(共25张PPT)
第六章
圆
第23讲
与圆有关的概念和性质
名称 概念
圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作
圆.定点为________，定长为________
弦、直径 连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过________的弦叫作
直径
弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，大于半圆的弧
叫作________，小于半圆的弧叫作________
等弧 在同圆或等圆中，能够__________的弧叫作等弧
知识点 1 圆的有关概念
圆心
半径
圆心
优弧
劣弧
互相重合
1.(RJ 九上 P81)△ABC 中，∠C＝90°.求证：A，B，C 三点在同一
个圆上.(4 分)
证明：如图，取 AB 的中点 O，连接 CO.
∵在△ABC 中，∠C＝90°，点 O 是 AB 边的中点，
垂径定理 垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条______
推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两
条弧.
(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的两条
________.
(3)平分弦所对的一条弧的直径___________弦，并且平分弦
所对的另一条________
知识点 2 垂径定理及其推论
平分
弧
圆心
弧
垂直平分
弧
解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则AC＝BC＝ AB.
2.(RJ 九上 P83)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，
圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm.求⊙O 的半径.(4 分)
∵AB＝8 cm，OC＝3 cm，
∴BC＝4 cm，
即⊙O 的半径是 5 cm.
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的
________也相等
推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
________相等，所对的________相等.
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的
________相等，所对的________和________分别相等
知识点 3 圆心角、弦、弧之间的关系
弧
弦
圆心角
弦
圆心角
优弧
劣弧
3.(RJ 九上 P85)如图，AB，CD 是⊙O 的两条弦.
(1)如果 AB＝CD，那么__________，________________.(2 分)
︵ ︵
(2)如果AB＝CD，那么_______________，__________.(2 分)
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__________，__________.(2 分)
(4)如果 AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，OE 与
OF 相等吗？为什么？(4 分)
︵ ︵
AB＝CD
∠AOB＝∠COD
∠AOB＝∠COD
AB＝CD
︵ ︵
AB＝CD
AB＝CD
解：OE 与 OF 相等．理由如下：
∵OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而 AB＝CD，∴AE＝CF.
∴OE＝OF.
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________
推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角________.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对
的弦是________
知识点 4 圆周角定理及推论
一半
相等
直角
直径
4.(RJ 九上 P88)如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB＝
2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.(4 分)
证明：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝2∠BOC，
∴∠BOC＝∠ACB.
∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠ACB＝2∠BAC.
定义 四个点都在圆上的四边形叫作圆的内接四边形
性质 圆内接四边形的对角________，并且任何一个外角等于它的
内对角
知识点 5 圆内接四边形
互补
5.(RJ 九上 P88)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 CD 延长线
上一点.若∠B＝110°，求∠ADE 的度数.(4 分)
解：在⊙O 中．∵∠B＝110°，∴∠ADC＝70°.
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝110°.
考点 1
垂径定理及其应用
A
1.(2025·宜宾)如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D.若 AB
＝8，OC＝5，则 OD 的长是(
)
A.3
B.2
C.6
5
D.
2
(2025·长沙)如图，AB 为⊙O 的弦，OC⊥AB 于点
C，连接 OA，OB，若 AB＝OA，AC＝3，则 OA 的长为________.
6
(跨学科·化学)(2025·越秀区校级二模)如图，有一
个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 6 cm，瓶内液体已经过半，最大深
度 CD＝8 cm，则截面圆中弦 AB 的长为(
)
C
考点 2
圆心角、圆周角、弦和弧之间的关系
2.如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，连接
CD，交 OB 于点 E，∠BOC＝42°，则∠OED 的度数是(
)
A.61°
B.63°
C.65°
D.67°
B
(2025·广州校级二模)如图，AB 是⊙O 的直径，点
C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为(
)
A.100°
B.110°
C.115°
D.120°
B
(2025·越秀区一模)如图，AB 是⊙O 的直径，EF，
EB 是⊙O 的弦，且 EF＝EB，EF 与AB 交于点 C，连接 OF，若∠AOF
＝40°，则∠F 的度数是(
)
A.20°
B.35°
C.40°
D.55°
B
1.(2025·重庆)如图，点 A，B，C 在⊙O上，∠AOB＝100°，则∠C
的度数是(
)
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
B
A.90°
B.95°
C.100°
D.105°
2.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝
OD，连接BD，则∠ABD的度数为( )
D
︵ ︵
3.(2025·甘肃)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝BC，连接 BD，
若∠ABC＝70°，则∠BDC 的度数为(
)
A.20°
B.35°
C.55°
D.70°
C
4.(2025·内江)如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB
＝8，OC＝5，则 DC 的长是________.
2
5.(数学文化)(2025·越秀区校级二模)《九章算术》中卷九勾股篇记
载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.
问径几何？转化为数学语言：如图，OD 为⊙O 的半径，弦 AB⊥OD，
垂足为 C，CD＝1 寸，AB＝1 尺(1 尺＝10 寸)，则此圆材的直径长是
________寸.
26
6.(2025·花都区一模)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径
作⊙O，交 BC 边于点 D，交 CA 的延长线于点 E，连接 AD，DE.
(1)求证：BD＝CD；(4 分)
(2)若 AB＝10，AD＝6，求 DE 的长.(6 分)
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∴BD＝CD.
(2)解：在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∵BD＝CD，∴BD＝CD＝8.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠B＝∠E，∴∠C＝∠E，∴DE＝DC＝8.(共16张PPT)
微专题八
与圆有关的阴影面积
模型图 等量关系
类型一
直接公式法
【模型应用】
︵ ︵
1.如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，半径 OA＝3，AB＝CD，
∠DBC＝25°，连接 AD，则扇形 AOB 的面积为(
)
第 1 题图
第 2 题图
2.(2024·深圳)如图，小明在矩形 ABCD 中裁剪出扇形 EOF，BC＝
A
4π
模型图 等量关系
S阴影＝S△ABC－S扇形CAD
S阴影＝S△AOB－S扇形COD
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
类型二
直接和差法
【模型应用】
3.如图，以边长为 2 的等边△ABC 的顶点 A 为圆心、一定的长为
半径画弧，恰好与 BC 边相切，分别交 AB，AC 于点 D，E，则图中阴
影部分的面积是(
)
D
2π－4
4.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线交于点 O，以 OC 为半
径的扇形的圆心角∠FOH＝90°，则图中阴影部分的面积是________.
模型图 等量关系
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE
S阴影＝2S△AOP－S△AOB
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
类型三
构造和差法
【模型应用】
5.两个半径相等的半圆按如图所示的方式放置，半圆 O′的一个直
径端点与半圆 O 的圆心重合，若半圆的半径为 2，则图中阴影部分的
面积是(
)
A
︵
6.如图，半径为 5 的扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，C 是AB上一点，
CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，若 CD＝CE，则图中阴影部
分的面积为(
)
B
25π
A.
16
25π
B.
8
25π
C.
6
D.
25π
4
C 在 OB 上，且 OC＝AC.延长 CB 到 D，使 CD＝CA.以 CA，CD 为邻
边作平行四边形 ACDE，则图中阴影部分的面积为__________(结果保
留π).
转换方法 模型图 等量关系
直接等面积转
化法 CD∥AB
S阴影＝S扇形COD
平移转化法 AE＝BE
S阴影＝S正方形BCFE
轴对称转化法 点 D 为 AB 的中点
S阴影＝S扇形ACB－S△ADC
S阴影＝S扇形ECD
类型四
等面积转化法
转换方法 模型图 等量关系
旋转转化法 ︵ ︵
CM＝DN
S阴影＝S扇形ABE－S扇形MBN
【模型应用】
A
8.如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 与 AB，BC
分别交于点 D，E，连接 AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部
分的面积为(
)
π
A.
4
π
B.
3
2π
C.
3
D.π
9.如图，点 O 是半圆的圆心，BE 是半圆的直径，点 A，D 在半圆
上，且 AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，过点 D 作 DC⊥BE 于点 C，
则阴影部分的面积是(
)
B
10.如图，将扇形 AOB 沿 OB 方向平移，使点 O 平移到 OB 的中点
积为(
)
B
11.如图，在菱形 ACBD 中，AB 与 CD 交于点 O，∠ACB＝120°，
以点 C 为圆心，AC 为半径作弧 AB，再以点 C 为圆心，CO 为半径作
弧 EF，分别交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，若 CB＝2，则图中阴影部
分的面积为____________.(共19张PPT)
第25讲
与圆有关的计算
名称 周长(弧长) 面积 图示
圆 周长：C＝2πr
S＝πr2
扇形
弧长：l＝ ×n＝________
S＝ ×n＝________
知识点 1 弧长与扇形的面积
1
2
lr
1.(RJ 九上 P115T1 节选)填空：
(1)75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是
________cm；
6
150°
(2)一个扇形的弧长是 20π cm，面积是 240π cm2，则扇形的圆心角
是________.
知识点 圆柱 圆锥
图形
侧面积 S侧＝Ch＝________
S侧＝ Cl＝________
全面积 S全＝S侧＋2S底＝________＋2πr2 S全＝S侧＋S底＝________
＋πr2
知识点 2 圆柱与圆锥的有关计算
2πrh
πrl
2πrh
πrl
2.(RJ 九上 P114)圆锥的底面直径是 80 cm，母线长 90 cm.求它的
侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.(4 分)
解：∵圆锥的底面直径是 80 cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长 l＝πd＝80π(cm).
∵母线长 r＝90 cm，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为
解得 n＝160.
∴它的侧面展开图的圆心角为 160°.
∵底面积为1 600π cm2，∴全面积为5 200π cm2.
名称 概念 图形
中心 正多边形的外接圆的圆心
中心角 正多边形每一边所对的_________叫作正多边
形的中心角；正 n 边形的每个中心角都
________
半径 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径
边心距 中心到正多边形的一边的________叫作正多
边形的边心距
知识点 3 正多边形与圆
圆心角
相等
距离
3.(RJ 九上 P106)分别求半径为 R 的圆内接正三角形、正方形的边
长、边心距和面积.(4 分)
解：根据题意画出如图所示的图形，OB＝OA＝R.
∵△ABC 是正三角形，由于正三角形的中心就是圆
的圆心，且正三角形三线合一，
考点 1
弧长与扇形面积的计算
A
1. (2025·广 州 模 拟 )制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长
︵
度”再下料.图中弯管(不计厚度)有一段圆弧AB，点 O 是这段圆弧所在
︵
圆的圆心，半径OA＝90 cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中AB的
长为(
)
A.50π cm
B.60π cm
C.90π cm
D.100π cm
3 cm，则此扇形的圆心角是________度.
连接 AC，以点 C 为圆心，CD 为半径作弧交 BC 于点 E，连接 AE.则图
中阴影部分的面积为(
)
(2025·哈尔滨)一个扇形的弧长是 π cm，半径是
70
A
(2025·山西)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，
AB＝AC，分别以点 B，C 为圆心、BC 的长为半径画弧，与 BA，CA
)
的延长线分别交于点 D，E.若 BC＝4，则图中阴影部分的面积为(
A.2π－4
B.4π－4
C.8π－8
D.4π－8
D
考点 2
正多边形与圆的计算
3.(2025·南沙区一模)如图，已知正六边形 ABCDEF 的半径为 1，
且点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则图中阴影部分的面积为(
)
D
(2025·烟台)如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 4，
中心为点 O，以点 O 为圆心，以 AB 长为半径作圆心角为 120°的扇形，
则图中阴影部分的面积为____________.
1. (2025·常州)如图，⊙O 的半径为 2，直径 AB，CD 互相垂直，
︵
则BC的长是(
)
C
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
2.(数学文化)(2025·山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔
与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意
图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是 2，则
图中阴影部分的面积是(
)
D
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
3.(2024·广州)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇
形，若扇形的半径 l 是 5，则该圆锥的体积是(
)
4.(2025·齐齐哈尔)已知圆锥的底面半径为 40 cm，母线长为 90 cm，
则它的侧面展开图的圆心角为________度.
角的大小是________°.
5.(2025·长春)扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆心
D
160
240
6.(2025·江西)如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB＝35°，以 BA，
BC 为边作 ABCD.
(1)当 BC 经过圆心 O 时(如图 1)，求∠D 的度数；(4 分)
︵
(2)当 AD 与⊙O 相切时(如图 2)，若⊙O 的半径为 6，求AC的长.(6
分)
图 1
图 2
解：(1)∵BC 经过圆心 O，
∴BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.
∵∠ACB＝35°，四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝90°－∠ACB＝55°，
∴∠D 的度数是 55°.
(2)如图，连接 OA，OC.
∵AD 与⊙O 相切于点 A，⊙O 的半径为 6，
∴AD⊥OA，OA＝OC＝6，
∴∠OAD＝90°.
∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝35°，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD－∠CAD＝55°，
∴∠AOC＝180°－∠OCA－∠OAC＝70°，(共45张PPT)
微专题七
构造辅助圆
类型 一点作圆 三点定圆
图示
特点 平面内，点 A 为定点，点 B 为动点，且 AB
长度固定 OA＝OB＝OC
类型一
定点定长型
【模型概述】
类型 一点作圆 三点定圆
结论 点 B 的轨迹在以点 A 为圆心，AB 长
为半径的圆上 点 A，B，C 均在⊙O 上
用法 若题干出现“定点、定线段长度”或“三条线段长度相等，且
共用一个顶点”或通过已知条件能分析出上述结论，则考虑用
“定点定长”作圆求解
【模型应用】
1.提出问题
(1)如图 1，点 P 是半径为 1 的⊙O 上任意一点，点 A 为⊙O 外一
点，且 AO＝2，则线段 AP 的最小值为________；(2 分)
探究问题
1
(2)如图 2，在矩形 ABCD 中，已知AB＝6，BC＝8，点 P 是 BC 边
上一动点(点 P 不与点 B，C 重合)，连接 AP，作点 B 关于直线 AP 的
对称点 M，求线段 MC 的最小值；(4 分)
解决问题
(3)如图 3，在正方形 ABCD 中，AD＝10，动点 E，F 分别在边 DC，
CB 上移动，且满足 DE＝CF，AE 交 DF 于点 P，连接 CP，求线段 CP
的最小值.(6 分)
图 1
图 2
图 3
解：(2)如图 1，连接 AC，AM.
图 1
∵点 B，点 M 关于直线 AP 对称，∴AB＝AM＝6，∴点 M 在以点
A 为圆心，AB 为半径的圆上运动，∴当点 M 在线段 AC 上时，MC 有
最小值．
∴线段 MC 的最小值为 AC－AM＝10－6＝4.
(3)∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC.
∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠FDC＝90°，
∴∠ADP＋∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DF.
如图 2，连接 AC，BD 交于点 O.
图 2
∵点 P 在运动中保持∠APD＝90°，取 AD 的中点 R，∴点 P 的运
动路径在以 AD 为直径的圆 R 上，当 C，P，R 三点共线时，CP 的值
最小，
图示
特点 在△ABC 中，AB＝a 为定长，∠C＝α 为定角
结论 ︵
当α<90°时，点 C 在优弧ACB
上运动(不与点 A，B 重合)，
∠ACB＝ ∠AOB
当α＝90°时，点 C
在⊙O 上运动(不与
点 A，B 重合)，弦
AB 为⊙O 的直径 ︵
当α>90°时，点 C 在劣弧AB
上运动(不与点 A，B 重合)，
∠AOB＋∠ACB＝180°
类型二
定弦定角型
【模型概述】
推论 构成等腰三角形(AC＝BC)时，点 C 到 AB 的距离最大，且此时
△ABC 的面积最大
用法 (1)找模型
当题干出现“定角”且该角度对应的边为“定边”时，先考虑
“定弦定角”模型.
(2)用模型
作含定弦定角的三角形的外接圆，若所求为面积最值，则可转
化为求三角形底边(定弦)上高的最值
【模型应用】
2.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 是矩形内部的一
个动点，且 AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为___________.
3.提出问题
(1)如图1，已知△ABC是边长为4的等边三角形，则△ABC的面
积为________；(2 分)
探究问题
的最大面积；(4 分)
解决问题
(3)如图 3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形 ABCD，其宽 AB＝
20 米，长 BC＝24 米.为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最
尾端墙面 CD 上安装一台摄像头 M 进行观测，并且要求能观测到礼堂
前端墙面 AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点 M 出发
的观测角∠AMB＝45°.请你通过所学的知识进行分析，在墙面 CD 区域
上是否存在点 M 满足要求？若存在，求出 MC 的长度；若不存在，请
说明理由.(6 分)
图 1
图 2
图 3
解：(2)如图 1，作△ABC 的外接圆⊙O.
图 1
∴OH＝3，OB＝6，
∴A′H＝OA′－OH＝6－3＝3，
(3)存在．理由如下：
如图 2，以 AB 为边，在矩形 ABCD 的内部作一个等腰直角三角形
AOB，且∠AOB＝90°，过点 O 作 HG⊥AB 于点 H，交 CD 于点 G.
图 2
∵BC＝24 米，∴OG＝14 米．
∴⊙O 上存在点 M，满足∠AMB＝45°，
此时满足条件的有两个点：M1，M2，
如图2，过点M1作M1F⊥AB于点F，作EO⊥M1F于点E，连接
OM1，
同理CM2＝BH＋OE＝10＋2＝12(米)，
∴MC的长度为8米或12米．
图示
特点 在△ABC 中，∠BAC＝α(定角)，AD 是 BC 边上的高，且 AD＝
h(定高)
结论 构成等腰三角形(AB＝AC)时，①BC 的长最小；②△ABC 的周
长最小；③△ABC 的面积最小
类型三
定角定高型
【模型概述】
用法 (1)找模型
若题干出现“定角”且该角对应边的高线“定高”，考虑用“定角定高”模型.
(2)用模型
作含定角定高的三角形的外接圆，所求若为面积最值，可转化为求该角对应边长度的最值
【模型应用】
4.如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，
则△ABC 面积的最小值为________.
5.提出问题
2
(1)如图 1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点 D 是 BC 的中点，连
接 AD，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 的延长线于点 E，若△ABC 的面积
为4，则△DCE的面积为________；(2分)
探究问题
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A到BC的距离为6，
求△ABC 面积的最小值；(4 分)
解决问题
(3)如图 3，有一块矩形空地 ABCD，AB＝120 m，BC＝70 m.现要
对这块空地进行改造，根据设计要求，在 AB 的中点 M 处修建一个观
景台，AD，BC 边上分别修建亭子 E，F，且∠EMF＝120°，并在
△MAE和△MBF 区域种植景观树，在矩形其他区域均种植花卉.已知
种植这种景观树每平方米需 200 元，种植这种花卉每平方米需 100 元，
试求按设计要求，完成景观树和花卉的种植至少需费用多少元？(结果
保留根号)(6 分)
图 1
图 2
图 3
解：(2)如图 1，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，作△ABC 的外接圆
⊙O，连接 AO，则 AD＝6.
图 1
∵∠BAC＝90°，∴BC 是⊙O 的直径，∴BC＝2AO.
在Rt△ADO中，AO≥AD，即AO≥6，∴BC＝2AO≥12，
∴BC 的最小值为 12，
∴△ABC面积的最小值为 ×6×12＝36.
(3)如图 2，延长 EM 交 CB 的延长线于点 G，则∠AME＝∠BMG，
∠EAM＝∠MBG＝90°.
图 2
∴AM＝BM＝ AB＝60m，
∴∠FMG ＝∠FMB ＋∠BMG ＝∠FMB ＋∠EMA ＝180° －
∠EMF ＝60°.
∵点 M 是 AB 的中点，AB＝120 m，
∴△EAM≌△GBM(ASA)，
∴S△EAM＝S△GBM，∴S△EAM＋S△FMB＝S△GBM＋S△FMB＝S△FMG.
∵种植这种景观树每平方米需 200 元，种植这种花卉每平方米需
100 元，
∴种植景观树的区域越小，所需要的总费用就越少．
作△FMG 的外接圆⊙O，连接 OM，OF，OG，
过点 O 作 OH⊥FG 于点 H.
图示
特点 点 A，B 是∠MDN 的边 DN 上的两个定点，点 P 是边 DM 上
的动点，则当点 P 在何处时，∠APB 最大
结论 当△ABP 的外接圆与边 DM 相切于点 P 时，∠APB 最大
类型四
最大张角型
【模型概述】
用法 (1)找模型
有“角最大”“视野最好”等字眼时，考虑用“最大张角”模型.
(2)用模型
确定“最大张角”模型后，作三角形的外接圆⊙O，当⊙O与动点所在直线相切时，可得到角最大
【模型应用】
6.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 为 AD 边上一点，
则当∠BEC 最大时，cos ∠BEC 的值为________.
5
13
7.【探究问题】
＜
(1)如图 1，AB 是⊙O 的弦，直线 l 与⊙O 相交于 M，N 两点，点
M1，M2是直线l上异于点M，N的两个点，则∠AMB_____∠AM1B(填
“＞”“＜”或“＝”)；(2 分)
(2)如图 2，AB 是⊙O 的弦，直线 l 与⊙O 相切于点 M，点 M1 是
直线 l 上异于点 M 的任意一点，请在图 2 中画出图形，试判断∠AMB，
∠AM1B 的大小关系，并证明；(4 分)
【解决问题】
(3)某游乐园的平面图如图 3 所示，场所保卫人员想在线段 OD 上
的点 M 处安装监控装置，用来监控 OC 边上的 AB 段，为了让监控效
果达到最佳，必须要求∠AMB 最大.已知∠DOC＝60°，OA＝400 米，
大？若存在，请求出此时 OM 的长和∠AMB 的度数；若不存在，请说
明理由.(6 分)
图 1
图 2
图 3
解：(2)画出图形如图1所示，∠AMB＞∠AM1B.证明如下：如图1，
连接 BF.
图 1
∵∠AFB是△FBM1的外角，∴∠AFB＞∠AM1B.
∵∠AMB＝∠AFB，∴∠AMB＞∠AM1B.
(3)存在．理由如下：
如图 2，当经过点 A，B 的⊙T 与 OD 相切于点 M 时，∠AMB 最
大，作 TH⊥OC 于点 H，交 OD 于点 Q，连接 TA，TB，OT，TM.设
TM＝TA＝TB＝r 米．
图 2
图示
点 C，D 在 AB 的同侧
点 C，D 在 AB 的异侧
特点 在由点 A，B，C，D 构成的四边形中，∠ADB＝∠ACB＝90°
结论 (1)点 A，B，C，D 在同一个圆上，AB 为⊙O 的直径.
(2)圆内接四边形的对角互补
类型五
四点共圆型
【模型概述】
1.直径确定
图示
特点 AB 为△ABC 和△ABD 的公共边，
点 C，D 在 AB 的同侧，且∠C＝
∠D 在四边形 ABCD 中，∠D＋
∠B＝180°(四边形的对角互
补)
结论 点 A，B，C，D 在同一个圆上
2.直径不确定
用法 (1)找模型
两个三角形有一个公共边，且这个公共边所对的两个角相等，考虑用“四点共圆”模型.
(2)用模型
确定四点共圆模型，常利用同弧(同弦)所对的圆周角相等或圆内接四边形的对角互补解题
【模型应用】
5
8.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点 O 为 AC
的中点，过点 O 作 OE⊥OF，OE，OF 分别交射线 AB，BC 于点 E，F，
则 EF 的最小值为________.
9.如图，△ABC 为等边三角形，点 P 是线段 AC 上一动点(点 P 不
与点 A，C 重合)，连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线段，垂足为 D，
将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE，连接 DE，CE.
(1)求证：BD＝CE.(4 分)
(2)连接 CD，延长 ED 交 BC 于点 F，设△ABC
的边长为 2.
①求 CD 的最小值；(4 分)
②求 EF 的最大值.(4 分)
(1)证明：∵线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE.
∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE.
∴AO＝BO＝DO＝ AB＝1.
(2)解：①∵AD⊥BP，∴∠ADB＝90°，∴点 D 在以 AB 为直径的
圆上运动，如图 1，连接 OC，与⊙O 相交于点 D，此时 CD 的值最小．
图 1
∵△ABC 为等边三角形，AB 为⊙O 的直径，
②如图 2，过点 C 作 CG∥BP，交 EF 的延长线于点 G，连接 AF.
∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°，
∴∠BDG＝∠EDP＝30°.
∵CG∥BP，∴∠G＝∠BDG＝30°.
由(1)可得△ADB≌△AEC，
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠GEC＝∠AEC－∠AED＝30°，
∴∠G＝∠GEC＝30°，∴GC＝CE，
图 2
∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠CFG，
∴△BFD≌△CFG(AAS)，
∴BF＝FC，即点 F 是 BC 的中点．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴点 A，F，C，E 在以 AC 为直径的圆上，
∴EF 的最大值为直径的长，其最大值为 2.(共27张PPT)
第24讲
与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系 d 与 r 的大小关系 图示
点在圆内 d________r
点在圆上 d________r
点在圆外 d________r
知识点 1 点和圆的位置关系
＜
＝
＞
d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径，点和圆的位置关系如下表：
1.(RJ 九上 P95)体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是 6.4 m 和
5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？(4 分)
解：∵6＜6.4＜7，
∴小明投出的铅球落在区域 6—7 之间．
∵5＜5.1＜6，∴小丽投出的铅球落在区域 5—6 之间
关系 图形 公共点个数 数量关系
相离 0 d________r
相切 1 d________r
相交 2 d________r
知识点 2 直线和圆的位置关系
＞
＝
＜
2.(RJ 九上 P101)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
判断以点 C 为圆心，下列 r 为半径的⊙C 与 AB 的位置关系：
(1)r＝2 cm；(2 分)
(2)r＝2.4 cm；(2 分)
(3)r＝3 cm.(2 分)
解：如图，作 Rt△ABC，令∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，过
点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
(1)当 r＝2 cm 时，因为 CD＞r，所以⊙C 与 AB 相离．
(2)当 r＝2.4 cm 时，因为 CD＝r，所以⊙C 与 AB 相切．
(3)当 r＝3 cm 时，因为 CD＜r，所以⊙C 与 AB 相交．
定义 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
性质 圆的切线________过切点的半径.
切线到圆心的距离等于圆的________
证明
方法 利用切线的性质解决问题时，通常连接过切点的半径，利用直角
三角形的性质来解决问题
判定 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
(2)到圆心的距离等于________的直线是圆的切线.
(3)经过半径的______并且______于这条半径的直线是圆的切线
证明
方法 直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；直线与圆没有公共点时，
作垂直，证垂线段等于半径
知识点 3 切线的性质与判定
垂直于
半径
半径
外端
垂直
3.(RJ 九上 P122)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，
∠P＝70°，则∠C＝(
)
A.70°
B.55°
C.110°
D.140°
B
4.(RJ 九上 P101)如图，直线 AB 经过⊙O上的点 C，并且 OA＝OB，
CA＝CB.求证：直线 AB 是⊙O 的切线.(4 分)
证明：如图，连接 OC.
∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.
∵OC 是⊙O 的半径，∴直线 AB 是⊙O 的切线．
知识点 4 切线长定理
(1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的
长，叫作这点到圆的切线长.
切线长
平分
(2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的________相等，
这一点和圆心的连线________两条切线的夹角.
5.(RJ 九上 P101)如图，PA ，PB 是⊙O的切线，A，
B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC＝25°.求∠P 的
度数.(4 分)
解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，
∴PA ＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∵AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，
∴AC⊥AP，∴∠CAP＝90°.
∵∠BAC＝25°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°－25°＝65°，
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝180°－65°－65°＝50°.
类型 定义 圆心 图示 性质
三角形的
内切圆 与三角形各
边都相切的
圆叫作三角
形的内切圆 三角形三条
___________的
交点(三角形的
内心) (1)三角形的内心到
_____的距离相等.
(2)三角形的内心一
定在三角形内部
三角形的
外接圆 经过三角形
三个顶点的
圆叫作三角
形的外接圆 三角形三条边
的___________
的交点(三角形
的外心) (1)三角形的外心到
三个________的距
离相等.
(2)圆心不一定在三
角形内部
知识点 5 三角形的内切圆与外接圆
角平分线
三边
垂直平分线
顶点
6.(RJ 九上 P100)如图，△ABC 中，∠ABC＝50°，
∠ACB＝75°，点 O 是△ABC 的内心.求∠BOC 的度
数.(4 分)
解：∵在△ABC 中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，
点 O 是△ABC 的内心，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－25°－37.5°＝
117.5°.
考点 1
点、直线与圆的位置关系
OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O 所在的平面内有一点 P，若 OP＝5，则点
)
P 与⊙O 的位置关系是(
A.点 P 在⊙O 上
C.点 P 在⊙O 外
B.点 P 在⊙O 内
D.无法确定
C
(2025·海珠区校级二模)已知⊙O 的半径是 8，点 P
)
到圆心 O 的距离 d 为方程 x2－4x－5＝0 的一个根，则点 P 在(
A.⊙O 的内部
B.⊙O 的外部
C.⊙O 上或⊙O 的内部
D.⊙O 上或⊙O 的外部
A
2.(2025·番禺区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD 是 AB 边上的高，AB＝4，若圆 D 是以点 D 为圆心，1.4 为半
径的圆，那么圆 D 与直线 AC 的关系是(
)
B
A.相切
B.相离
C.相交
D.不能确定
(2025· 越秀区一模 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，
)
位置关系是(
A.相离
C.相交
B.相切
D.无法确定
⊙O的半径为2.5，直线l的解析式为y＝ x＋3，那么直线l与⊙O的
C
考点 2
切线的性质与判定
3.(2025·山东)如图，在△OAB 中，点 A 在⊙O 上，边 OB 交⊙O
于点 C，AD⊥OB 于点 D，AC 是∠BAD 的平分线.
(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(4 分)
(2)若⊙O 的半径为 2，∠AOB＝45°，求 CB 的长.(6 分)
(1)证明：∵AD⊥OB 于点 D，∴∠ADB＝90°.
∵AC 是∠BAD 的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠OAC＝∠OAD＋∠DAC＝∠OAD＋∠BAC，∠OCA＝∠B＋
∠BAC，
∴∠OAD＋∠BAC＝∠B＋∠BAC，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠OAB＝∠OAD＋∠BAD＝∠B＋∠BAD＝90°.
∵OA 是⊙O 的半径，且 AB⊥OA，
∴AB 为⊙O 的切线．
(2)解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，
∴∠B＝∠AOB＝45°，∴AB＝OA.
∵⊙O 的半径为 2，∴AB＝OA＝OC＝2，
(2025·齐齐哈尔)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为
⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，连接 CD，∠BCD＝∠A，过点
B 作 BE⊥AD，交 CD 于点 E.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(4 分)
(2)若点 B 是 AD 的中点，且 BE＝3，求⊙O 的半径.(6 分)
(1)证明：如图，连接 OC.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.
∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.
∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．
(2)解：∵点 B 是 AD 的中点，∴BD＝AB＝2OC.
∵BE⊥AD，∴∠DBE＝90°.
∴DE＝3BE＝9，
在Rt△DBE中，
1. 已知⊙O 的半径为 5，若线段 OA＝6，则点 A 与⊙O 的位置关
系是(
)
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.不能确定
2.(2025·越秀区校级二模)在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线.
以点 A 为圆心，AD 长为半径作⊙A，则⊙A 与 BC 的位置关系是(
)
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
B
B
3.(2023·广州)如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相
切于点 D，E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，则(BF＋CE－BC)的值
和∠FDE 的大小分别为(
)
第 3 题图
第 4 题图
4.(2025·安徽)如图，AB 是⊙O 的弦，PB 与⊙O 相切于点 B，圆心
O 在线段 PA 上.已知∠P＝50°，则∠PAB 的大小为________°.
D
20
5.如图，⊙O与△ABC中 AB，AC的延长线及 BC 边相切，且∠ACB
＝90°，BC，AC，AB 的长依次为 3，4，5，则⊙O 的半径为________.
2
6.(2025·广东)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA
为半径的⊙O 与边 BC 相切于点 D.求证：AD 平分∠BAC.(4 分)
证明：如图，连接 OD.
∵以 OA 为半径的⊙O 与边 BC 相切于点 D，
∴OD⊥BC.
∵∠ABC＝90°，∴OD∥AB，∴∠ODA＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD＝∠OAD，∴AD 平分∠BAC.
