(共19张PPT)
第五章
第21讲
多边形与四边形
多边形、平行四边形
概念 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边
形
内角和
外角 (1)n 边形内角和公式为______________，外角和为______.
(2)正 n 边形的每个内角为____________
对角线 (1)从 n 边形的一个顶点可以引________条对角线，并且这些对
角线把多边形分成了________个三角形.
(2)n 边形对角线条数为____________
知识点 1 多边形
(n－2)·180°
360°
(n－2)
(n－3)
1.(RJ 八上 P28 复习题)一个多边形的内角和比四边形的内角和多
540°，并且这个多边形的各内角都相等.这个多边形的每个内角等于多
少度？
解：设这个多边形边数为 n，
依题意得(n－2)·180＝360＋540，解得 n＝7.
∵这个多边形的每个内角都相等，
性质 (1)对边________且________(边).
(2)对角________，邻角________(角).
(3)对角线互相________(对角线).
(4)是________对称图形(对称性)
判定 (1)两组对边分别平行(概念).
(2)两组对边分别相等(边).
(3)一组对边平行________相等(边).
(4)两组对角分别相等(角).
(5)两条对角线______________(对角线)
重要
结论 (1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
(2)平行四边形是中心对称图形，________________为对称中心
知识点 2 平行四边形的性质和判定
平行
相等
相等
互补
平分
中心
且
互相平分
对角线的交点
2.(RJ 八下 P51 习题)在四边形 ABCD 中，AD
＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°，求
BC 的长和四边形 ABCD 的面积.
解：在△AOD 中，∠ADB＝90°，AD＝12，OD＝5，
根据勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2＝52＋122＝169，∴OA＝13.
∵AC＝26，∴OA＝OC.
又∵DO＝OB，∴四边形 ABCD 为平行四边形．
∴AD＝BC＝12.∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.
∴S四边形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120.
答：BC 的长为 12，四边形 ABCD 的面积为 120.
考点 1
多边形的有关计算
C
1. (2025·眉山)如图，直线 l 与正五边形 ABCDE 的边 AB，DE 分别
交于点 M，N，则∠1＋∠2 的度数为(
)
A.216°
B.180°
C.144°
D.120°
(2025·广元)如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，
对角线 HB，AC 交于点 K，则∠AKH＝(
)
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
D
(2025·长春)图 1 是一个正十二面体，它的每个面
都是正五边形，图 2 是其表面展开图，则∠α为________度.
图 1
图 2
36
考点 2
平行四边形的性质和判定
2. (2025·广州二模)如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC
上的点，AE＝CF.求证：BE∥DF 且 BE＝DF.(4 分)
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠BAE＝∠DCF.
∴△AEB≌△CFD(SAS).
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，
即∠BEC＝∠DFA，∴BE∥DF.
(2025·宜 宾 )如图，点 E 是平行四边形 ABCD 边
CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，AD＝5.求证：
△ADE≌△FCE，并求 BF 的长.(4 分)
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝5，∴∠D＝∠FCE.
∵E 是 CD 的中点，∴DE＝CE，
在△ADE 和△FCE 中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC＝AD＝5，
∴BF＝BC＋FC＝5＋5＝10.
如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，点 E 在边
AB 上，________(填序号).
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选
一组作为已知条件，填在横线上，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 BCDE 为平行四边形；(4 分)
(2)若 AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段 AE 的长.(6 分)
解：(1)选择①，证明如下：
∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE.
∵AB∥CD，∴四边形 BCDE 为平行四边形．
选择②，证明如下：
∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD.
∵AB∥CD，∴四边形 BCDE 为平行四边形．
(2)由(1)可知，四边形 BCDE 为平行四边形，∴DE＝BC＝10.
∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，
即线段 AE 的长为 6.
1. (2025·云南)一个六边形的内角和等于(
)
A.360°
B.540°
C.720°
D.900°
2. 如图，下列条件中不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是
(
)
A.AB∥DC，AD∥BC
C.AO＝CO，BO＝DO
B.AB＝DC，AD＝BC
D.AB∥DC，AD＝BC
C
D
3.(2025·凉山州)已知一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍，则
从这个多边形的一个顶点处可以引出的对角线条数是(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
4.(2024·广州)如图，在 ABCD 中，BC＝2，点 E 在 DA 的延长线
上，BE＝3，若 BA 平分∠EBC，则 DE＝________.
B
5
5.(2025·长沙)如图，在五边形 ABCDE 中，∠B＝120°，∠C＝
110°， ∠D＝105°，则∠A＋∠E＝________°.
205
6.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，
F 在对角线 BD 上，且 BE＝EF＝FD，连接 AE，EC，CF，FA .
(1)求证：四边形 AECF 是平行四边形；(4 分)
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.(6分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即 EO＝FO，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
(2)解：∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2.
∵EO＝FO，∴S△CFO＝ S△CEF＝1.(共36张PPT)
第22讲
特殊的平行四边形
类别 内容
性质 (1)对边________________.
(2)四个角都是____________.
(3)对角线互相__________________.
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 (1)有一个角是________的平行四边形.
(2)对角线________的平行四边形.
(3)有三个角是________的四边形
知识点 1 矩形的性质和判定
平行且相等
直角
平分且相等
直角
相等
直角
1.(RJ 八下 P55)如图， ABCD 的对角线 AC，
BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝4.
求 ABCD 的面积.
解：∵ ABCD 的对角线相交于点 O，△AOB 是等边三角形，
∴OA＝OC，OB＝OD，OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝BD，∴ ABCD 是矩形，∴∠BAD＝90°，
类别 内容
性质 (1)对边平行，四边相等.
(2)对角________，邻角互补.
(3)对角线________________，每条对角线平分一组对角.
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 (1)有一组________相等的平行四边形.
(2)四条边相等的四边形.
(3)对角线______________的平行四边形
面积
S菱形＝底×高＝ ×两条对角线的积
知识点 2 菱形的性质和判定
相等
互相垂直平分
邻边
互相垂直
2.(RJ 八下 P61)如图，已知四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别
在AB，AD 上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点 F，G 分别在 BC，
CD 上，MG 与 NF 相交于点 E，求证：四边形 AMEN 是菱形.
证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形 AMEN 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD.
∵BM＝DN，
∴AB－BM＝AD－DN，∴AM＝AN，
∴四边形 AMEN 是菱形．
类别 内容
性质 (1)对边平行，四边相等.
(2)四个角都是直角.
(3)对角线互相___________________，每条对角线平分一组对角.
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形
判定 (1)有一组________相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的________是正方形.
(3)对角线相等且__________________的四边形是正方形
面积
S正方形＝边长×边长＝ ×两条对角线的积
知识点 3 正方形的性质和判定
垂直平分且相等
邻边
菱形
互相垂直平分
3.(RJ 八下 P62)如图，E，F，M，N 分别是正方形 ABCD 四条边
上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形 EFMN 是什么图形？证明你的结
论.(4 分)
解：四边形 EFMN 是正方形．证明如下：
∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS).
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN.
∴四边形 EFMN 是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°，
∴∠ENA＋∠DNM＝90°.
∴∠ENM＝90°.
∴四边形 EFMN 是正方形．
知识点 4 平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的联系
矩形
4.(RJ 八下 P60)满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2 分)
(2)对角线互相垂直的矩形；(2 分)
(3)对角线相等的菱形；(2 分)
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.(2 分)
解：(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．∵对角线
互相垂直，∴这个平行四边形是菱形．∵对角线相等，∴这个菱形是
正方形．
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形．∵对角线互相垂直的平行四
边形是菱形，∴对角线互相垂直的矩形是正方形．
(3)对角线相等的菱形是正方形．∵对角线相等的平行四边形是矩
形，∴对角线相等的菱形是正方形．
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．∵对角线互相
平分的四边形是平行四边形，∴对角线垂直的平行四边形是菱形，对
角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线互相垂直平分且相等的四边
形是正方形．
考点 1
矩形的性质和判定
1. (2025·北京)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，
DF⊥BC，垂足为 F，点 G 在 DE 的延长线上，DG＝FC.
(1)求证：四边形 DFCG 是矩形；(4 分)
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求 BC 和 AC 的长.(6 分)
(1)证明：∵D，E 分别为 AB，AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC.
∵DG＝FC，∴四边形 DFCG 是平行四边形，
又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，
∴平行四边形 DFCG 是矩形．
(2)解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠B＝45°，∴△BDF 是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝3.
∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.
∴DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°，
由(1)可知，DE 是△ABC 的中位线，四边形 DFCG 是矩形，
∴EG＝DG－DE＝5－4＝1，
(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝ ，求BC的长.(6分)
(2025·广州校级模拟)如图，在 ABCD 中，点 E，
F 分别在 BC，AD 上，BE＝DF，AC＝EF.
(1)求证：四边形 AECF 是矩形；(4 分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，即 AF＝EC，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
∵AC＝EF，∴平行四边形 AECF 是矩形．
(2)解：∵四边形 AECF 是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°.
∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，
考点 2
菱形的性质和判定
2. (2025·大庆)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC 与
BD 相交于点 O.点 B，D 关于 AC 所在直线对称.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(4 分)
(2)过点 D 作 BC 的垂线交 BC 延长线于点 E.若 CE＝3，AD＝5，
求线段 OC 的长.(6 分)
(1)证明：∵点 B，D 关于 AC 所在直线对称，
∴BD⊥AC，BO＝DO.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵BD⊥AC，∴四边形 ABCD 是菱形．
(2)解：由(1)得四边形 ABCD 是菱形，
∴BE＝BC＋CE＝5＋3＝8.
∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，
(2025·贵州)如图，在 ABCD 中，E 为对角线 AC
的中点，连接 BE，且 BE⊥AC，垂足为 E.延长 BC 至点 F，使CF＝CE，
连接 EF，FD，且 EF 交 CD 于点 G.
(1)求证： ABCD 是菱形；(4 分)
(2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积.(6分)
(1)证明：∵E 为对角线 AC 的中点，BE⊥AC，
∴BE 垂直平分 AC，∴AB＝BC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ABCD 是菱形．
(2)解：∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB.
∵CF＝CE，∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠BCE＝∠CEF＋∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF.
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE＝30°，∠BCA＝60°.
∵AB＝BC，∴∠BAC＝60°.
∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠BCE＝∠DCF.
∵BC＝CD，CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴∠DFC＝∠BEC＝90°.
考点 3
正方形的性质和判定
3. (2025·广安)如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，
BD＝10，DE＝BF，连接 AE，AF，CE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；(4 分)
∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5，
(1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD＝BC，BC∥AD，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解：如图，连接 AC 交 BD 于点 O.
∵四边形 ABCD 为正方形，BD＝10，
∴AF＝CF，AE＝CE，
由(1)可知△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AF＝CF＝AE＝CE，
∴四边形 AECF 是菱形，∴EF＝2OF.
∴EF＝2OF＝6，即EF的长为6
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于
点 O，点 E，F 在对角线 BD 上，且 BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形
AECF 是正方形.(6 分)
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
∴四边形 AECF 是菱形．
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即 EF＝AC，
∴四边形 AECF 是正方形．
(2025·浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 ABCD 上剪下机翼状纸
板(阴影部分)，点 E 在对角线 BD 上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌
△CBE 的证明过程；(4 分)
(2)若裁剪过程中满足 DE＝DA，求“机翼角”∠BAE 的度数.(6 分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
1.(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(
)
A.对角线相等
C.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
D.对角相等
2.(2025·常州)如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，AB＝5.
若∠ABD＝30°，则 AC 的长是(
)
A.4
B.5
C.6
D.10
A
B
3.(2025·德阳)如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，需要增加的
一个条件可以是(
)
A.AB∥CD
B.AB＝BC
C.∠B＝∠D
D.AC＝BD
第 3 题图
第 4 题图
4.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别交边 AB，
CD 于点 E，F.若 AD＝8，BE＝10，则 tan ∠ABD＝________.
D
5.(2025·乐山)如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ABCD 是正方形，现有三个条件
可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是
_____________(只需填一种组合即可).
①②或①③
6.如图， ABCD 中，对角线 AC 平分∠BAD
(1)求证： ABCD 是菱形；(4 分)
(2)若 AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形 ABCD 的边长.(6 分)
(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
又∵AC 平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，∴ ABCD 是菱形．
(2)解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O.
由(1)可知， ABCD 是菱形，
∴∠COB＝90°，
在Rt△CBO中，
解得 BC≈5.
答：菱形 ABCD 的边长约为 5.
