(共28张PPT)
第14讲
函数的实际应用
知识点 1 一次函数的实际应用
(1)根据实际问题或图象求出一次函数的解析式.
(2)利用自变量的取值范围求最值.
(3)利用函数值的大小来确定最佳方案.
1.(RJ 八下 P99)从 A 地向 B 地打长途电话，通话时间不超过 3 min
收费 2.4 元，超过 3 min 后每分加收 1 元.写出通话费用 y(单位：元)关
于通话时间 x(单位：min)的函数解析式.有 10 元钱时，打一次电话最多
可以通话多长时间？(本题中 x 取整数，不足 1 min 的通话时间按 1 min
计费)(6 分)
解：当 0＜x≤3 时，y＝2.4，
当 x＞3 时，y＝x－0.6，
当 y＝10 时，x－0.6＝10，解得 x＝10.6.
由于不足 1 min 按 1 min 计算，所以最多可以通话 10 min.
答：有 10 元钱时，打一次电话最多可以通话 10 min.
知识点 2 反比例函数的实际应用
(1)能把实际问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.
(2)注意在自变量和函数值的取值上的实际意义.
(3)问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中
说明.
2.(RJ 九下 P16)小艳家用购电卡购买了 1 000 kW·h 电，这些电能
够使用的天数 m 与小艳家平均每天的用电度数 n 有怎样的函数关系？
如果平均每天用 4 kW·h 电，这些电可用多长时间？(6 分)
解：∵mn＝1 000，∴m＝
1 000
n
.
当 n＝4 时，m＝
1 000
4
＝250，
∴这些电可用 250 天．
知识点 3 二次函数的实际应用
从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最值公式解
决实际问题中的最值问题.
3.(RJ 九上 P51)某种商品每件的进价为 30 元，在某段时间内若以
每件 x 元出售，可卖出(100－x)件，应如何定价才能使利润最大？(6
分)
解：设最大利润为 w 元，
则 w＝(x－30)(100－x)＝－(x－65)2＋1 225.
∵－1＜0，0＜x＜100，
∴当 x＝65 时，二次函数有最大值 1 225，
∴定价是 65 元时，利润最大．
考点 1
函数解析式类型已知(或部分已知)
1. (2023·广州)因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通
过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用 y1(元)与该水果的质量
x(千克)之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用 y2(元)与该
水果的质量 x(千克)之间的函数解析式为 y2＝10x(x≥0).
(1)求 y1 与 x 之间的函数解析式；(4 分)
(2)现计划用 600 元购买该水果，选甲、乙哪家
商店购买该水果更多一些？(6 分)
解：(1)当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx(k≠0)，
把(5，75)代入解析式得5k＝75，解得k＝15，∴y1＝15x；
在乙商店购买：10x＝600，解得 x＝60，∴在乙商店 600 元可以购
买 60 千克．
(2025·青岛)小磊和小明练习打网球.在一次击球
过程中，小磊从点 O 正上方 1.8 米的 A 点将球击出.
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O 为原点，OA 在 y 轴
上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2＋bx＋1.8(a，b为常数)
图象的一部分，其中 y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距离，
图象经过点(2，3.2)，(4，4.2).
信息二：球和原点的水平距离 x(米)与时间 t(秒)(0≤t≤1.6)之间近
似满足一次函数关系，部分数据如下：
(1)求 y 与 x 的函数关系式；(3 分)
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(4 分)
解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋bx＋1.8 的图象经过点(2，3.2)和(4，4.2)，
∴y与x的函数关系式为y＝－0.05x2＋0.8x＋1.8.
t/秒 0 0.4 0.6 …
x/米 0 4 6 …
(2)∵二次函数为 y＝－0.05x2＋0.8x＋1.8，∴其图象的对称轴为直
此时 y＝－0.05×82＋0.8×8＋1.8＝5.
又根据信息二，x 与 t 是一次函数关系，∴可设 x＝kt＋c，又∵结
合表格数据可得，图象过(0，0)和(0.4，4)，∴c＝0，且 0.4k＋c＝4.∴k
＝10，c＝0.
∴一次函数为 x＝10t.
∴当 x＝8 时，t＝0.8.
∴经过 0.8 秒达到最大高度，最大高度是 5 米．
(3)当 t 为 1.6 秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以
看作是二次函数 y＝－0.02x2＋px＋m(p，m 为常数)图象的一部分，其
中 y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐
标 x 为 2，纵坐标 y 大于或等于 1.8 时，p 的取值范围为____________
(直接写出结果).(3 分)
0＜p≤0.36
考点 2
函数解析式类型已知(或部分已知)
2.(2025·越秀区校级二模)电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国
嫦娥六号探测器就是通过无线电波(电磁波的一种)与地球通信的，电磁
波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率 f(单位：MHz)的变化而变化.
已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率 f 的部分对应值如表：
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ(m)关于
频率 f(MHz)的函数表达式；(4 分)
(2)当该电磁波的频率为 50 MHz 时，它的波长是多少米？(6 分)
频率 f/MHz 5 10 15 20 25 30
波长λ/m 60 30 20 15 12 10
解：(1)由表格可知，fλ＝300，∴λ与 f 的函数表达式为λ＝
300
f
.
(2)当 f＝50 时，λ＝
300
50
＝6.
答：当该电磁波的频率为 50 MHz 时，它的波长是 6 m.
(2025·大庆)为推进我市“红色研学”文化旅游发
展，大庆博物馆新推出 A，B 两种文创纪念品.已知 2 个 A 纪念品和 3
个 B 纪念品的成本和是 155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本
和是 135 元.一套纪念品由一个 A 纪念品和一个 B 纪念品组成.规定：
每套纪念品的售价不低于 65 元且不高于 72 元(每套售价为整数).如果
每套纪念品的售价为 72 元，那么每天可销售 80 套.经调查发现，每套
纪念品的售价每降价 1 元，其销售量相应增加 10 套.设每天的利润为
W(元)，每套纪念品的售价为 a 元(65≤a≤72 且 a 为整数).
(1)分别求出每个 A 纪念品和每个 B 纪念品的成本；(4 分)
(2)求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大.(6 分)
解：(1)设每个 A 纪念品的成本为 x 元，每个 B 纪念品的成本为 y
元，
答：每个 A 纪念品的成本为 25 元，每个 B 纪念品的成本为 35 元．
(2)∵每套成本为 25＋35＝60(元)，售价为 a 元，∴每套利润为(a
－60)元．
∵售价为 72 元时销售 80 套，每降价 1 元销量增加 10 套，∴销量
为 80＋10(72－a)＝(800－10a)套．
∴W ＝(a －60)(800 －10a) ＝－10a2 ＋1 400a －48 000 ＝－10(a －
70)2＋1 000.
∵65≤a≤72 且 a 为整数，
∴当 a＝70 时，每天的利润 W 最大．
1. (2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I(单
位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电
阻 R 大于 9 Ω时，电流 I 可能是(
)
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
A
2.(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科
学家测得一定温度下声音传播的速度 v(m/s)与温度 t(℃)部分对应数值
如表：
研究发现 v，t 满足公式 v＝at＋b(a，b 为常数，且 a≠0)，当温度
t 为 15 ℃时，声音传播的速度 v 为(
)
A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
B
温度 t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度 v/(m/s) 324 330 336 348
3.(2023·广东)某蓄电池的电压为 48 V，使用此蓄电池时，电流 I(单
值为________A.
4.(2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 y＝a(x
－3)2＋2.5 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地
面的高度.若铅球抛出时离地面的高度 OA 为 1.6 m，则铅球掷出的水平
距离 OB 为________m.
位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝ .当R＝12 Ω时，I的
4
8
5.(2025·广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 1.7 km，主塔
高 0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度 0.178 5 km，主缆最低处距
离桥面 0.001 5 km，桥面距离海平面约 0.09 km.请在示意图中建立合适
的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.(6 分)
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为(0，0.001 5)，
1.7
A(
2
，0.27－0.09)，即 A(0.85，0.18)，
6.(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体
育用品商店排球的单价为 30 元/个，篮球、足球的价格如表：
(1)请你从上述 3 个条件中任选 2 个作为条件，求出篮球和足球的
单价；(4 分)
(2)若该学校要购买篮球、足球共 10 个，且足球的个数不超过篮球
个数的 2 倍，请问：购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
(6 分)
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
设学校要购买篮球、足球的总费用为 w 元，根据题意得
w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500，
∵10＞0，∴w 随 m 的增大而增大．
540.
答：购买 4 个篮球时花费最少，最少费用是 540 元．(共33张PPT)
第13讲
二次函数
系数 a a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
直线 x＝______________
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的图象
知识点 1
和性质
顶点坐标
增减性
①当 x<－ 时，y 随 x 的增大而
_________；
②当 x>－ 时，y 随 x 的增大而
_________
①当 x<－ 时，y 随 x
的增大而_________；
②当 x>－ 时，y 随 x
的增大而_________
减小
增大
增大
减小
最值 当x＝－ 时有最小值，ymin＝
当x＝－ 时有最大值，ymax＝
1.(RJ 九上 P41)填空：
(1)已知函数 y＝2(x＋1)2＋1，当 x＜________时，y 随 x 的增大而
减小，当 x＞________时，y 随 x 的增大而增大；(2 分)
(2)已知函数 y＝－2x2＋x－4，当 x＜________时，y 随 x 的增大而
增大，当 x＞________时，y 随 x 的增大而减小.(2 分)
－1
－1
2.(RJ 九上 P41 改编)确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
坐标：
知识点 2 y＝ax2 和 y＝a(x－h)2＋k 的图象关系
3.将抛物线 y＝x2 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长
度，得到抛物线的解析式为______________.
左
右
上
下
y＝(x－2)2－3
知识点 3 用待定系数法确定二次函数的解析式
(1)已知抛物线上的三点，选一般式________________________.
(2)已知顶点、对称轴或最大(小)值，选顶点式_____________________.
(3)已知抛物线与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，选交点式___________
_____________.
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
y＝a(x－x1)
(x－x2)(a≠0)
4.(RJ 九上 P57)根据下列条件，分别确定二次函数的解析式：
(1)抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点(－3，2)，(－1，－1)，(1，3)；(4
分)
与 y 轴交点的纵坐标是－5.(4 分)
Δ＝b2－4ac
方程 ax2 ＋bx＋c＝0 的根
抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)
与 x 轴的交点
Δ>0 有两个________的实数根 有________个交点
Δ<0 没有实数根 没有交点
Δ＝0 有两个________的实数根 有________个交点
知识点 4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
(1)二次函数与一元二次方程的关系：方程ax2＋bx＋c＝0的根是
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的________坐标.
横
不相等
两
相等
一
(2)二次函数与不等式的关系
①不等式ax2＋bx＋c>0的解集 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于
x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
②不等式ax2＋bx＋c<0的解集 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于
x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围.
5.(RJ 九上 P47)如果a＞0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在什
么位置时：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实数根；(3分)
(2)方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；(3分)
(3)方程ax2＋bx＋c＝0无实数根.(3分)
如果a＜0呢？
解：(1) 方程 ax2 ＋bx＋c ＝0 有两个不等的实数根等价于抛物线
y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个不同的交点，由 a＞0，知抛物线开口向上，
故顶点在 x 轴下方．
(2)方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实数根等价于抛物线 y＝ax2
＋bx＋c 与 x 轴有两个相同的交点，故顶点在 x 轴上．
(3)方程 ax2＋bx＋c＝0 无实数根等价于抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x
轴没有交点，由 a＞0，知抛物线开口向上，故顶点在 x 轴上方．
如果 a＜0，则
①方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等的实数根等价于抛物线 y＝ax2
＋bx＋c 与 x 轴有两个不同的交点，由 a＜0，知抛物线开口向下，故
顶点在 x 轴上方．
②方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实数根等价于抛物线 y＝ax2
＋bx＋c 与 x 轴有两个相同的交点，故顶点在 x 轴上．
③方程 ax2＋bx＋c＝0 无实数根等价于抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x
轴没有交点，由 a＜0，知抛物线开口向下，故顶点在 x 轴下方．
考点 1
二次函数的图象和性质
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值
如表：
(1)二次函数图象的顶点坐标为____________，m 的值为________；
(2 分)
(1，－4)
5
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 m …
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2 分)
(3)点P(－4，y1)，Q(5，y2)在函数图象上，y1________y2(填
“＜”“＞”或“＝”)；(2 分)
(4)当 y＜0 时，x 的取值范围是__________；(2 分)
(5)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的解为______________.(2分)
＞
－1＜x＜3
x＝4 或 x＝－2
(2025·黄埔区二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，
其中 a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数的大致图象是(
)
A.
B.
C.
D.
如图，二次函数y＝a(x＋2)2＋k的图象与x轴交
)
于 A，B(－1，0)两点，则下列说法正确的是(
A.a＜0
B.点 A 的坐标为(－4，0)
C.当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
D.图象的对称轴为直线 x＝－2
B
D
(2025·广州)在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)上，则下列结论中正确的是( )
A
A.当x1＜0且y1·y2＜0时，0＜x2＜2
B.当x1＜0且y1·y2＞0时，0＜x2＜2
C.当x1＜x2＜1时，y1＜y2
D.当x1＞x2＞1时，y1＜y2
考点 2
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
D
2. (2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－
3(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 y 轴两侧，
则下列关于该函数的结论正确的是(
)
A.图象的开口向下
B.当 x＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当 x＝2 时，y＜0
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点
(x1，0)，(2，0)，其中0＜x1＜1.有下列四个结论：①abc＜0；②a＋b
＜2.其中正确结论的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
＋c＞0；③2b＋3c＜0；④不等式ax2＋bx＋c＜－ x＋c的解集为0＜x
C
考点 3
确定二次函数的解析式
3.根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)已知抛物线的顶点坐标是(1，－3)，与 y 轴的交点是(0，－2)，
则这个二次函数的解析式为______________；(3 分)
(2)已知二次函数的图象过点 A(－1，1)，B(1，3)，C(0，1)，则二
次函数的解析式为______________；(3 分)
y＝(x－1)2－3
(3)已知二次函数的图象过点 A(2，1)，B(4，1)且最大值为 2，则二
次函数的解析式为__________________；(3 分)
(4)已知二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(－1，0)，B(3，0)，且
经过点 C(0，6)，则二次函数的解析式为_________________.(3 分)
y＝x2＋x＋1
y＝－x2＋6x－7
y＝－2x2＋4x＋6
(2023·宁波)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的
图象经过点 A(1，－2)和 B(0，－5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；(4 分)
(2)当 y≤－2 时，请根据图象直接写出 x 的取值范围.(4 分)
解：(1)把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5，
∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，
∴其图象的顶点坐标为(－1，－6).
(2)如图，过点 A 作 x 轴的平行线，与抛物线交于另一点 C.
∵点 A(1，－2)关于对称轴直线 x＝－1 的对称点为 C(－3，－2)，
∴当 y≤－2 时，x 的取值范围是－3≤x≤1.
x 的取值范围是－3≤x≤1.
1. (2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的
图象上，则(
)
2.关于x的二次函数y＝x2－2mx＋m2－1(m＞1)的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2
A
C
3.(2025·安徽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，
则(
)
A.abc＜0
B.2a＋b＜0
C.2b－c＜0
D.a－b＋c＜0
4.(2025·广东)已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点(c，0)，
但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是____________________
________(写出一个即可).
5.(2025·广州)若抛物线y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3的顶点在直线
y＝x＋2 上，则 m 的值为___________.
C
不唯一)
y＝－x2＋x＋2(答案
1 或－
1
3
6.(2025·河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值
如表所示.
(1)求二次函数的表达式；(2 分)
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画
出二次函数的图象；(3 分)
(3)将二次函数的图象向右平移 n 个单位长度后，当 0≤x≤3 时，
若图象对应的函数最大值与最小值的差为 5，请直接写出 n 的值.(3 分)
x … －2 0 1 …
y … －2 －2 1 …
解：(1)由题意，结合表格数据可得，二次函数图象的对称轴是直
线 x＝
－2＋0
2
＝－1.
∴可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋k.又∵图象过(0，－2)，(1，1)，
∴－2＝a(0＋1)2＋k，且1＝a(1＋1)2＋k.
∴a＝1，k＝－3.
∴二次函数为y＝(x＋1)2－3，即y＝x2＋2x－2.
(2)由(1)得y＝(x＋1)2－3，∴顶点坐标为(－1，－3).
作图如下．(共26张PPT)
第11讲
一次函数
知识点 1 一次函数
(1)定义：一般来说，形如____________________________的函数，
叫作一次函数.
y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0)
b
(2)正比例函数：当________＝0 时，y＝kx(k 是常数，k≠0)为正比
例函数，其中 k 为比例系数.
1.(RJ 八下 P90)下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函
数？(4 分)
(1)y＝－8x；
(2)y＝
－8
x
；
(3)y＝5x2＋6；
(4)y＝－0.5x－1.
解：(1)(4)是一次函数；(1)还是正比例函数．
k，b 符号 图象 经过象限 y 随 x 的变化情况
k＞0 b＞0 经过第___________象限 y 随 x 的增大而______
b＜0 经过第一、三、四象限
b＝0 经过第一、三象限
知识点 2 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与性质
(1)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与性质
一、二、三
增大
k，b 符号 图象 经过象限 y 随 x 的变化情况
k＜0 b＞0 经过第___________象限 y 随 x 的增大而______
b＜0 经过第二、三、四象限
b＝0 经过第二、四象限
一、二、四
减小
(2)一次函数的图象与坐标轴的交点坐标
①交点坐标：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与 x 轴的交点坐标是
________，与 y 轴的交点坐标是______________.
②正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象恒过点__________.
二、四
0
－5
减小
2.(RJ 八下 P98)函数 y＝－5x 的图象在第________象限内，经过
点(0，________)与点(1，________)，y 随 x 的增大而________.(4 分)
(0，b)
(0，0)
3.(RJ 八下 P99)在同一平面直角坐标系中，画出函数 y＝2x＋4 与
y＝－2x＋4 的图象，并指出每个函数中当 x 增大时 y 如何变化.(4 分)
解：函数 y＝2x＋4 的图象与两个坐标轴的交点为(－2，0)，(0，4)，
y＝－2x＋4 的图象与两个坐标轴的交点为(2，0)，(0，4).图象如下．
y＝2x＋4 中 y 随 x 的增大而增大，y＝－2x＋4 中 y 随 x 的增大而
减小．
知识点 3 待定系数法确定一次函数解析式
一设：设一次函数解析式为__________________；
二代：将图象上的两个点的坐标代入解析式，得到含有待定系数
的方程组；
三解：解方程组，求待定系数 k，b 的值；
四还原：将所求待定系数的值代入 y＝kx＋b 中，从而写出函数解
析式.
y＝kx＋b(k≠0)
4.(RJ 八下 P99)已知一次函数的图象经过点(－4，9)和点(6，3)，
求这个函数的解析式.(4 分)
解：设函数解析式为 y＝kx＋b，
∵一次函数的图象经过点(－4，9)和点(6，3)，
要领 平移方向(m＞0) 平移后的图象的解析式 口诀
左、右平移
变 x 向左平移 m 个单位 y＝k(x________m)＋b 左加右减
上加下减
向右平移 m 个单位 y＝k(x________m)＋b
上、下平移
变 b 向上平移 m 个单位 y＝kx＋b________m
向下平移 m 个单位 y＝kx＋b________m
知识点 4 一次函数图象的平移
平移前的图象的解析式为 y＝kx＋b(k≠0).
＋
－
＋
－
知识点 内容
与一元一次
方程的关系 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标
________是方程 kx＋b＝0 的解
与二元一次
方程组的关系 二元一次方程组的解为二元一次方程组所对应的两个
一次函数图象的交点的横、纵坐标值
y＝2x－4
5.将直线 y＝2x－3 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位
长度后，所得直线的解析式为____________.
知识点 5 一次函数与方程(组)、不等式的关系
－
b
k
知识点 内容
与一元一次
不等式的关系
(1)y＝kx＋b(k>0)，当 x________－ 时，y＞0；当
x________－ 时，y＜0.
(2)y＝kx＋b(k<0)，当 x________－ 时，y>0；当
x________－ 时，y＜0
＞
＜
＜
＞
6.(RJ 八下 P107)试根据函数 y＝3x－15 的图象或性质，确定 x 取
何值时：
(1)y＞0；(2)y＜0.
解：令 3x－15＝0，解得 x＝5，
∵函数 y＝3x－15 中 k＝3＞0，∴y 随 x 的增大而增大，
∴(1)当 x＞5 时，y＞0；
(2)当 x＜5 时，y＜0.
考点 1
一次函数的图象和性质
1.已知函数 y＝－2x＋4，回答下列问题：
(1)函数图象与 x 轴的交点坐标是________，函数图象与 y 轴的交
点坐标是________；(2 分)
(2，0)
(0，4)
(2)根据函数图象与坐标轴的交点坐标，请在直角坐标系中画出函
数 y＝－2x＋4 图象；(2 分)
(3)图象与坐标轴围成的三角形的面积为________；(2 分)
(4)y 的值随 x 值的增大而________；(2 分)
(5)当 x________时，y＞0；(2 分)
(6)当 2≤x≤5 时，函数的最大值为________，最小值为________.(4
分)
4
减小
＜2
0
－6
点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图
象上，则y1________y2(用“＜”“＝”或“＞”填空).
如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝
k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别
为直线l1，l2.下列结论正确的是( )
A.b1＋b2＞0
B.b1b2＞0
C.k1＋k2＜0
D.k1k2＜0
＜
A
在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋a2
与y＝a2x＋a的图象可能是( )
A.
C.
B.
D.
D
考点 2
一次函数与方程(组)、不等式的关系
轴分别交于点 A，B，与 y 轴分别交于点 C，D.
________；(2 分)
x≤－1
(3)方程 mx＋ ＝0 的解为________；(2 分)
x＝2
(4)求直线 AC，直线 BD 与 x 轴围成的△ABM 的面积.(4 分)
∴当 y＝0 时，x＝2，∴B(2，0).
∵直线 AC 的解析式为 y1＝x＋3，
∴当 y＝0 时，x＝－3，∴A(－3，0).
(2025·白云区一模)如图，一次函数 y＝ax＋2 与
y ＝2x－1 的图象相交于点 P，则关于 x 的方程 ax＋2＝2x－1 的解是
(
)
A.x＝3
B.x＝4
C.x＝5
D.x＝7
B
(2025· 广 州 模 拟 ) 如图，一次函数 y ＝－x －2 与
y＝2x＋m 的图象相交于点 P(n，－4)，则关于 x 的不等式 2x＋m＜－x
－2 的解集为(
)
A.x＞－4
B.x＜－4
C.x＜2
D.x＞2
C
1. (2025·上海)下列函数中，是正比例函数的是(
)
A.y＝3x＋1
B.y＝3x2
C.y＝
3
x
D.y＝
x
3
2.(2025·黄埔区二模)关于一次函数 y＝x＋1，下列说法正确的是
(
)
A.图象经过第一、二、三象限
B.图象与 x 轴交于点(0，1)
C.函数值 y 随自变量 x 的增大而减小
D.当 x＞－1 时，y＜0
D
A
3.(2025·广州)如图，在平面直角坐标系中，点 A(－3，1)，点 B(－
1，1)，若将直线 y＝x 向上平移 d 个单位长度后与线段 AB 有交点，则
d 的取值范围是(
)
A.－3≤d≤－1
B.1≤d≤3
C.－4≤d≤－2
D.2≤d≤4
D
4.如图，函数 y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点 P，则关于 x 的不等式
kx＋b＞3 的解集为__________.
5.(2024·白云区二模)已知一次函数 y＝(k＋2)x＋b(k，b 是常数)的
图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取
值范围是___________.
x＜－1
k＜－2
6.(2025·广州二模)如图，直线 y＝x＋3 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点
B，经过点(2，2)且平行于直线 y＝－2x 的直线交 x 轴于点 C，交 y 轴
于点 D，交 AB 于点 E.
(1)直线 CD 的解析式为____________；(2 分)
(2)求△EBC 的面积；(4 分)
(3)P 是直线 AB 上的一个动点，过点 P 作 PQ∥y 轴，交直线 CD
于点 Q，若 PQ＝2AD，求点 P 的坐标.(4 分)
y＝－2x＋6
当 y＝0 时，0＝x＋3，解得 x＝－3，∴B(－3，0)，
当 y＝0 时，0＝－2x＋6，解得 x＝3，∴C(3，0)，
(3)设 P(x，x＋3)，则 Q(x，－2x＋6)，
由 PQ＝2AD 得，|x＋3－(－2x＋6)|＝6，
解得 x＝3 或 x＝－1，∴P(3，6)或(－1，2).(共25张PPT)
第12讲
反比例函数
知识点 1 反比例函数的定义
(1)定义：一般地，形如_____________________的函数，叫作反比
例函数.其中 x 是自变量，y 是函数.自变量 x 的取值范围是_________
____________.
(2)反比例函数的另外两种形式：①____________；②k＝xy(k≠0).
y＝ (k 为常数，k≠0)
不等于 0
的一切实数
y＝kx-1(k≠0)
1.(RJ 九下 P3)下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？(4 分)
k 的取值 k>0 k<0
图象
所在象限 图象位于第________象限 图象位于第________象限
函数性质 在每一象限内，函数 y 的值随 x
的增大而________ 在每一象限内，函数 y 的
值随 x 的增大而________
对称性 ①关于直线 y＝x(或 y＝－x)成轴对称；②关于________成中
心对称
知识点 2 反比例函数的图象和性质
一、三
二、四
减小
增大
原点
2.(RJ 九下 P8 节选)填空：
每一支上，y 随 x 的增大而________.(2 分)
每一支上，y 随 x 的增大而________.(2 分)
图 1
图 2
(1)反比例函数y＝ 的图象如图1所示，则k________0，在图象的
(2)反比例函数y＝ 的图象如图2所示，则k________0，在图象的
＞
减小
＜
增大
图形
面积 S矩形OAPB＝________
S△AOP＝________ S△APP′＝2|k|(P 与 P′关于
原点对称)
(1)从反比例函数y＝ (k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，
知识点 3 反比例函数系数 k 的几何意义
垂线与坐标轴所围成的矩形面积为________.
(2)常见的与反比例函数图象有关的图形面积
|k|
|k|
图形
面积 S矩形ABCD＝k1－k2(AB∥x轴) S ABCD＝k2－k1(AB∥x轴)
作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于( )
A.－6
B.6
C.－3
D.3
3.如图，点P是反比例函数y＝ (k≠0)的图象上任意一点，过点P
A
(1)设出反比例函数解析式y＝ (k≠0).
知识点 4 确定反比例函数的解析式
(2)找出反比例函数图象上的点 P(a，b).
(3)将 P(a，b)代入解析式得 k＝________.
(4)确定反比例函数的解析式为____________.
ab
4.(RJ 九下 P8 节选)已知一个反比例函数的图象经过点 A(3，－4).
这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y 随 x 的增大
如何变化？(4 分)
(－4)＝－12，所以反比例函数的解析式为 y＝－
12
x
.故函数图象位于第
二、四象限．在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大．
解：设反比例函数的解析式为y＝ ，将点A坐标代入得，k＝3×
1－k
考点 1
反比例函数的图象和性质
1.已知反比例函数 y＝
x
的图象经过 A(2，－4).
(1)求 k 的值；(2 分)
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y 随 x 的增大怎样变化？(2 分)
(3)画出函数的图象；(2 分)
(4)点 B(－2，4)，C(－1，5)在这个函数的图象上吗？(2 分)
解：(1)∵反比例函数 y＝
1－k
x
的图象过点
A(2，－4)，
∴1－k＝2×(－4)＝－8，解得 k＝9.
(2)∵－8＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每个象限
内 y 随 x 的增大而增大．
(3)函数的图象如图所示．
(4)∵－2×4＝－8，－1×5＝－5≠－8，
∴点 B(－2，4)在反比例函数的图象上，点 C(－1，5)不在反比例
函数的图象上．
(2025·广州)若|k|＝－k(k≠0)，则反比例函数 y＝
k
x
的图象在(
)
A.第一、二象限
C.第二、四象限
B.第一、三象限
D.第三、四象限
(2025· 广 州 二 模 )关于 x 的函数y ＝kx －k和 y ＝
k
x
(k≠0)，它们在同一坐标系内的大致图象是(
)
A.
B.
C.
D.
C
A
考点 2
反比例函数系数 k 的几何意义
的两点.连接 OA，OB，AB.
(1)求 a 的值；(3 分)
(2)求△AOB 的面积；(3 分)
上一点，若△POC 的面积等于△AOB 的面积的 3 倍，求点 P 的坐标.
(4 分)
2.如图，点A(3，6)，B(6，a)是反比例函数y＝ (m＞0)的图象上
(3)设点C的坐标为(9，0)，点P是反比例函数y＝ (m＞0)的图象
(2)如图，过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N.
∵A(3，6)，B(6，3)，
∴AM＝6，OM＝3，ON＝6，BN＝3，
解得 c＝±2，
∴点 P 的坐标是(2，9)或(－2，－9).
(2025·越秀区校级三模)如图，点 P 是反比例函
点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为
(
)
A.18
B.36
C.－18
D.－36
数y＝ (k≠0，x＜0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是
C
形 ABCO 的面积为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
B
(2025·山东)如图，在平面直角坐标系中，A，C
0)的图象经过点 B，则满足 y≥2 的 x 的取值范围为(
)
A.0＜x≤2
B.x≥2
C.0＜x≤4
D.x≥4
两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y＝ (x＞
A
图象上，则 k＝(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
上，则y1与y2的大小关系是( )
1. (2025·云南)若点(1，2)在反比例函数y＝ (k为常数，且k≠0)的
2.(2025·兰州)若点A(2，y1)与B(－2，y2)在反比例函数y＝ 的图象
A.y1＜y2 B.y1≤y2 C.y1＞y2 D.y1≥y2
B
C
3.(跨学科·物理)在一定条件下，乐器中弦振动的频率 f 与弦长 l 成
动频率 f 为 200 赫兹，则 k 的值为________.
反比例关系，即f＝ (k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米，振
180
一点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，点 P 是 y 轴上任意一点，连接 PA ，
达式为 y＝________.
4.(几何直观)如图，点A是反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象上
PB.若△ABP的面积等于3，则k的值为________.
6
6.(2025·常州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx＋
且与 y 轴交于点 C.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(4 分)
(2)连接OA，求△OAC的面积.(4分)
b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点A(1，n)，B(－3，－2)，
∴一次函数的解析式为 y＝2x＋4.
(2)当 x＝0 时，y＝2x＋4＝4，∴C(0，4)，∴OC＝4，(共21张PPT)
第三章
函数
第10讲
平面直角坐标系与函数
概念 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角
坐标系
点的坐标
特征 (1)点 P(x，y)在第一象限 x________0，
y________0.
(2)点 P(x，y)在第二象限 x________0，
y________0.
(3)点 P(x，y)在第三象限 x________0，y________0.
(4)点 P(x，y)在第四象限 x________0，y________0.
(5)坐标轴上的点不属于任何象限
知识点 1 平面直角坐标系
>
>
<
>
<
<
>
<
坐标轴上的
点的特征 (1)点 P(x，y)在横轴上 ________＝0.
(2)点 P(x，y)在纵轴上 ________＝0.
(3)点 P(x，y)既在横轴上，又在纵轴上 x＝0，y＝0
点与坐标轴
之间的距离 (1)点 M(a，b)到 x 轴的距离为________.
(2)点 M(a，b)到 y 轴的距离为________
拓展：
平面内任意两点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，
②当y1＝y2时，点M1，M2两点之间的距离为_________；
③当x1＝x2时，点M1，M2两点之间的距离为_________；
y
x
|b|
|a|
|x1－x2|
|y1－y2|
1.(RJ 七下 P71)在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下
面条件的点，标出它们的位置，看看它们在第几象限或哪条坐标轴上：
(1)点 P(x，y)的坐标满足 xy＞0；(2 分)
(2)点 P(x，y)的坐标满足 xy＜0；(2 分)
(3)点 P(x，y)的坐标满足 xy＝0.(2 分)
解：(1)点 P 在第一象限或第三象限．
(2)点 P 在第二象限或第四象限．
(3)点 P 在 x 轴或 y 轴上．
常量与变量 在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作________，
数值发生变化的量叫作________
概念 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于
x 的每一个确定的值，y 都有____________的值与其对
应，那么就称 x 是__________，y 是 x 的__________.
如果当 x＝a 时 y＝b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时
的________
知识点 2 函数
常量
变量
唯一确定
自变量
函数
函数值
确定函数自变量
的取值范围 (1)使函数关系式有意义的自变量的取值的全体.
(2)一般原则：整式为全体实数，分式为__________
________的数，开偶次方的被开方数为_________，
使实际问题有意义的数
函数的表示法 解析法、列表法和图象法
描点法画函数
图象的步骤 (1)列表；(2)描点；(3)连线
分母不等
于 0
非负数
2.(RJ 八下 P82 节选)下列式子中的 y 是 x 的函数吗？为什么？
(1)y＝3x－5；(3 分)
(2)y＝
x－2
x－1
.(3 分)
解：(1)y＝3x－5 满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值
与之对应的关系，y 是 x 的函数．
(2)y＝
x－2
x－1
满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对
应的关系，y 是 x 的函数．
3.(RJ 八下 P82 改编)“漏壶”是一种古代计时器.在它内部盛一定
量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的
位置计算时间.用 x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度.下面图象
中适合表示 y 与 x 的对应关系( 不考虑水量变化对压力的影响) 的是
_______(填序号).
②
①
②
③
考点 1
函数自变量的取值范围
A.x≥2
B.x≤2
C.x＞2
D.x＜2
(2025·云南)函数 y＝
1
x－1
的自变量 x 的取值范围
为(
)
A.x≠4
B.x≠3
C.x≠2
D.x≠1
A
D
是________________.
已知等腰三角形的周长为 10 cm，将底边长 y cm
表示为腰长 x cm 的关系式是 y＝10－2x，则其自变量 x 的取值范围是
__________.
x＞－3 且 x≠－2
2.5＜x＜5
考点 2
坐标系中点的坐标的特征
2.已知点 P(3m－6，m＋1)，试分别根据下列条件，求出点 P 的坐
标.
(1)点 P 在 y 轴上；(2 分)
(2)点 P 在 x 轴上；(2 分)
(3)点 P 的纵坐标比横坐标大 5；(3 分)
(4)点 P 在过点 A(－1，2)，且与 x 轴平行的直线上.(3 分)
解：(1)∵点 P(3m－6，m＋1)在 y 轴上，
∴3m－6＝0，解得 m＝2，
∴m＋1＝2＋1＝3，∴点 P 的坐标为(0，3).
(2)∵点 P(3m－6，m＋1)在 x 轴上，
∴m＋1＝0，解得 m＝－1，
∴3m－6＝3×(－1)－6＝－9，
∴点 P 的坐标为(－9，0).
(3)∵点 P(3m－6，m＋1)的纵坐标比横坐标大 5，
∴m＋1－(3m－6)＝5，解得 m＝1，
∴3m－6＝3×1－6＝－3，m＋1＝1＋1＝2，
∴点 P 的坐标为(－3，2).
(4)∵点 P(3m－6，m＋1)在过点 A(－1，2)且与 x 轴平行的直线上，
∴m＋1＝2，解得 m＝1，
∴3m－6＝3×1－6＝－3，m＋1＝1＋1＝2，
∴点 P 的坐标为(－3，2).
解：(1)∵点M(1－2m，－m)在y轴上，∴1－2m＝0，解得m＝ .
在平面直角坐标系中，已知点 M(1－2m，－m).
(1)若点 M 在 y 轴上，求 m 的值；(3 分)
(2)若点 M 到 y 轴的距离是 3，求 m 的值；(3 分)
(3)若点 M 在第一、三象限的角平分线上，求 m 的值.(4 分)
(2)∵点 M(1－2m，－m)到 y 轴的距离是 3，
∴|1－2m|＝3，即 1－2m＝3 或 1－2m＝－3，
解得 m＝－1 或 m＝2.
(3)∵点 M(1－2m，－m)在第一、三象限的角平分线上，
∴1－2m＝－m，解得 m＝1.
考点 3
函数图象
C
3.(几何直观)(2025·广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以
恒定功率运行，其电池剩余的能量 y(W·h)与骑行里程 x(km)之间的关
系如图.当电池剩余能量小于 100 W·h 时，摩托车将自动报警.根据图
象，下列结论正确的是(
)
A.电池能量最多可充 400 W·h
B.摩托车每行驶 10 km 消耗能量 300 W·h
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶 25 km
D.摩托车充满电后，行驶 18 km 将自动报警
(2025·成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼
了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育
馆依次在同一直线上)，下图表示的是小明离家的距离与时间的关系.
下列说法正确的是(
)
A.小明家到体育馆的距离为 2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为 45 min
C.小明家到书店的距离为 1 km
D.小明从书店到家步行的时间为 40 min
C
如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 CD 边的
中点.动点 P 从点 A 出发沿 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止.设
点 P 的运动路程为 x，线段 PE 的长为 y，y 与 x 的函数图象如图 2 所
示，则点 M 的坐标为(
)
图 1
图 2
C
1. (2025·白云区校级三模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(－2，
a2＋1)所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
B
C
的自变量 x 的取值范围是__________.
3.(跨学科·生物)(2025·广西)生态学家通过多次单独培养大草履虫
实验，研究其种群数量 y 随时间 t 的变化情况，得到了如图所示的“S”
形曲线.下列说法正确的是(
)
A.第 5 天的种群数量为 300 个
B.前 3 天种群数量持续增长
C.第 3 天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
4.(2025·德阳)函数 y＝
2
x－3
5.(2025·广州校级二模)点 P(m＋2，m－1)在坐标轴上，则点 P 的
坐标是__________________.
B
x≠3
(0，－3)或(3，0)
6.小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度 h(m)与摆动时间 t(s)之间
的关系如图所示.
(1)根据函数的定义，请判断变量 h 是否为关于 t 的函数.(3 分)
(2)结合图象回答：
①当 t＝0.7 时，h 的值是多少？请说明它的实际意义；(3 分)
②秋千摆动第一个来回需多少时间？(4 分)
解：(1)由图象可知对于每一个摆动时间 t，h 都有唯一确定的值与
其对应，∴变量 h 是关于 t 的函数．
(2)①由函数图象可知当 t＝0.7 时，h＝0.5，它的实际意义是秋千
摆动 0.7 s 时，离地面的高度是 0.5 m.
②由图象可知秋千摆动第一个来回需 2.8 s.(共19张PPT)
微专题二
函数综合
一次函数与反比例函数、二次函数图象的综合问题
常见图象
考查方式 利用交点坐
标求解析式 若题目直接给出交点的坐标或通过其他条件能
求出交点的坐标，则可以把交点坐标代入函数
解析式，利用待定系数法得到函数解析式
专题概述
一次函数与反比例函数、二次函数图象的综合问题
考查方式 利用函数解
析式求交点
坐标 题目给出函数解析式或通过其他特殊点的坐标
求出解析式，则可以联立函数解析式
或 求出交点坐
标，进而可以解决其他与交点坐标相关的问题
一次函数与反比例函数、二次函数图象的综合问题
考查方式 联立函数解
析式判断交
点个数
联立 或 得到
一元二次方程.利用根的判别式判断两个函数
图象的交点个数，利用此结论可以解决实际问
题
图象与反比例函数y2＝ (x＞0)的图象交于点A(6，
1.(2025·凉山州)如图，一次函数y1＝ax＋b的
1)，B(2，m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(4 分)
(2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＞ 的解集为________；(2分)
DC，AD，则 D(2，－3)，
2＜x＜6
(3)在 x 轴上找一点 C，使△ABC 的周长最小，并求出最小值.(6 分)
解：如图所示，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 BD，BC，AC，
∴直线 AD 的解析式为 y＝x－5，在 y＝x－5 中，当 y＝x－5＝0
时，x＝5，∴C(5，0).
2.(2025·越秀区校级模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝
ax2＋bx＋1(a＞0)，直线y2＝x.
(1)若抛物线与直线只有一个交点.
①求 a 与 b 之间的关系式；(3 分)
②将直线向上平移 t 个单位长度，与抛物线两个交点的横坐标分
别为x1、x2(x1＜x2)，当x＜x1时，y1随x的增大而减小，求t的最小整
数值.(4 分)
(2)若抛物线与直线有两个交点(x1，y1)，(x2，y2)，且满足x1＜2＜
x2＜4，此时设抛物线的对称轴为直线x＝m，求m的取值范围.(5分)
解：(1)①∵抛物线与直线只有一个交点，∴方程ax2＋bx＋1＝x
有两个相等的实数根，方程整理可得ax2＋(b－1)x＋1＝0，
∴Δ＝(b－1)2－4a＝0，∴b2－2b＋1＝4a.
②由直线向上平移t个单位长度得到y2＝x＋t，
令ax2＋bx＋1＝x＋t，
整理得ax2＋(b－1)x＋1－t＝0，
∴Δ＝(b－1)2－4a(1－t).
∵b2－2b＋1＝4a，∴Δ＝4at，
(2)∵抛物线与直线有两个交点，∴方程ax2＋(b－1)x＋1＝0有两
个实数根x1，x2，且满足x1＜2＜x2＜4，a＞0，∴当x＝2时，ax2＋(b
－1)x＋1＜0，即 4a＋2b－1＜0，①
当 x＝4 时，ax2＋(b－1)x＋1＞0，
即 16a＋4b－3＞0，②
①×(－3)＋②得 4a－2b＞0，即 2a＞b，
综上所述，m 的取值范围为－1＜m＜3.
3.(2025·宁夏)如图，抛物线y＝ax2－2x＋3与x轴负半轴交于点A，
与 y 轴交于点 B，顶点 C 的横坐标为－1.
(1)求抛物线的表达式；(3 分)
(2)如图 1，将直线 AB 沿 y 轴向上平移 m(m＞0)个单位长度，当它
与抛物线有交点时，求 m 的取值范围；(3 分)
(3)如图 2，抛物线的对称轴交直线 AB 于点 D，交 x 轴于点 E，连
接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得S△PAD＝S△CAD？若
存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由.(6 分)
图 1
图 2
解：(1)∵抛物线顶点的横坐标为－1，∴由顶点坐标公式得 x＝
b
2a
，其中 b＝－2，即－
－2
2a
＝－1，
∴a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
－
(2)当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x＝－3
或 x＝1(正半轴，不合题意，舍去)，故 A(－3，0)，当 x＝0 时，y＝3，
故 B(0，3).
设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，将点 A(－3，0)与点 B(0，3)代
入得 b＝3，k＝1，
∴直线 AB 的解析式为 y＝x＋3，
向上平移 m 个单位长度后，直线解析式为 y＝x＋3＋m，
与抛物线解析式y＝－x2－2x＋3联立得－x2－2x＋3＝x＋3＋m，
整理得x2＋3x＋m＝0，
(3)抛物线的对称轴为直线 x＝－1.
直线 AB：y＝x＋3，当 x＝－1 时，y＝2，故 D(－1，2).
顶点 C：当 x＝－1 时，y＝－(－1)2－2×(－1)＋3＝4，故 C(－1，
4).
情况2：过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2.∵CD＝
DE，∴直线 PC 向下平移到直线 AB 的位置的距离等于直线 AB 向下平
移到直线P1P2的位置的距离，此时存在满足条件的点，由于直线P1P2
相较于直线 AB，向下平移了 2 个单位长度，故解析式为 y＝x＋1，联
