阶路，且第一段盘山公路的长度为第二
段登山台阶路长度的 1.5 倍.小华和同学以 4 千米/时的速度走完盘山公
路，到达登山台阶路的起点.因为坡度增大，他们的速度减慢为 2 千米
/时，最终他们走完全程(从山脚到山顶)共用了 1 小时.求从山脚到山顶
的路线长度.(10 分)
解：设第二段登山台阶路长度为 x 千米，则第一段盘山公路的长
度为 1.5x 千米．
考点 3
销售利润问题
3. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度
越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从 2023 年的 32 万人增
加到 2025 年的 50 万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；(4 分)
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从 A 公司购买某种套装健
身器材.该公司规定：若购买不超过 100 套，每套售价 1 600 元；若超
过 100 套，每增加 10 套，售价每套可降低 40 元.但最低售价不得少于
1 000 元.已知市政府向该公司支付货款 24 万元，求购买的这种健身器
材的套数.(6 分)
解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x，由题意得 32(1
＋x)2＝50，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去).
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为 m 套．
∵240 000÷1 600＝150(套)，∴m＞100.
整理得 m2－500m＋60 000＝0，
解得 m1＝200，m2＝300.
当 m＝200 时，1 600－
m－100
10
×40＝1 600－400＝1 200＞1 000，
符合题意；
当 m＝300 时，1 600－
m－100
10
×40＝1 600－800＝800＜1 000，不
符合题意，舍去．
答：购买的这种健身器材的套数为 200 套．
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能
源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一
批新能源汽车尝试进行销售，据了解 2 辆 A 型汽车、3 辆 B 型汽车的
进价共计 80 万元；3 辆 A 型汽车、2 辆 B 型汽车的进价共计 95 万元.
(1)求 A、B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；(3 分)
(2)若该公司计划正好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车
(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；(3 分)
(3)若该汽车销售公司销售 1 辆 A 型汽车可获利 8 000 元，销售 1
辆 B 型汽车可获利 5 000 元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源
汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？(4 分)
解：(1)设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元，B 型汽车每辆的进价为
y 万元．
答：A 型汽车每辆的进价为 25 万元，B 型汽车每辆的进价为 10
万元．
(2)设购进 A 型汽车 m 辆，购进 B 型汽车 n 辆，
依题意，得 25m＋10n＝200，
∵m，n 均为正整数，
∴共 3 种购买方案．
方案一：购进 A 型汽车 6 辆，B 型汽车 5 辆；
方案二：购进 A 型汽车 4 辆，B 型汽车 10 辆；
方案三：购进 A 型汽车 2 辆，B 型汽车 15 辆．
(3)方案一获得利润：
8 000×6＋5 000×5＝73 000(元)；
方案二获得利润：
8 000×4＋5 000×10＝82 000(元)；
方案三获得利润：
8 000×2＋5 000×15＝91 000(元).
∵73 000＜82 000＜91 000，
∴购进 A 型汽车 2 辆，B 型汽车 15 辆获利最大，最大利润是 91 000
元．
1.(2024·广州)某新能源车企今年 5 月交付新车 35 060 辆，且今年
5 月交付新车的数量比去年 5 月交付的新车数量的 1.2 倍还多 1 100 辆.
)
设该车企去年 5 月交付新车 x 辆，根据题意，可列方程为(
A.1.2x＋1 100＝35 060
B.1.2x－1 100＝35 060
C.1.2(x＋1 100)＝35 060
D.x－1 100＝35 060×1.2
A
2.(数学文化)(2024·深圳)在明朝程大位的《算法统宗》中有首住店
诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客
一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房
住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出
一间房.设该店有客房 x 间，房客 y 人，则可列方程组为(
)
A
3.(创新意识)(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十
个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织 900
名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用 45 座和 60 座两种客车(两
种客车都要租)，若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租
车方案有(
)
A.3 种
B.4 种
C.5 种
D.6 种
4.(2025·陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果
农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草
莓比小悦多 2.4 千克.已知小康平均每小时采摘 6 千克，小悦平均每小
时采摘 4 千克，小康采摘的时长是______小时.
B
1.2
5.(几何直观)(2025·威海)如图，某校有一块长 20 m、宽 14 m 的矩
形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的
小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为 24 m2 的 9 个矩形地
块，请你求出小路的宽度.(10 分)
答：小路的宽度为 m.
解：设小路的宽度为 x m，则 9 块矩形地块可合成长为(20－4x) m，
宽为(14－4x) m 的矩形．
根据题意得(20－4x)(14－4x)＝24×9，
整理得 2x2－17x＋8＝0，
解得x1＝ ，x2＝8(不符合题意，舍去).
＝22，解得 x＝2，
6.(2025·山西)我国自主研发的 HGCZ-2000 型快速换轨车，采用先
进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号
快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的 2
倍，它更换 116 公里钢轨比一个工作队人工更换 80 公里钢轨所用时间
少 22 小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.(10 分)
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 x 公里．
根据题意得
80
0.5x
－
116
x
经检验，x＝2 是原方程的解，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 2 公里．
