(共22张PPT)
第16讲
三角形初步
分类 关系
边与边 (1)任意两边之和________第三边.
(2)任意两边之差________第三边
角与角 (1)内角和定理：三角形的内角和等于________°.
(2)推论：①三角形的外角和等于________°；
②三角形的一个外角________与它不相邻的两个内角的和；
③三角形的一个外角________任何一个与它不相邻的一个内角
边与角 在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边，大角对大边，
大边对大角
知识点 1 三角形的边角关系
大于
小于
180
360
等于
大于
1.(1)(RJ 八上 P8 改编)有长为 100 cm，70 cm，50 cm，30 cm 的四
根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？(4 分)
(2)(RJ 八上 P17)如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边
AC上一点，BE，CD相交于点 F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝
20°，求∠BDC 和∠BFD 的度数.(4 分)
解：(1)有 2 种选法．选其中三根组成一个三角形，不同的选法有
100，70，50；100，70，30；100，50，30；70，50，30.能够组成三
角形的只有 100，70，50；70，50，30.∴有 2 种．
(2)在△ACD中．∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，∴∠BDC＝∠ACD
＋∠A＝62°＋35°＝97°；
在△BDF中，∠BFD＝180°－∠ABE－∠BDC＝180°－20°－97°
＝63°.
知识点 2 三角形的分类
底和腰
等边
锐角
直角
钝角
2.(RJ 八上 P8)一个等腰三角形的一边长为 6，周长为 20，求其他
两边的长.(4 分)
解：①底边长为 6，则腰长为(20－6)÷2＝7，所以其他两边的长为
7，7，能构成三角形；
②腰长为 6，则底边长为 20－6×2＝8，底边长为 8，另一个腰长
为 6，能构成三角形．
综上所述，其他两边的长为 8，6 或 7，7.
重要线段 图形 式子表示及重要结论
高线
∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABC＝________
角平分线
∠BAD＝∠DAC＝____________
中线
BD＝DC＝ BC；S△ABD＝S△ADC＝________S△ABC
中位线
AD＝DB，AE＝EC；DE∥BC，且 DE＝_______BC
知识点 3 三角形中的重要线段
(1)BE＝________＝ ________；(2分)
(2)∠BAD＝________＝ ________；(2分)
3.(RJ 八上 P8)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，
AF 是高.填空：
(3)∠AFB＝________＝90°；(2 分)
(4)若BC＝8，AF＝5，则S△ABC＝________，S△ABF＝________.(2
分)
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠AFC
20
10
类型 内心 外心 重心
定义 三角形三条_________
的交点 三角形三边_______
_______的交点 三角形三边______
的交点
性质 内心到三角形_______
的距离相等 外心到三角形三个
_______的距离相等 重心到顶点的距离
与重心到对边中点
的距离之比为 2∶1
知识点 4 三角形中的内心、外心和重心
角平分线
垂直平
分线
中线
三边
顶点
4.如图，点 G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为BC，CA，AB 的
中点，具有性质：AG∶GD＝BG∶GE＝CG∶GF＝2∶1.已知△AFG的
面积为3，则△ABC的面积为________.
18
考点 1
三角形的内角和定理及其推论
C
1.(2024·广东)如图，一把直尺、两个含 30°的三角尺拼接在一起，
则∠ACE 的度数为(
)
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
(2025·南充)如图，把含有 60°的直角三角尺斜边
放在直线 l 上，则∠α的度数是(
)
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
D
将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，
则∠1 的度数为(
)
A.70°
B.75°
C.80°
D.85°
B
考点 2
三角形中的重要线段
C
2.(2025·宿迁)如图，在△ABC 中，AB≠AC，点 D，E，F 分别是
边 AB，AC，BC 的中点，则下列结论错误的是(
)
A.DE∥BC
C.∠BAF＝∠CAF
B.∠B＝∠EFC
D.OD＝OE
如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是中线，AD
＝4，S△ABC＝12，则BE的长为( )
A.1.5
B.3
C.4
D.6
B
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分
别为点 D 和点 E，AD 与 CE 交于点 O，连接 BO 并延长交 AC 于点 F，
若 AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF 等于___________.
12∶15∶10
1.(2025·连云港)下列长度(单位：cm)的 3 根小木棒能搭成三角形的
是(
)
A.1，2，3
B.2，3，4
C.3，5，8
D.4，5，10
2.如图，分别过△ABC 的顶点 A，B 作 AD∥BE.若∠CAD＝25°，
∠EBC＝80°，则∠ACB 的度数为(
)
A.65°
B.75°
C.85°
D.95°
B
B
3.(2025·广东)如图，点 D，E，F 分别是△ABC 各边上的中点，
∠A＝70°，则∠EDF＝(
)
A.20°
B.40°
C.70°
D.110°
C
100
4.如图，△ABC 中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD 是边 AB 上
的高，AE 是∠CAB 的平分线，则∠AEB 的度数是________°.
5.如图，在△ABC 中，E 是中线 AD 的中点 若.AEC 的面积是 1，
则△ABD 的面积是________.
2
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角
∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E.
(1)求∠CBE 的度数；(4 分)
(2)过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F 的度数.(6
分)
∴∠CBE＝ ∠CBD＝65°；
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝
90° －∠A＝50°，∴∠CBD＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，
(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.(共35张PPT)
第20讲
锐角三角函数的概念
正弦
sin A＝ ＝__________
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
设∠A，∠B，∠C 的对边
分别为 a，b，c
余弦
cos A＝ ＝__________
正切
tan A＝ ＝__________
知识点 1 锐角三角函数的概念
1.(RJ 九下 P68)分别求出图中∠A，∠B 的正弦值、余弦值和正切
值.(6 分)
角度 30° 45° 60°
sin A
________
________
cos A
________
________
tan A
________
________
知识点 2 特殊角的三角函数值
1
2.(RJ 九下 P66)求下列各式的值；
(1)1－2sin 30°cos 30°；(4 分)
(2)3tan 30°－tan 45°＋2sin 60°.(4 分)
概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边
和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元
素的过程，叫作解直角三角形
边角关系 (1)三边之间的关系：______________.
(2)两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°.
(3)sin A＝ ，cos A＝________，tan A＝________
知识点 3 解直角三角形
a2＋b2＝c2
3.(RJ 九下 P74)在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C的
对边分别是 a，b，c，根据下列条件解直角三角形.
(2)∠B＝72°，c＝14；(4 分)
(1)c＝30，b＝20；(4 分)
解：(1)由勾股定理得，
∴∠A≈90°－42°＝48°.
(2)∵∠B＝72°，∴∠A＝90°－∠B＝18°.
∴a≈4.326，b≈13.31.
(3)∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，
仰角 视线在水平线________的角叫作仰角
俯角 视线在水平线________的角叫作俯角
坡度 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫作________
(坡比)，用字母 i 表示
坡角 坡面与水平面的夹角叫作坡角，用α表示，则有
i＝________
方向角 平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东
向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点 O 出发
的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫作观测的
方向角
知识点 4 解直角三角形的应用
上方
下方
坡度
tan α
4.(RJ 九下 P77)如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距
40 m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 50°，观测旗杆底部 B 的仰角为
45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位).(6 分)
＝tan 50°，
解：在 Rt△ACD 中，
AC
CD
∴AC＝CD·tan 50°≈40×1.192＝47.68(m)，
在Rt△BCD中，∠BDC＝∠DBC＝45°，BC＝CD＝40(m)，
∴AB＝AC－BC≈47.68－40＝7.68≈7.7(m).
答：旗杆的高度约为 7.7 m.
考点 1
解直角三角形
1.(2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，
已知cos ∠CAD＝ ，AB＝26，则点B到AD的距离为________.
10
A.1
B.2
C.
D.5
(2025·南通)在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，
C
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 是 BC 边上的
中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1.
(1)求 BC 的长；(4 分)
(2)求 sin ∠DAE 的值.(6 分)
解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∵tan ∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14；
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1.
∵AD⊥BC，
(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝ BC＝7，
考点 2
解直角三角形的应用
2. (2024·广州)2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体
(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作
了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装
置在缓速下降阶段从 A 点垂直下降到 B 点，再垂直下降到着陆点 C，
从 B 点测得地面D点的俯角为 36.87°，AD＝17 米，BD＝10
米.
(1)求 CD 的长；(4 分)
(2)若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B
点，求模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间.(6 分)
(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75)
解：(1)如图，设点 B 处的水平线为 BE.
由题意得，AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°.
在Rt△BCD中，BD＝10米，
∴CD＝BD·cos 36.87°≈10×0.80＝8(米)，
∴CD 的长约为 8 米．
∴AB＝AC－BC＝15－6＝9(米).
∵模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点，
∴模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间＝9÷2＝4.5(秒)，
∴模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间约为 4.5 秒．
(2)在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD·sin 36.87°≈10×0.6＝6(米)，
在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，
(2025·花都区校级三模)如图是一个山坡的纵向剖
面图，坡面 DE 的延长线交地面 AC 于点 B，点 E 恰好在 BD 的中点处，
∠CBD＝60°，坡面 AE 的坡角为 45°，山坡顶点 D 与水平线 AC 的距
(1)求 BE 的长度；(4 分)
(2)求 AB 的长度.(结果保留根号)(6 分)
解：(1)如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F.
在Rt△BEF中，
解得 BE＝1 000，
经检验，BE＝1 000 是原方程的解且符合题意，
∴BE 的长度为 1 000 m.
(2)在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
在Rt△BEF中，
解得 BF＝500，
经检验，BF＝500 是原方程的解且符合题意，
(2025·广州模拟)人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛
开.如图所示，点 B 为学校所在地，点 D 为歌乐山一寺庙，D 点位于点
B 的北偏西 30°方向.D点位于小雨家点A 的北偏东15°方向.D 点位于小
瑜家点 C 的北偏西 75°方向.点 A 位于点 B 的正西方向，点 C 位于点 B
的正北方向，已知小雨家离学校的距离 AB ＝10 公里.( 参考数据：
(1)求小雨家 A 离寺庙 D 的距离(结果保留根号)；(4 分)
(2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙 D 处看桃花，他们三人
同时从学校出发，为了接 A 处的小雨，甲驾车以每小时 60 公里的速度
从学校出发走路线①B→A→D，为了接 C 处的小瑜，乙驾车以每小时
50 公里的速度从学校出发走路线②B→C→D，(接人时间忽略不计)丙
骑共享电动自行车以每小时 30 公里的速度从学校出发走路线③B→D，
请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚到达目的地 D 点？(结果精确
到 0.01)(6 分)
解：(1)如图，过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E，在 DE 取点 F，使
AF＝DF.
根据题意得，∠ADE＝15°.
∵AF＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF＝15°，∠AFE＝30°，
设 AE＝a，则 AF＝2a，
∵AB＝10，∴BE＝10－a.
∵∠ABC＝90°，∠DBC＝30°，
(2)过点 C 作 CH⊥DE 于点 H，则易得四边形 BCHE 是矩形，CH
根据题意得，∠DCH＝15°，
∴∠GDH＝∠DCH＝15°，∴∠DGH＝30°，
设 DH＝m，
∴①路线 B→A→D 用时为(10＋12.25)÷60≈0.37(小时)；
②路线 B→C→D 用时为(10＋7.05)÷50≈0.34(小时)；
③路线 B→D 用时为 13.65÷30≈0.46(小时).
∵0.34＜0.37＜0.46，∴丙最晚到达目的地 D 点．
1.(2025·云南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，BC＝5，
则 sin A＝(
)
1
A.
5
1
B.
12
C.
1
13
5
D.
13
D
2.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，sin B＝ ，则 BC 的长是(
)
B.6
C.8
D.9
A.3
第 2 题图
第 3 题图
3.(2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高 BC 长为 10 米，斜
道 AC 长为 30 米，则 sin A 的值为(
)
B
D
4.计算：cos 60°＋tan 45°－tan 30°·sin 60°＝________.
5.(2025·眉山)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若 AB，AC 的长
都为 2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是________m.(结果
精确到 0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
1
1.8
6.(2025·资阳)如图，已知水平地面 AM 上方有一个水平的平台 BN，
该平台上有一个竖直的建筑物 CD.在 A 处测得建筑物顶端 C 的仰角为
30°，在B处测得C的仰角为 60°，斜坡AB的坡度 i＝1∶3，AB＝
米，CD⊥BD.(点 A，B，C，D 在同一竖直平面内).
(1)求平台 BN 的高度；(4 分)
(2)求建筑物的高度(即 CD 的长).(6 分)
解：(1)如图，过点 B 作 BE⊥AM 于点 E.
在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2，
答：平台 BN 的高度为 10 米．
(2)如图，延长 CD 交 AM 于点 F，则 CF⊥AM，
∴四边形 BEFD 为矩形，∴DF＝BE＝10 米，BD＝EF.
设 CD＝x 米，则 CF＝(x＋10)米，
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°.(共25张PPT)
第四章
三角形
第15讲
线段、角、相交线与平行线
直线公理 两点确定一条________
线段公理 两点之间，线段________
两点间的距离 连接两点的线段的________
线段的中点 把线段分成________的两条线段的点
知识点 1 直线和线段
直线
最短
长度
相等
1.(RJ 七上 P128)如图，点 D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AD 的
中点，若 AB＝4 cm，求线段 CD 的长度.(6 分)
2 cm.
∵C 是线段 AD 的中点，
度、分、秒的换算 1°＝________′，1′＝________″，度、分、秒换
算是 60 进制的
余角和补角 互余：如果两个角的和为________°，那么这两
个角互为余角
互补：如果两个角的和为________°，那么这两
个角互为补角
性质：同角或等角的余角________，同角或等
角的补角________
知识点 2 角
60
60
90
180
相等
相等
2.(RJ 七上 P139)一个角是 70°39′，求它的余角和补角.(6 分)
解：它的余角＝90°－70°39′＝19°21′，
它的补角＝180°－70°39′＝109°21′.
垂线的概念 两条直线相交且夹角为 90°，那么其中的一条直线叫
作另一条直线的垂线
垂线的性质 性质 1：在同一平面内，过一点有且只有________
直线与已知直线垂直.
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，_________最短
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的_________的长度，叫作点
到直线的距离
知识点 3 相交线
一条
垂线段
垂线段
对顶角 (1)如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长
线，且两个角有公共顶点，那么这两个角互为
_________.
(2)对顶角_________
同旁内角 (1)∠2 和∠6 是___________.
(2)∠4 和∠6 是___________.
(3)∠4 和∠5 是____________
对顶角
相等
同位角
内错角
同旁内角
3.(RJ 七下 P8 习题)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB，
垂足为 O，∠EOC＝35°，求∠AOD 的度数.(6 分)
解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°.
又∵∠COE＝35°，
∴∠COB＝∠COE＋∠BOE＝35°＋90°＝125°.
∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD＝125°.
平行线的性质
与判定 (1)__________________ 两直线平行.
(2)内错角相等 两直线平行.
(3)__________________ 两直线平行
平行公理及相关
基本事实 (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平
行.
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直
线也互相________.
(3)在同一平面内，两条不重合的直线要么________，
要么平行.
(4)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
知识点 4 平行线
同位角相等
同旁内角互补
平行
相交
4.(RJ 七下 P20)如图，在三角形 ABC 中，D 是
AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE＝60°，∠B＝
60°，∠AED＝40°.
(1)DE 和 BC 平行吗？为什么？(3 分)
(2)∠C 是多少度？为什么？(3 分)
解：(1)DE∥BC，理由如下：∵∠ADE＝60°，∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED，
又∵∠AED＝40°，∴∠C＝40°.
命题的结构 每个命题都是由________和________两部分组成的
真假命题 (1)如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题.
(2)如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫作假
命题
定理 用推理的方法证实为正确的命题叫作________
证明 推理一个命题的正确性的过程叫作证明
知识点 5 命题、定理、证明
题设
结论
定理
5.(RJ 七下 P24)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命
题，举出一个反例.
(1)两个锐角的和是锐角；
(2)邻补角是互补的角；
(3)同旁内角互补.
解：(1)假命题．反例：40°与 60°的和为 100°.
(2)真命题．
(3)假命题．反例：如图，∠1＋∠2＜180°.
考点 1
余角、补角和对顶角
144
1.(2025·广州)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，若∠1＝36°，则
∠2 的度数为________°.
(2025·天河区校级三模)如图，直线 AB，CD 相交
于点 O，射线 OM 平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM 等于(
)
A.159°
B.161°
C.169°
D.138°
A
(2025· 广 州 一 模 ) 如 图 ， 点 O 在 直 线 AB 上 ，
OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD 的度数为________°.
30
考点 2
平行线的性质和判定
2. (2025·江西)如图，已知点 C 在 AE 上，AB∥CD，∠1＝∠2.求
证：AE∥DF.(4 分)
证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1.
∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴AE∥DF.
(跨学科·物理)(2024·深圳)如图，一束平行光线照
射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与
平面镜夹角∠4 的度数为(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
(2024·广州)如图，直线 l 分别与直线 a，b 相交，
a∥b，若∠1＝71°，则∠2 的度数为________°.
109
考点 3
命题的真假判断
D
)
3.(2025·成都)下列命题中，假命题是(
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
)
(2025·广州二模)下列命题中，真命题是(
A.4 的平方根是 2
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
D.数据 2，0，3，2，3 的方差是
6
5
(2025·北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”
是假命题的一组实数 a，b 的值为 a＝________，b＝______________.
D
－3
1(答案不唯一)
1.(2025·广安)若∠A＝25°，则∠A 的余角为(
)
A.25°
B.65°
C.75°
D.155°
2.(2025·乐山)如图，两条平行线 a，b 被第三条直线 c 所截.若∠1
＝70°，则∠2＝(
)
A.130°
B.110°
C.90°
D.70°
B
D
3.(跨学科·物理)(2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射
光线 OA 经平面镜后反射入眼，若 CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON
＝90°，则入射角∠AON 的度数为(
)
A.22°
B.32°
C.35°
D.122°
B
4.(2025·越秀区校级三模)已知命题“若 a＝1，则|a|＝1” ，其逆命
题是________命题(填“真”或“假”).
假
130
5.(2025·连云港)如图，AB∥CD，直线 AB 与射线 DE 相交于点 O.
若∠D＝50°，则∠BOE＝________°.
6.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD 的度数；(4 分)
(2)AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.(6
分)
(1)解：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝80°，
∴∠BAD ＝100°.
(2)证明：∵AE 平分∠BAD，∴∠DAE＝50°.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°.
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC.(共26张PPT)
第17讲
全等三角形
知识点 1 全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边________.
(2)全等三角形的对应角________.
(3)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(4)全等三角形的周长相等、面积相等.
相等
相等
1.(RJ 八上 P33)如图，△ABC≌△DEC，CA 和 CD，CB 和 CE 是
对应边，∠ACD 和∠BCE 相等吗？为什么？(4 分)
解：∠ACD＝∠BCE，理由如下：
∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE.
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠ACD＝∠BCE.
概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
一般
三角形
全等的
判定 三边分别相等的两个三角形全
等(SSS) △ABC≌△DEF
两边和它们的夹角分别相等的
两个三角形全等(SAS) △ABC≌△DEF
两角和它们的夹边分别相等的
两个三角形全等(ASA) △ABC≌△DEF
两角分别相等且其中一组等角
的对边相等的两个三角形全等
(AAS) △ABC≌△DEF
知识点 2 全等三角形的判定
AC＝DF
∠B＝∠E
AB＝DE
直角三角形
全等的判定 斜边和一条
直角边分别
相等的两个
直角三角形
全等(HL) Rt△ABC≌
Rt△DEF
注意：AAA 和 SSA 不能判定两个三角形全等
,
2.(1)(RJ 八上 P37)如图，点 C 是 AB 的中点，AD＝CE，CD＝BE.
求证：△ACD≌△CBE.(4 分)
(2)(RJ 八上 P44)如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，FB＝CE，
AB∥DE，AC∥DF.求证：AB＝DE，AC＝DF.(4 分)
证明：(1)∵点 C 是 AB 的中点，∴AC＝CB.
∴△ACD≌△CBE(SSS).
(2)∵FB＝CE，∴BC＝EF，
又∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AB＝DE，AC＝DF.
性质 角的平分线上的点到角的两边的距离_________
判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在_____________上
知识点 3 角平分线的性质和判定
相等
角的平分线
3.(RJ 八上 P51)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，
CD 相交于点 O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.(4 分)
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△ODB 和△OEC 中，
∴△ODB≌△OEC(AAS)，∴OD＝OE，
而 OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠1＝∠2.
考点 1
全等三角形的性质和判定
1.(2025· 广 州 ) 如图，BA ＝ BE ， ∠1 ＝ ∠2 ， BC ＝ BD. 求 证 ：
△ABC≌△EBD.(4 分)
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠EBC，
∴∠ABC＝∠EBD，
∴△ABC≌△EBD(SAS).
(2025·乐山)如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，
AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.(4 分)
∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴AB＝DC.
(2025·内江)如图，点 B，F，C，E 在同一条直线
上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；(4 分)
(2)若 BF＝4，FC＝3，求 BE 的长.(6 分)
(1)证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(2)解：由(1)可知，△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF＋CF＝EC
＋CF，∴BF＝EC.
∵BF＝4，FC＝3，∴EC＝4，
∴BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11.
考点 2
角平分线的性质和判定
2.(2023·广州)如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别
是△ABD 和△ACD 的高，AE＝12，DF＝5，则点 E 到直线 AD 的距离
为________.
(2025·广州模拟)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
BD 平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点 E，AD＝6，AC＝10，则 DE 的
长是(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
B
如图，在△ABC 中，AB＝5，AD 平分∠BAC 交
BC 于点 D，DE⊥AC，垂足为 E，△ABD 的面积为 5，则 DE 的长为
(
)
A.1
B.2
C.3
D.5
B
1.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE
的度数为(
)
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
C
2.如图，点 E、点 F 在 BC 上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条
件，不能证明△ABF≌△DCE 的是(
)
A.∠A＝∠D
B.∠AFB＝∠DEC
C.AB＝DC
D.AF＝DE
D
3.(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点 D 在 BC 上，
)
下列条件不能说明 AD⊥BC 的是(
A.∠ADB＝∠ADC
C.BD＝CD
B.∠B＝∠C
D.AD 平分∠BAC
B
4.如图，已知 AC⊥BD 于点 P，AP＝CP，请增加一个条件，使
△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是______________
_________.
BP＝DP(答案
不唯一)
5.如图，已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC
上一点，过点 D 作直线 DE⊥OA，垂足为 E，且直线 DE 交 OB 于点 F.
若 DE＝2，则 DF＝________.
4
6.(2025·南 充 )如图，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，AC＝AD，
∠BAD＝∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED；(4 分)
(2)求证：∠BCD＝∠EDC.(6 分)
证明：(1)∵∠BAD ＝ ∠EAC ， ∴ ∠ BAD － ∠CAD ＝ ∠EAC －
∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC≌△AED(SAS).
(2)∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，由(1)可知，△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE，∴∠ACB＋∠ACD＝∠ADE＋∠ADC，∴∠BCD
＝∠EDC.(共25张PPT)
第19讲
等腰三角形与直角三角形
定义 过线段的中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平
分线
性质 线段垂直平分线上的点到____________________的距离相等
判定 到线段两端点距离相等的点在这条线段的_____________上
知识点 1 线段的垂直平分线
线段两端点
垂直平分线
19
1.(RJ八上P65改编)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，
AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为______cm.
判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形.
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“_______
_________”.
在△ABC 中，若∠ABC＝∠ACB，则________
等腰三
角形
性质 (1)等腰三角形的两个底角相等，即“___________”.
在△ABC 中，若 AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB.
(2)三线合一：等腰三角形的顶角的________、底边上
的________、底边上的高互相重合
对称性 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高
(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线
知识点 2 等腰三角形的性质和判定
等角对
等边
AB＝AC
等边对等角
平分线
中线
2.(RJ 八上 P82)如图，在△ABC 中，点 D，E 边 BC 上，AB＝AC，
AD＝AE.求证：BD＝CE.(4 分)
证明：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
∵AB＝AC，AD＝AE，∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE.
性质 (1)三边都相等.
(2)三个内角相等且都是________°.
(3)三线合一，且内心、外心、重心和垂心重合.
(4)轴对称图形，有________条对称轴
等边三
角形
判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(等角对等边).
(3)有一个角是______________________是等边三角形
知识点 3 等边三角形的性质和判定
60
3
60°的等腰三角形
∴∠CDE＝∠CED＝ ∠BCD＝30°.
3.(RJ 八下 P93)如图，△ABC 是等边三角形，
BD 是中线，延长 BC 至点 E，使 CE＝CD.求证：DB
＝DE.(4 分)
证明 ∵：ABC 是等边三角形，BD 是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝
60°，∴∠DBC＝30°.
又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.
又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠DBC＝∠DEC.∴DB＝DE.
判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.
(3)勾股定理的逆定理.
(4)如果三角形一条边上的________等于这条边的一半，那么这
个三角形是直角三角形
性质 (1)直角三角形的两个锐角________.
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直
角边等于________的一半.
(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于____________的一半
知识点 4 直角三角形
中线
互余
斜边
斜边长
勾股定理 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的________
勾股定理
的逆定理 若一个三角形中有两边的平方和等于______________，则这
个三角形是直角三角形
4.(RJ 八下 P34)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD
＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形 ABCD 的面积.(4 分)
平方
第三边的平方
解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
在△ACD 中，AC2＋CD2＝25＋144＝169＝AD2，
∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°，
考点 1
等腰(边)三角形的性质和判定
1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD 是 BC 边上的
中线，且 BD＝BE，CD 的垂直平分线 MF 交 AC 于点 F，交 BC 于点
M.
(1)求∠ADE 的度数；(4 分)
(2)证明△ADF 是等边三角形；(4 分)
(3)若 MF 的长为 2，求 AB 的边长.(4 分)
∴∠BDE＝∠BED＝ ×(180°－∠B)＝75°.
(1)解：在△ABC 中．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
又∵BD＝BE，
在△ABC 中．∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝90°－75°＝15°.
(2)证明：∵FM 垂直平分 DC，∴DF＝CF.
∵∠C＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C＋∠FDC＝60°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF＝90°－∠C＝60°，
∴∠AFD＝∠DAF＝∠ADF＝60°，
∴△ADF 是等边三角形．
(3)解：∵FM 垂直平分DC，∴∠FMC＝90°.
∵∠C＝30°，FM＝2，∴FC＝2FM＝4.
又∵DF＝FC，∴DF＝4.
∵△ADF 是等边三角形，∴AF＝DF＝4，
∴AC＝AF＋CF＝4＋4＝8.
又∵AB＝AC，∴AB＝8.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB，BC 于点 D，E，连接 CD，AE.求证：
(1)△ADC 是等边三角形；(4 分)
(2)点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.(6 分)
∴∠BAC＝60°，AC＝ AB.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝DB＝ AB，
证明：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AC，∴△ADC 是等边三角形．
(2)∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE，DE⊥AB，∴∠EAB＝
∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC－∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，∴AE 平分∠BAC.
∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝EC.
∵△ADC 是等边三角形，∴AD＝AC，
∴点 E 在线段 CD 的垂直平分线上．
如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线相
交于点 O，过点 O 的直线 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.
(1)求证：DE＝BD＋CE；(4 分)
(2)若 AD＝3，BD＝CE＝2，求 BC 的值.(6 分)
(1)证明：∵∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠DBO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO.
∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ACO，
∴DO＝DB，EO＝EC，∴DE＝DB＋CE.
(2)解：∵BD＝CE＝2，AD＝3，
∴DE＝4，AB＝AD＋DB＝5.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴AD∶AB＝DE∶BC，即 3∶5＝4∶BC，
考点 2
勾股定理及其应用
2.如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，网格中每
个小正方形的边长均为 1.
(1)计算：AB＝________，BC＝________，AC＝________；(3 分)
(2)证明：△ABC 是直角三角形；(3 分)
(3)求 AC 边上的高 BD.(4 分)
(2)证明：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65，
∴AB2＋BC2＝65＝AC2，∴△ABC是直角三角形．
(3)解：作高BD，如图所示．
(2025·增城区二模)如图，在△ABC中，AC＝BC，
∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为点 E.若CD＝2，
则 AC＝__________.
(数学文化)“今有方池一丈，葭生其中央，出水
一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭
生池中”问题.即 AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则 BC＝(
)
A.8
B.10
C.12
D.13
C
1. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝130° ，DA⊥AC，则
∠ADB＝(
)
A.100°
B.115°
C.130°
D.145°
A.2
B.3
C.4
D.
B
C
3.(2025·天河区校级一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB
的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E.若 DE＝1，
则 BC 的长为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
B
4.(2025·连云港)如图，长为 3 m 的梯子靠在墙上，梯子的底端离
墙脚线的距离为 1.8 m，则梯子顶端的高度 h 为________m.
第 4 题图
第 5 题图
5.如图，在四边形 ABCD 中，AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，
且∠ABC＝90°，则∠DAB 的度数是________°.
2.4
135
6.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD 的度数；(4 分)
(2)若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于
点 F.求证：AE＝FE.(6 分)
(1)解：∵AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∵∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.
(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE.(共29张PPT)
微专题四
全等三角形模型
模型一
平移模型
模型分析：有一组边在一条直线上、另外两组边分别平行的两个
三角形，常在其公共直线上加(减)公共线段以构造相等线段，利用平行
线找出相等的对应角，从而找出三角形全等的条件.
基本图形：
如图，点 A，B，D，E 在同一条直线上，AB＝DE(或 AD＝BE)，
AC∥DF，BC∥EF，则△ABC≌△DEF.
1.如图，已知 E，B，F，C 四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝
∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF 的是(
)
A.∠E＝∠ABC
C.AB∥DE
B.AB＝DE
D.DF∥AC
B
2.(2024·内江)如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，AD＝BE，
AC＝DF，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；(4 分)
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F 的度数.(6 分)
(1)证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，
即 AB＝DE.
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，
由(1)可知△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠FDE＝55°，
∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°.
模型二
折叠模型
模型分析：所给图形沿公共边所在的直线或者经过公共顶点的某
条直线折叠后，两个三角形全等.对于此模型，学会利用对称性质是解
决问题的关键.
基本图形：
3.如图，OB 平分∠AOC，D，E，F 分别是射线 OA、射线 OB、射
线 OC 上的点，点 D，E，F 与点 O 都不重合，连接 ED，EF.若添加下
列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件
是(
)
A.OD＝OE
C.∠ODE＝∠OED
B.OE＝OF
D.∠ODE＝∠OFE
D
4.(2024·常州改编)如图，B，E，C，F 是直线 l 上的四个点，AC，
DE 相交于点 G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△GEC 是等腰三角形；(4 分)
(2)连接 AD，请说明 AD 与 l 的位置关系.(6 分)
∴△ABC≌△DFE(SSS)，
∴∠ACB＝∠DEF，即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC 是等腰三角形．
(2)解：AD∥l.理由如下：
如图，连接 AD，过点 A 作 AM⊥直线 l 于点 M，过点 D 作 DN⊥
直线 l 于点 N.
则∠AMB＝∠DNF＝90°，
∴AM∥DN.
∵△ABC≌△DFE，
∴∠ABM＝∠DFN.
在△ABM 和△DFN 中，
∴△ABM≌△DFN(AAS)，
∴AM＝DN，
∴四边形 AMND 为平行四边形，
∴AD∥l.
模型三
旋转模型
模型分析：两个三角形有公共顶点，绕该顶点旋转后两个三角形
重合.对于此模型，学会利用旋转后的两个图形全等的性质来解决问题
是关键.
基本图形：
∠ACB＝∠A′CB′
∠BAC＝∠B′A′C
(∠BAB′＝∠CAC′)
∠BAC＝∠B′A′C′
(∠BAB′＝∠CAC′)
5.(2024· 浙江 ) 如图 ， 正方形 ABCD 由四个全等的直角三角形
(ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形 EFGH 组成，
连接 DE.若 AE＝4，BE＝3，则 DE＝(
)
C
6.如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD
＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点 D 在线段 BC 上，
连接 CE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；(4 分)
(2)若∠EAC＝60°，求∠CED 的度数.(6 分)
(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解：由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD.
∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°.
∵∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°－∠ACE－∠EAC＝180°－45°－60°＝75°，
∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝75°－45°＝30°.
四、一线三等角模型(全等)
模型分析：(1)利用三角形内角和与内外角的关系，通过等角代换
得到一组相等的角，构造三角形全等的条件； (2)两个直角三角形的一
组直角边共线，且斜边互相垂直，利用直角互余的性质得出一组对应
角相等，加上已知的一组相等对应边，这是证明三角形全等的关键.
基本图形：
(同侧)∠1＝∠2＝∠3，BC＝B′C′
(异侧)∠1＝∠2＝∠3，BC＝B′C′
(一线三垂直)∠1＝∠2＝∠3＝90°，BC＝B′C′
7.(2023·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝90°，作 CD⊥AC，且使
CD＝AC，作 DE⊥BC，交 BC 的延长线于点 E.求证：AB＝CE.(4 分)
证明：∵DC⊥AC 于点 C，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＋∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCE.
∵DE⊥BC 于点 E，∴∠E＝90°，
∴∠B＝∠E.
∴△ABC≌△CED(AAS).
∴AB＝CE.
8.(2023·武汉)【问题提出】
如图 1，E 是菱形 ABCD 边 BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE
＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α (α≥90°)，AF 交 CD 于点 G，探究∠GCF
与α的数量关系.
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图 2，当α＝90°时，直接写出∠GCF 的大
小；(3 分)
(2)再探究一般情形，如图 1，求∠GCF 与α的数量关系；(3 分)
【问题拓展】
分)
图 1
图 2
图 3
解：(1)如图，在 BA 上截取 BJ，使得 BJ＝BE.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC.
∵BJ＝BE，∴AJ＝EC.
∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ.
∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC(SAS)，
∴∠AJE＝∠ECF.
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°－45°＝135°，∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF－∠ECD＝135°－90°＝45°.
∵∠EBN＝α，∴∠BNE＝90°－ α，
如图，在 AB 上截取 AN，使 AN＝EC，连接 NE.
∵∠ABC ＋ ∠BAE ＋ ∠AEB ＝ ∠AEF ＋ ∠FEC ＋
∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC.
∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF(SAS)，
∴∠ANE＝∠ECF.
∵AB＝BC，∴BN＝BE.
(3)如图，过点 A 作 CD 的垂线交 CD 的延长线于点 P，设菱形的
边长为 3m.
五、倍长中线法
模型分析：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几
何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就
是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等
三角形的有关知识来解决问题的方法.
基本图形：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线.
图 1
图 2
图 3
图 4
方式 1(直接倍长)：如图 2，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BE.
方式 2(间接倍长)：
(1)如图 3，作 CF⊥AD 于点 F，作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于点
E.
(2)如图 4，在 AB 上任取一点 M，连接 MD，延长 MD 至点 N，
使 DN＝MD，连接 CN.
9.【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：
如图1，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB＝4，AC＝6，求线
段 AD 长的取值范围.我们采用的方法是延长线段 AD 到点 E，使得 AD
＝DE，连接 CE，可证△ABD≌△ECD，可得 CE＝AB＝4，再根据三
角形三边关系即可求出 AD 的范围，我们将这样的方法称为“三角形
倍长中线法”.则 AD 的取值范围是___________.(3 分)
1＜AD＜5
图 1
图 2
【拓展应用】
＝90°，求 AB 的长；(5 分)
解：【拓展应用】(1)如图，延长AD到点 E，使 AD＝DE，连接 CE.
∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴∠E＝∠BAD＝90°，DE＝AD＝3，CE＝AB.
∴AB＝CE＝2.
(2)如图 3，在△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，分别以 AB，AC
为直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE＝∠ACF＝30°，连接 EF，
图 3
4(共32张PPT)
第18讲
图形的相似
比例线段 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d
比例
比例线段的
性质
(2)如果 ad＝bc(a，b，c，d 都不等于 0)，那么 ＝_______
知识点 1 比例线段及其性质
ad＝bc
1.(RJ 九下 P27)在比例尺为 1∶10 000 000 的地图上，量得甲、乙
两地的距离是 30 cm，求两地的实际距离.(4 分)
解：根据比例尺＝图上距离∶实际距离，得甲、乙两地的实际距
离为 30×10 000 000＝300 000 000(cm)，
300 000 000 cm＝3 000 km.故甲、乙两地的实际距离是 3 000 km.
知识点 2 平行线分线段成比例定理
(1) 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
_________.
成比例
成比例
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段_________.
的值.(4 分)
2.(RJ 九下 P31)如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G，且
AG＝2，GD＝1，DF＝5，求
BC
CE
定义 如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫
作相似三角形
判定 (1)两角分别________的两个三角形相似.
(2)三边_________的两个三角形相似.
(3)两边_________________________的两个三角形相似.
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似
性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
(2)相似三角形的周长之比等于__________，面积之比等于相似比的
_________.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
____________
知识点 3 相似三角形的判定与性质
相等
成比例
成比例且夹角相等
相似比
平方
相似比
3.(1)△ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最
小边长为15，则△DEF的周长为________；
求∠ACB 的大小.(4 分)
90
解：∵CD 是边 AB 上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A＝∠DCB.
∵∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
知识点 4 相似多边形的性质
相等
成比例
(1)相似多边形：各角分别对应相等，对应边成比例，那么这两个
多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作相似比.
(2)相似多边形的对应角________，对应边__________.
(3)相似多边形的周长之比等于__________，面积之比等于相似比
的________.
相似比
平方
4.(RJ 九下 P28)如图，矩形草坪长 30 m、宽 20 m，沿草坪四周有
1 m 宽的环形小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的
理由.(4 分)
解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似，由题意得，小路外边
缘矩形的长和宽分别为 32 m 和 22 m，
22
32
≠
20
30
，故小路内外边缘形成
的两个矩形不相似．
概念 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线______________，对
应边互相________，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫
作___________
性质 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或－k
知识点 5 图形的位似
相交于一点
平行
位似中心
5.(RJ 九下 P51)如图，矩形 AOBC 各点的坐标分
别为 A(0，3)，O(0，0)，B(4，0)，C(4，3).以原点 O
各顶点的坐标.(4 分)
为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小.写出新矩形
考点 1
相似三角形的判定和性质
1.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高.
(1)证明：△ABD∽△CBA；(4 分)
(2)若 AB＝6，BC＝10，求 BD 的长.(6 分)
(1)证明：∵AD 是斜边 BC 上的高，∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B 为公共角，∴△ABD∽△CBA.
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
(2024·广州)如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD
的边 BC，CD 上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.(4
分)
证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3＋6＝9.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.
如图，在正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，
ME⊥AM，ME 交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证：△ABM∽△MCF；
(2)若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠BAM＋∠AMB＝90°.
∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，
∴∠AMB＋∠FMC＝90°，
∴∠BAM＝∠FMC，
∴△ABM∽△MCF.
(2)解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.
∵BM＝2，∴MC＝BC－BM＝4－2＝2.
由(1)得△ABM∽△MCF，
∴CF＝1，∴DF＝CD－CF＝4－1＝3.
∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，
∴△DEF∽△CMF，
∴DE＝6，
考点 2
图形的位似
B
2.(2025·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′
位似，位似中心是原点 O.已知 BC∶B′C′＝1∶2，则 B(2，0)的对应点
B′的坐标是(
)
A.(3，0)
B.(4，0)
C.(6，0)
D.(8，0)
(2025·绥化)在平面直角坐标系中，把△ABC以原
点O为位似中心放大，得到△A′B′C′.若点A和它的对应点A′的坐标分
别为(3，7)，(－9，－21)，则△ABC与△A′B′C′的相似比为________.
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，2)，
B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A
)
的对应点 A′的坐标是(
A.(1，1)
C.(4，4)
B.(4，4)或(8，2)
D.(4，4)或(－4，－4)
D
考点 3
相似三角形的应用
B
3.(数学文化)(2025·内江)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能
撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力
臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图
甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动
石头.如图乙所示，动力臂 OA＝150 cm，阻力臂 OB＝50 cm，BD＝
20 cm，则 AC 的长度是(
)
甲
乙
A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
(2025·广州模拟)在数学活动课上，小南利用镜子、
尺子等工具测量学校教学楼高度(如图所示)，当他刚好在点 C 处的镜
子中看到教学楼的顶部 D 时，测得小南的眼睛与地面的距离 AB ＝
1.6 m，同时测得 BC＝2.4 m，CE＝9.6 m，则教学楼高度 DE＝______m.
6.4
(数学文化)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了
一个测量塔高的问题：如图所示，AB 表示塔的高度，CD 表示竹竿顶
端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF 在同一平
面内，点 A，C，E 在一条水平直线上.已知 AC＝20 米，CE＝10 米，
CD＝7 米，EF＝1.4 米，人从点 F 远眺塔顶 B，视线恰好经过竹竿的
顶端 D.根据以上信息，塔的高度为________米.
18.2
1. (2025·乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF
的长为(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
B
2.(2025·贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF
＝2，则 AC 的长为(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
C
3.如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为 OC
的中点，EF∥AB 交 BC 于点 F.若 AB＝4，则 EF 的长为(
)
1
A.
2
B.1
C.
4
3
D.2
B
5.(2025·海珠区校级二模)如图，已知△ABC和△A′B′C′是以点O为
位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.△ABC周长为5，若AA′＝
2OA，则△A′B′C′的周长为________.
4
15
6.(2025·花都区二模)九年级数学项目式学习小组通过学习知道太
阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一
些没办法直接测量的物体的高度.学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺
展开了测量物体高度的学习.
(1)如图 1，若垂直于地面的标杆 OP＝2 米，它的影长 OG＝1 米，
同一时刻，旗杆的影长 HN＝6 米，则旗杆 MN 的高度为________米；
(4 分)
12
(2)如图 2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆 AB 的高度，
但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长.同学们进行了如下操
作：①在某一时刻，垂直于地面的 2 米标杆 OC 的端点 C 的影子恰好
与电线杆 AB 的端点 A 的影子重合于点 E，测得 OE＝2.2 米；②把标
杆缩短为 1.2 米，记作 OD，过了一段时间，标杆 OD 的端点 D 的影子
恰好与电线杆 AB 的端点 A 的影子重合于点 F，测得 OF＝1.2 米.请求
出电线杆 AB 的高度.(6 分)
图 1
图 2
解：设 OB＝m 米，AB＝n 米，
由题意得，△OCE∽△BAE，△ODF∽△BAF，
解得 AB＝10，
故电线杆 AB 的高度为 10 米．(共62张PPT)
微专题六
构造辅助线
图形 条件 作法 适用范围 结论
OC 平分
∠MON，
PA ⊥OM 过点 P 作
PB⊥ON 于
点 B 有角的平分线，且
角平分线上一点向
角的一边作了垂线 (1)PA ＝PB；
(2)Rt△AOP≌
Rt△BOP
类型一
与角平分线有关的辅助线作法
作法 1
向两边作垂线
【例1】(2025·增城区二模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是
∠BAC的平分线，若CD＝2，AD＝BD，则△ABD的面积为________.
解析：如图，过点 D 作 DE⊥AB，交 AB 于点 E.
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAD，DE＝DC＝2.
∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA.
∵∠C＝90°，∴∠DBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△DAE中，DE＝2，AD＝BD＝4，
1.(2025·天河区期末)如图，BD 为∠ABC 的平分线，DE⊥BC 于点
E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是( )
A.5
B.7
C.7.5
D.10
A
2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD平分∠ABC 交 AC 于点 D，
点E为AB的中点，若AB＝6，CD＝2，则△DBE的面积为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.如图，已知△ABC 的周长是 21，OB，OC 分别平分∠ABC 和
∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是________.
A
42
4.如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M 为 BC 的中
点，AM 平分∠DAB.
(1)DM 是否平分∠ADC？请证明你的结论；(4 分)
(2)线段 AM 与 DM 有怎样的位置关系？请说明理由.(6 分)
解：(1)DM 平分∠ADC.证明如下：
如图，过点 M 作 ME⊥AD 于点 E.
∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝90°，∴∠C＝90°.
∵M 是 BC 的中点，∴MB＝MC.
∵AM 平分∠DAB，ME⊥AD，MB⊥AB，
∴MB＝ME，∴ME＝MC.
∵ME⊥DA，MC⊥CD，∴DM 平分∠ADC.
(2)AM⊥DM.理由如下：
∵AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵AM 平分∠DAB，DM 平分∠ADC，
∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM.
图形 条件 作法 适用范围 结论
P 是△AON 中
∠AON 的平分
线上一点 截长法：在 ON
上截取 OB＝
OA，连接 PB 有角平分
线，设问角
度为证线
段关系或
求线段长 △OPB≌△OPA
P 是△AON 中
∠AON 的平分
线上一点 补短法：延长
OA 至点 M，
使 OM＝ON，
连接 PM △OPN≌△OPM
作法 2
截长补短法构造全等三角形
【例2】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝2∠B，
AC＝5，CD＝3，则 AB 的长为(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：如图，在 AB 上截取 AE＝AC.
∵AD 平分∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC，
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴DE＝CD＝3，∠AED＝∠C＝2∠B.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE＝3，∴AB＝AE＋BE＝8.
故选 C.
5.如图，△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD 平分∠ABC 交
AC 于点 D，求证：AB＝AD＋BC.(4 分)
证明：如图，在线段 BA 上截取 BE＝BC，连接 DE.
又∵AB＝AC，∠ACB＝108°，∠CAB＝∠ABC＝ ×(180°－
∴△CBD≌△EBD(SAS)，
∴∠BED＝∠ACB＝108°，∠CDB＝∠EDB.
108°) ＝36°，∴∠CBD＝∠EBD＝18°，
∴∠CDB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，
∴∠ADE＝180°－∠CDB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，
∴∠DEA＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°.
∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC.
6.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE 是∠ABC 的平
分线，CD⊥BE 交 BE 的延长线于点 D.
(1)求证：BE＝2CD；(4 分)
的面积.(6 分)
(1)证明：如图，延长 BA，CD 相交于点 Q.
∵∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°，
∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋∠Q＝90°，
∴∠ACQ＝∠ABE.
∴△ABE≌△ACQ(ASA)，∴BE＝CQ.
∵BD 平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD.
∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°，
∴△QDB≌△CDB(ASA)，∴CD＝DQ，
∴BE＝CQ＝2CD.
∴S△ABD＝S△BDQ－S△ADQ＝4.
图形 条件 作法 适用范围 结论
P 是∠MON
的平分线上一
点，AP⊥OP 延长 AP
交 ON
于点 B 有角平分线，且
有垂直于角平分
线的线段，设问
角度为求线段长
度或图形面积 ①△AOB 是
等腰三角形；
②AP＝BP；
③Rt△AOP≌
Rt△BOP
作法 3
角平分线＋垂线，构造等腰三角形
【例 3】如图，在△ABC 中，过点 B 作∠BAC 的平分线的垂线，
垂足为 D，E 为 BC 的中点，连接 DE，已知 DE＝3，AB＝5，则 AC
的值为(
)
A.10
B.11
C.12
D.13
解析：如图，延长 BD，交 AC 于点 F.
∵AD 平分∠BAC，AD⊥BF，
∴∠BAD＝∠FAD ，∠ADB＝∠ADF＝90°.
∴△ADB≌△ADF(ASA)，∴DB＝DF，AF＝AB＝5.
∵E为BC的中点，∴DE为△BCF的中位线，
∴CF＝2DE＝6，∴AC＝AF＋CF＝5＋6＝11.
故选 B.
A
7.如图，△ABC 的面积为 8，AP 与∠ABC 的平分线 BP 垂直，垂
足为P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A.4
B.3.5
C.3
D.4.5
8.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，AE 平分∠BAC，
BE⊥AE于 E，已知 AB＝8，AC＝12，则 DE 的长为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
D
延长线于点M.求证：AM＝ (AB＋AC).(4分)
9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD 交 AD
证明：如图，延长 AM 至点 N，使 DM＝MN，连接 CN.
∴AM＝ (AB＋AC).
∵CM⊥AD，DM＝MN，∴CN＝CD，
∴∠CDN＝∠DNC，∴∠DNC＝∠ADB.
∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∴∠B＝∠ANC.
∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠ACN，
∴∠ANC＝∠ACN，
∴AN＝AC，∴AB＋AC＝AD＋AN＝AD＋AM＋MN＝AD＋AM＋
DM＝2AM，
图形 条件 作法 适用范围 结论
P 是∠MON
的平分线上
一点 过点 P 作
PQ∥ON，交
OM 于点 Q 题目条件中有角
平分线，且问题
为计算线段长度
或圆中证明切线
时适用 ∠QOP＝
∠PON＝
∠QPO；
△POQ 是等
腰三角形
作法 4
角平分线＋平行线，构造等腰三角形
【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，∠BAC＝105°，CD为
△ABC 的角平分线，AE⊥CD 于点 E.求证：AB＝2CE.
证明：如图，作 AG∥BC 交 CD 的延长线于点 G.
∵∠ACB＝50°，∠BAC＝105°，
∴∠B＝180°－50°－105°＝25°.
∵∠ACB＝50°，CD为△ABC的角平分线，
∴CE＝GE＝ CG，
∵AG∥BC，
∴∠G＝∠BCD＝25°，∠GAD＝∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，∠GAD＝∠G＝25°，∠ACG＝∠G＝25°，
∴CD＝BD，AD＝GD，AG＝AC，
∴AB＝CG.
∵AE⊥CD，
∴AB＝2CE.
10.如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，BD 与 AC 交于
点 D，DE⊥BD，DE 与 BC 交于点 E，BE＝8，那么 DC 为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
B
的值.(6 分)
11.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别为 BC，AB 上一点，连接 AD，
CE 交于点 F，若∠ACE＝∠BCE＝∠B，且 AD⊥CE.
(1)当 AB＝2 时，求 CF 的长；(4 分)
(2)当 EF＝3x，CF＝8x 时，求
BD
CD
解：(1)如图，作 AH∥BC 交 CE 的延长线于点 H，则∠H＝∠BCE，
∠EAH＝∠B.
由条件可知∠ACE＝∠BCE＝∠B＝∠H＝∠EAH，
∴AH＝AC，AE＝HE.
∵∠BCE＝∠B，∴BE＝CE.
∵CH＝CE＋HE，AB＝BE＋AE，∴CH＝AB＝2.
∴△AHF≌△DCF(ASA)，∴AH＝DC.
∵EF＝3x，CF＝8x，
∴AE＝HE＝HF－EF＝8x－3x＝5x，
BE＝CE＝CF＋EF＝8x＋3x＝11x.
∵AH∥BC，∴△AHE∽△BCE，
图形 条件 作法 结论
点 D 是 AB 的
中点 取 AC 的中点 E，
连接 DE ①DE∥BC；
②DE＝ BC
类型二
与中点有关的辅助线作法
作法 1
构造三角形的中位线
【例 1】(2025·天河区校级二模)如图，P 是线段 AB 上一动点，
CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，点 M，N 分别是 PC，
)
PD 的中点，随着点 P 的运动，下列说法正确的是(
A.MN 的长随着点 P 的位置变化而变化
解析：如图所示，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，连接 CD.
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝∠AED＝90°，
∴四边形 ABDE 是矩形，
∴DE＝AB＝4，AE＝BD＝2，
∴CE＝AC－AE＝3－2＝1，
∵点M，N分别是PC，PD的中点，∴MN是△PCD的中位线，
1.如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 中点，若 EF
＝2，BC＝5，CD＝3，则 tan C 等于(
)
4
A.
3
3
B.
4
C.
3
5
4
D.
5
A
2.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 上的中线，BE⊥AC 交 AD 于点 F，
3.(1)如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E，F 分别是 BC，AD
的中点，连接 EF 并延长，分别与 BA，CD 的延长线交于点 M，N，求
证：∠BME＝∠CNE；(4 分)
(2)如图 2，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB＝CD，
E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 EF，分别交 DC，AB 于点 M，N，
判断△OMN 的形状.(6 分)
图 1
图 2
(1)证明：如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE，HF.
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴HF，HE 分别是△BCD，△ABD 的中位线，
∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE.
∵HF∥CN，HE∥BM，
∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE，
∴∠BME＝∠CNE.
(2)解：△OMN 是等腰三角形．证明如下：
如图，取 BD 的中点 H，连接 HE，HF.
与(1)同理，可得∠HFE＝∠HEF.
∵HF∥AB，HE∥CD，
∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN，
∴∠ONM＝∠OMN，∴OM＝ON，
∴△OMN 是等腰三角形．
图形 条件 作法 结论
AB＝AC，点 D 是
BC 的中点 连接 AD ①AD 平分∠BAC；
②AD 垂直平分 BC
作法 2
构造等腰三角形“三线合一”
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中
点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 的长度为(
)
解析：如图，连接 AM.
∵AB＝AC，点 M 为 BC 中点，
∴AM⊥CM(三线合一)，BM＝CM.
∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3.
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得
4.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC 于
点 F，DF＝4，则 AB 的长为(
)
C
5.如图所示，在△ABC 中，AC＝CB，∠ACB＝90°.延长 AB 到
点 D，使得 CD＝AB，则∠BCD＝________°.
15
6.如图，在等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的
一点，且 CE＝CD.
(1)求∠E 的度数；(3 分)
(2)若 DM⊥BC 于点 M，求证：M 是 BE 的中点；(3 分)
(3)若 MC＝1，求 BE 的长.(6 分)
又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝ ∠ACB＝30°.
(1)解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°.
∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，
(2)证明：如图，连接 BD.
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵AB＝AC＝BC，D 是 AC 的中点，
∴∠DBC＝∠E，∴DB＝DE.
又∵DM⊥BE，∴M 是 BE 的中点．
(3)解：∵DM⊥BE，∠ACB＝60°，∴∠MDC＝30°，
∴DC＝2MC＝2，∴CE＝CD＝2，
∴BE＝2ME＝2×(1＋2)＝6.
图形 条件 作法 结论
点 D 是 BC 的中
点，ED⊥BC 连接 BE ①EB＝EC；
②ED 平分∠BEC
作法 3
构造垂直平分线
解析：如图，连接 AD，AE.
∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，
∵DE＝2，
∴△ADE 是直角三角形，
∴∠ADE＝90°，
7.(2025·花都区模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平
A.1
B.2
C.3
D.
( )
B
8.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠B＝39°，
则∠AOC＝________°.
78
9.如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E，交 AB 于
点 F，H 为 EC 中点，BE＝AC.
(1)求证：AH⊥BC；(4 分)
(2)若∠B＝36°，求∠BAC 的度数.(6 分)
(1)证明：如图，连接 AE.
∵AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E，∴AE＝BE.
∵BE＝AC，∴AE＝AC.
∵H 为 EC 的中点，∴AH⊥BC.
(2)解：∵AE＝BE，∠B＝36°，
∴∠EAB＝∠B＝36°，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝72°.
∵AE＝AC，∴∠C＝∠AEC＝72°，
∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝72°.
图形 条件 作法 结论
在 Rt△ABC 中，点 D
是斜边 AB 的中点 连接 CD
①CD＝ AB；
②△ADC，△CDB
都是等腰三角形
作法 4
构造直角三角形斜边上的中线
在BC上，延长BC至点E，使CE＝ BD，F是AD的中点，连接EF，
【例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D
则 EF 的长是________.
解析：如图，取 BD 中点 G，使 DG＝GB，连接 FG，FC.
∵点 F 为 AD 中点，
∴在Rt△ACD中，CF＝DF＝AF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠ECF＝∠FDG.
∴△FDG≌△FCE(SAS)，
∴EF＝FG.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，
在△ADB中，FG为中位线，
10.如图，在△ABC 中，AC＝8，点 D 在 BC 上，且 AB＝AD，点 E
和点 F 分别是 AC 和 BD 的中点，则 EF 的长是(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
B
11.如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，对角
DE 的长为________.
10
12.如图，BN，CM 分别是△ABC 的两条高，点 D，E 分别是 BC，
MN 的中点.
(1)求证：DE⊥MN；(4 分)
(2)若 BC＝26，MN＝10，求 DE 的长.(6 分)
(1)证明：如图，连接 DM，DN.
∵BN，CM 分别是△ABC 的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°.
∴DM＝DN.∵E 为 MN 的中点，∴DE⊥MN.(共15张PPT)
微专题三
双角平分线模型
类型一
两内角平分线相交
模型概述：
三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角
(钝角)的度数等于 90°加上第三个角度数的一半.如图，在
△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O ，则
∠BOC＝90°＋ ∠A.
1.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内角平分线的交点，∠BOC
＝110°，则∠A 的度数是(
)
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
C
2.如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE 为△ABC 的角平分线，
点 F 为 BD，CE 的交点，DG 为△DFC 的高，则∠FDG＝________°.
30
3.在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，点 P 为 BC 上任意一
点，可以与点 C 重合但不与点 B 重合，AD 平分∠BAP，BD 平分∠ABP.
(1)当点 P 与点 C 重合时，求∠ADB 的度数；(4 分)
(2)当 AP⊥BC 时，直接写出∠ADB 的度数.(4 分)
解：(1)∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－90°－60°＝30°.
∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝15°.
当点 P 与点 C 重合时，∠BAP＝∠BAC＝90°.
∵AD 平分∠BAP，∴∠BAD＝45°，
∴∠ADB＝180°－15°－45°＝120°.
(2)当 AP⊥BC 时，∠APB＝90°，
∴∠BAP＝180°－90°－30°＝60°.
∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝15°.
∵AD 平分∠BAP，∴∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°－15°－30°＝135°.
类型二
一内角平分线与一外角平分线相交
模型概述：
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一
点，所形成的夹角(锐角)的度数等于第三个角度数的一半.
如图，在△ABC 中，BD，CD 分别平分∠ABC，∠ACE，
则∠BDC＝ ∠A.
4.如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别为 x 轴、y 轴正半轴
上两动点，∠BAO 的平分线与∠OBA 相邻的外角的平分线所在直线交
于点 C，则∠C 的度数随点 A，B 运动的变化情况正确的是(
)
A.点 B 不动，在点 A 向右运动的过程中，∠C 的度数逐渐减小
B.点 A 不动，在点 B 向上运动的过程中，∠C 的度数逐渐减小
C.在点 A 向左运动、点 B 向下运动的过程中，∠C 的度数逐渐增
大
D.在点 A，B 运动的过程中，∠C 的度数不变
答案：D
5.如图，直线 EF∥MN，点 A，B 分别是 EF，MN 上的动点，点 G
在 MN 上，∠ACB＝m°，∠AGB 和∠CBN 的角平分线交于点 D，若
∠D＝50°，则 m 的值为________.
80
类型三
两外角平分线相交
模型概述：
三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角(锐角)
度数等于 90°减去第三个角度数的一半 如图，在.ABC 中，
BD，CD 分别是△ABC 外角∠EBC，∠FCB 的平分线，则
∠BDC＝90°－ ∠A.
A
)
7.三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形(
A.一定是锐角三角形
B.一定是钝角三角形
C.一定是直角三角形
D.无法确定
8.如图，在△ABC 中，BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，且∠BIC
＝140°，BM，CM 分别平分∠ABC，∠ACB 的外角，则∠BMC 的度数
是(
)
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
D
9.如图，在△ABC中，∠A＝52°，BD，CD分别平分∠ABC，
∠ACB，点M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分
∠MBC， ∠BCN，BF，CF 分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F＝_____°.
16(共21张PPT)
微专题五
相似三角形模型
模型一
A 字模型
模型概述：
两个三角形有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等.若题中
未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.
1.如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为 OC
的中点，EF∥AB 交 BC 于点 F.若 AB＝4，则 EF 的长为(
)
1
A.
2
B.1
4
C.
3
D.2
B
2.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上.添加一个条
件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是________________________.
(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
︵
3.(2024·无锡)如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O，CD＝
︵
DB，AB，CD 的延长线相交于点 E，且 DE＝AD.
(1)求证：△CAD∽△CEA；(4 分)
(2)求∠ADC 的度数.(6 分)
︵ ︵
(1)证明：∵CD＝DB，∴∠CAD＝∠DAB.
∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E.
又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEA.
(2)解：如图，连接 BD.
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠CAE＝2α.
由(1)知△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α.
∵四边形 ABDC 是圆的内接四边形，
∴∠CAB＋∠CDB＝180°，
即 2α＋2α＋90°＝180°，
解得α＝22.5°.
∴∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°.
模型二
8 字模型
模型概述：
两个三角形有一组隐含的等角(如对顶角)，此时需要从已知条件、
图中的隐含条件或通过证明得出另一组角相等.若题中未明确相似三
角形的对应顶点，则需要分类讨论.
如图，在△ABC 与△ADE 中，∠1＝∠2，有一组对顶角(∠EAD
＝∠CAB)，则△ABC∽△ADE.
12
4.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的
面积比是 1∶4.若 AB＝6，则 CD 的长为________.
5.如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠BAD＝120°，过点 D 作
DE⊥BC，交 BC 的延长线于点 E，连接 AE 分别交 BD，CD 于点 F，G，
则 FG的长为________.
6.(2023·眉山)如图，在 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，连接 CE
并延长交 BA 的延长线于点 F.
(1)求证：AF＝AB；(4 分)
(2)点 G 是线段 AF 上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG 交 AD 于点
H，若 AG＝2，FG＝6，求 GH 的长.(6 分)
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F.
∵点 E 是 AD 的中点，∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE(AAS)，
∴CE＝EF.
∴AF＝AB.
(2)解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG＋AG＝6＋2＝8，∴AB＝AF＝8.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴CD＝AB＝8.
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6.
∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，
∴GH＝1.2.
模型三
型( 似)
一线三等角模型(相似)
模型概述：
三个等角顶点在同一直线上，要证明三角形相似，可根据三角形
内角和及补角的性质得另一组等角.
如下图，在△APC 和△BDP 中，∠1＝∠2＝∠3.其中点 A，P，B
三点在同一条直线上，则△APC∽△BDP.
锐角一线三等角
一线三垂直
钝角一线三等角
图 1 点 P 在线段 AB 上，∠1＝∠2＝∠3(同侧型)
锐角一线三等角
一线三垂直
钝角一线三等角
图 2
点 P 在线段 AB 的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
(异侧型)
∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
Rt△ADC∽Rt△CEB
∠BDO＝∠ACO＝∠BOA＝90°，
Rt△BDO∽Rt△OCA
∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°，
Rt△FBE∽Rt△ECG
∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°，
Rt△FBE∽Rt△ECG
7.如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点 B 是线段AD上的一点，且CB⊥BE.
已知 AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；(4 分)
(2)求线段 BD 的长.(6 分)
(1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.
(2)解：由(1)知△ABC∽△DEB，
∴BD＝3.
8.如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是边 BC 上一动点(点 P 不与
端点重合)，作∠DPE＝60°，PE 交边 AC 于点 E，PD 交边 AB 于点 D.
(1)求证：△BPD∽△CEP；(4 分)
(2)若 AB＝10，BD＝3，CP∶BP＝1∶4，求 CE 的长.(6 分)
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝120°－∠BPD.
∵∠DPE＝60°，
∴∠CPE＝180°－∠DPE－∠BPD＝120°－∠BPD，
∴∠BPD＝∠CEP，
∴△BPD∽△CEP.
(2)解：∵AB＝10，BD＝3，CP∶BP＝1∶4，
∴BC＝AB＝10，
