(共31张PPT)
第一部分
第一章
第1讲
基础复习讲义
数与式
实数
知识点 1 实数的分类
(1)按定义分类：
零
(2)按正、负分类：
负整数
负分数
1.(RJ 七下 P57)把下列各数分别填在相应的集合中：(4 分)
22
7
，3.141 592 65，－8，
知识点 2 数轴
原点
正方向
单位长度
(1)如图，规定了________、________和__________的直线叫作数轴.
如图.
(2)实数与数轴上的点是________对应的.
一一
2.(RJ 七下 P61)已知|x|<2π，x 是整数，求 x 的值，并在数轴上表
示求得的数.(4 分)
解：∵|x|＜2π，∴－2π＜x＜2π，则 x＝－6，－5，－4，－3，－2，
－1，0，1，2，3，4，5，6.
将 x 的值表示在数轴上如下：
相反数 只有_________的两个数叫作
互为相反数 0 的相反数是 0，数 a 的相反数
是－a；a 与 b 互为相反数，则
__________
绝对值 数轴上表示数 a 的点到______
的距离叫作 a 的绝对值 正数的绝对值等于它本身，负
数的绝对值等于它的_______，
0 的绝对值是 0
倒数 乘积为________的两个数互为
倒数
实数 a 的倒数为 ，其中 a≠0，
若 ab＝1 a 与 b 互为________
知识点 3 实数的有关概念与性质
符号不同
a＋b＝0
原点
相反数
1
倒数
3.(RJ 七下 P56 改编)求下列各数的相反数与绝对值：－2.5，
解：－2.5 的相反数是 2.5，绝对值是 2.5；
0 的相反数是 0，绝对值是 0.
知识点 4 科学记数法与近似数
(1)科学记数法：把一个数表示成________的形式(其中 1≤|a|<10，
n 为整数).
a×10n
①若原数的绝对值≥1，则 n 等于原数的整数部分位数减 1，即小
数点向左移动的位数，例如：12 600 000＝1.26×107.
②若 0<原数的绝对值<1，则 n 等于原数左边第一个非 0 的数字前
的所有零的个数的相反数，即小数点向右移动位数的相反数，例如：
0.000 010 1＝1.01×10-5.
(2)近似数：近似数与准确数的接近程度用精确度表示，例如：
0.001 824(精确到千分位)≈0.002；0.015 8(精确到 0.001)≈0.016.
－3.8×107
8 050 000
0.003 6
4.(RJ 七上 P47 组编)－38 000 000 用科学记数法表示为__________；
8.05×106 的原数为__________________；
0.003 56(精确到万分位)≈____________.
分类 平方根 算术平方根 立方根
概念
如果x2＝a，那么x叫
作 a 的________
如果x2＝a，那么
这个正数 x 叫作 a
的____________
如果x3＝a，那么x
叫作 a 的_______
符号表示
性质 ①一个正数有_______
个平方根，且它们互为
_________；②0 的平
方根是_____；③负数
没有平方根 ①正数只有一个
算术平方根；
② ＝0；③负数
没有算术平方根 ①正数的立方根
为正数；②负数的
立方根为负数；
③0 的立方根为 0
知识点 5 平方根、算术平方根和立方根
平方根
算术平方根
立方根
两
相反数
0
5.(RJ 七下 P61)
知识点 内容
加法 (1)同号两数相加取相同的符号，并把________相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加取绝对值________的加数
的符号，并用大的绝对值________小的绝对值
减法 减去一个数，等于加上这个数的________
乘除法 (1)同号得_________，异号得________，并把绝对值相乘除.
(2)除以一个数等于乘这个数的________
知识点 6 实数的运算
绝对值
大
减去
相反数
正
负
倒数
知识点 内容
乘方 (1)求几个相同因数的积的运算叫作乘方.
(2)正数的任何次幂都是________.
(3)负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正
数.
(4)任何数的偶次幂都为______________
混合运算 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如有括号，先
做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
(2)同级运算，应从左到右进行运算
正数
奇
偶
非负数
6.计算：
解：(1)原式＝3＋1－3＋6＝4－3＋6＝1＋6＝7.
方法 内容
法则法 正数大于零，零大于负数；两个负数，绝对值大的________
数轴法 在数轴上，右边的数________左边的数
平方法
对任意正实数a，b，有a2＞b2，则a________b；a2＝b2，则
a________b；a2＜b2，则a________b
倒数法
作差法 设 a，b 是两个实数，作差后与 0 比较大小：①a－b>0
a_________b；②a－b<0 a_________b；③a－b＝0 a
_________b
知识点 7 实数的大小比较
反而小
大于
＞
＝
＜
＜
＞
＜
＝
方法 内容
作商法 设 a，b 是两个实数，作商后与 1 比较大小：
a________b
① >1 a_________b；② <1 a_________b；③ ＝1
＞
＜
＝
7.(RJ 七下 P57)比较下列各组数的大小：(4 分)
(1)π，3.146；
考点 1
实数的有关概念
A
1.(2025·海珠区校级二模)下列各数中，与 2 025 互为相反数的是
(
)
A.－2 025
B.－
1
2 025
1
C.
2 025
D.2 025
(2023·广州)－(－2 023)＝(
)
A.－2 023
B.2 023
C.－
1
2 023
D.
1
2 023
2.(概念应用)若 a，b 互为相反数，c 的倒数是 4，则 3a＋3b－4c
的值为(
)
A.－8
B.－5
C.－1
D.16
B
C
(分类讨论)已知实数 a，b，c，d，e，且 a，b 互
值.(4 分)
考点 2
实数与数轴
D
D
3.(2025·北京)实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列
结论中正确的是(
)
A.a＞－1
B.a＋b＝0
C.a－b＞0
D.|a|＞|b|
4.(几何直观)(2025·南充)如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A
沿数轴向右滚动一周，圆上点 A 到达点 A′的位置，点 A′对应的数是 2，
则滚动前点 A 对应的数是(
)
A.2－2π
B.π－2
C.5－2π
D.2－π
(数形结合)如图，数轴上点 A，点 B 分别表示 1
和 3，CB⊥AB，且 CB＝1，以点 A 为圆心，以 AC 为半径作弧，弧与
数轴的交点为 D，则点 D 表示的数是_________.
考点 3
实数的大小比较
A
5.(2024·广州)四个数－10，－1，0，10 中，最小的数是(
)
A.－10
B.－1
C.0
D.10
6.(2024·深圳)如图，实数 a，b，c，d 在数轴上表示如下，则最小
的实数为(
)
A.a
B.b
C.c
D.d
A
＞
考点 4
科学记数法
8.(2025· 广 东 ) 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案
(2024－2026 年)》，预计 2026 年广东省低空经济规模将超过 3 000 亿元.
数据 3 000 亿用科学记数法表示为(
)
9.(跨学科·化学)(2025·广州二模)空气质量指数(AQI)以六大污染物
(PM2.5、PM10、臭氧、一氧化碳、二氧化硫、二氧化氮)浓度作为分指
标.我们经常说的PM2.5就是指环境空气中空气动力学当量直径小于等
于 0.000 002 5 m 的颗粒物，也称细颗粒物.数据 0.000 002 5 用科学记
数法表示为____________.
D
2.5×10-6
A.3×109 B.3×1010 C.30×1010 D.3×1011
考点 5
实数的运算
10.(跨学科·物理)(2024·广州)如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起
来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝
20.3 Ω，R2＝31.9 Ω，R3＝47.8 Ω，I＝2.2 A时，U为________V.
11.(2025·深圳)计算： ＋|－3|＋(π－3.14)0＋(－1)2 025.(4分)
解：原式＝4＋3＋1－1＝8－1＝7.
220
1.( 应用意识 )(2025· 广 东 ) 某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g
±0.02 g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量 0.02 g 记作＋0.02 g，
那么低于标准质量 0.02 g 记作(
)
A.－0.02 g
B.＋0.02 g
C.－0.04 g
D.＋0.04 g
2.(2025·花都区二模)完全相同的 4 个正方形面积之和是 100，则正
方形的边长是(
)
A.2
B.5
C.10
D.20
A
B
3.(2025·广州校级二模)已知数轴上的点 A，B 分别表示数 a，b，其
中－1＜a＜0，0＜b＜1.若 a×b＝c，数 c 在数轴上用点 C 表示，则点
)
A，B，C 在数轴上的位置可能是(
A.
C.
B.
D.
B
的值；(3 分)
6.(几何直观)如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点 A，B，C
所对应的数依次为－4，2，32，乙数轴上的三点 D，E，F 所对应的数
依次为 0，x，12.
(1)计算 A，B，C 三点所对应的数的和，并求
AB
AC
(2)当点 A 与点 D 上下对齐时，点 B，C 恰好分别与点 E，F 上下
对齐，求 x 的值.(3 分)
(2)由数轴得，DE＝x－0＝x，DF＝12－0＝12，
解：(1)∵点A，B，C所对应的数依次为－4，2，32，
∴A，B，C三点所对应的数的和为－4＋2＋32＝30.
∵AB＝2－(－4)＝6，AC＝32－(－4)＝36，(共21张PPT)
第2讲
代数式、整式与因式分解
知识点 1 代数式
(1)代数式：用______________把数或表示数的字母连接起来的式
子.特别地，单独一个数或一个字母也是代数式.
(2)列代数式
基本运算符号
把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式
子表示出来，就是列代数式.
(3)代数式求值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系，计算
得出答案.
1.(RJ 七上 P60)一块三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的
半径是 r，三角尺的厚度是 h，用式子表示这块三角尺的体积 V.若 a＝
6 cm，r＝0.5 cm，h＝0.2 cm，求 V 的值(π取 3).(4 分)
名称 单项式 多项式
概念 只含有数或字母________的代数式(单
独一个数或字母也是单项式) 几个单项式的________
系数 单项式中的________因数 —
次数 单项式中，所有字母指数的________ 多项式中，次数最高项
的次数
项 — 多项式中的每个单项式
知识点 2 整式的相关概念
(1)整式
积
和
数字
和
(2)同类项
所含________相同，并且相同字母的________也相同的项.(所有常
数项都是同类项)
(3)合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，其法则是：合并同类项时，把
同类项的________相加，字母和字母的________不变.
字母
指数
系数
指数
整式 －15ab
4a2b2
4x2－3
a4－2a2b2＋b4
系数 — —
次数
项数
2.(RJ 七上 P59)填表：
－15
4
2
4
3
2
4
1
1
1
2
3
知识点 3 整数指数幂的性质(m，n 是整数，p 是正整数)
3.(RJ 八上 P104 习题 14.1T1 改编)下列运算一定正确的是(
)
(1)am·an＝________； (2)(am)n＝________；
(3)(ab)n＝________； (4)am÷an＝________(a≠0)；
(5)a0＝________(a≠0) ； (6)a－p＝________(a≠0).
am＋n
amn
anbn
am－n
1
D
A.a2·a3＝a6 B.(a3)4＝a7
C.(－3a2)3＝－9a6 D.a8÷a6＝a2
运算 内容
加减 去括号 ①若括号外是正因数，则括号里的各项都
__________；
②若括号外是负因数，则括号里的各项都
________
合并同类项 只把系数相加，所含字母及字母的指数不变
乘法 单项式乘单项式 系数相乘，______________相乘
单项式乘多项式 m(a＋b)＝________
多项式乘多项式 (a＋b)(m＋n)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝am＋an
＋bm＋bn
知识点 4 整式的运算
不变号
变号
同底数幂
ma＋mb
运算 内容
乘法
公式 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝________
完全平方公式
(a±b)2＝_____________
除法 单项式除以单项式 ________相除，同底数幂相除
多项式除以单项式 (a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m
a2－b2
a2±2ab＋b2
系数
解：原式＝x3－x2－x3－x2+x＝－2x2+x，
4.(RJ八上P105)求值：x2(x－1)－x(x2＋x－1)，其中x＝ .(6分)
方法 内容
提公因式法 ma＋mb＋mc＝_______________
公式法 平方差公式
a2－b2＝______________
完全平方公式
a2±2ab＋b2＝__________
十字相乘法(知识拓展)
x2＋(p＋q)x＋pq＝_______________
步骤 一提：提公因式；二套：套公式；三查：检
查分解是否彻底
知识点 5 因式分解
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
(x＋p)(x＋q)
5.(RJ 八上 P125)分解因式：
(1)x3－9x；(3分) (2)16x4－1；(3分)
(3)6xy2－9x2y－y3；(3分) (4)(2a－b)2＋8ab.(3分)
解：(1)x3－9x＝x(x2－9)＝x(x＋3)(x－3)；
(2)16x4－1＝(4x2)2－1＝(4x2＋1)(2x＋1)(2x－1)；
(3)6xy2－9x2y－y3＝－y(－6xy＋9x2＋y2)＝－y(3x－y)2；
(4)(2a－b)2＋8ab＝4a2－4ab＋b2＋8ab＝4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2.
考点 1
代数式求值
1.(2024·广州)若a2－2a－5＝0，则2a2－4a＋1＝________.
(直接代入求值)(2025·海南)当 x＝2 时，代数式 2x
)
－3 的值为(
A.1
C.－1
B.7
D.－5
11
A
(利用乘法公式求值)已知2a2－a－3＝0，则(2a＋
3)(2a－3)＋(2a－1)2 的值是(
)
A.6
B.－5
C.－3
D.4
(利用因式分解求值)(2025·广州模拟)已知 W＝ma
＋mb＋mc，当 a＝19.7，b＝32.5，c＝35.8，m＝2.5 时，W＝_______.
D
220
考点 2
整式的化简、求值
2.(2025·湖南)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中 x＝6.(6
分)
解：原式＝x2－4＋x－x2＝x－4，
当 x＝6 时，原式＝6－4＝2.
(整体代入求值)(2025·海珠区校级二模 )已知 2x2
＋2x－1＝x，求代数式(3x＋2)(3x－2)－(x－2)2 的值.(6 分)
解：∵2x2＋2x－1＝x，∴2x2＋x＝1，(3x＋2)(3x－2)－(x－2)2＝9x2
－4－x2＋4x－4＝8x2＋4x－8＝4(2x2＋x)－8＝4×1－8＝4－8＝－4.
考点 3
规律探索
2nxn
C
3.(数字变化规律) (2025·河南)观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这
些式子的变化规律，可得第 n 个式子为________.
(图形变化规律)(2025·天河区校级二模)把正方形
按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1 个正方形，第②
个图案中有 3 个正方形，第③个图案中有 5 个正方形，……，按此规
律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为(
)
A.19
B.17
C.15
D.13
1.(2025·长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的
一个机械手平均每分钟采摘 10 个苹果.若该机器人搭载 m 个机械手(m
＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(
)
A.6m
B.m＋10
C.60m
D.10m
2.(2023·广州)下列运算正确的是(
)
A.(a2)3＝a5 B.a8÷a2＝a4(a≠0)
C.a3·a5＝a8 D.(2a)-1＝ (a≠0)
D
C
3.(2025·重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有 4 个
圆点，第②个图中有 8 个圆点，第③个图中有 12 个圆点，第④个图中
有 16 个圆点，……，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(
)
A.32
B.28
C.24
D.20
C
4.分解因式：
5.(2025·黄 埔 区 二 模 )若a2－3a＋1＝0，则－2a2＋6a＋1的值是
________.
(1)(2025·自贡)m2－4m＝____________.
(2)(2025·兰州)2x2＋4x＋2＝______________.
(3)(2025·北京)7m2－28＝__________________.
m(m－4)
2(x＋1)2
7(m＋2)(m－2)
3
6.(2025·新疆)计算：a(1－a)＋(a＋1)(a－1).(4 分)
解：原式＝a－a2＋a2－1＝a－1.
7.(2025·海珠区校级二模)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－
3.
(1)化简多项式 A；(3 分)
(2)若(x＋1)2＝8，求 A 的值.(3 分)
解：(1)A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2＋x－2x－x2－
3＝3x＋3.(共15张PPT)
第4讲
二次根式
知识点 1 二次根式的有关概念
(1)二次根式：形如______________的式子叫作二次根式.
(2)二次根式有意义的条件：被开方数是____________.
(3)最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被
开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
非负数
1.(RJ 八下 P5 节选)当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
解：(1) 有意义，则 a＋2≥0，解得 a≥－2；
(2) 有意义，则 3－a≥0，解得 a≤3.
知识点 2 二次根式的性质
a
a
－a
2.(RJ 八下 P5 节选)计算：
0.2
125
10
运算法则 内容
加减运算 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
乘法运算 ＝________ (a≥0，b≥0)
除法运算
＝________ (a≥0，b＞0)
混合运算 运算顺序与实数混合运算的运算顺序相同，运算结果必
须为最简二次根式
知识点 3 二次根式的运算
拓展：
3.(RJ 八下 P11 节选)计算：
15
考点 1
二次根式有意义的条件
1.(2025·连云港)若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
(
)
A.x≤1
C.x≤－1
B.x≥1
D.x≥－1
D
(复合式)(2025·广州)要使代数式
有意义，
则 x 的取值范围是______________.
(2025·齐齐哈尔)若代数式
＋(x－2 025)0 有
意义，则实数 x 的取值范围是______________.
x＞3 且 x≠2 025
x≥－1 且 x≠3
考点 2
二次根式的运算
(运用乘法公式) 计算：
1)2.(4分)
考点 3
二次根式的应用
3.(几何直观)(2025·广州模拟)如图，从一个大正方形中截去面积为
15 cm2和27 cm2的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为
__________cm2.
第 3 题图
如图，在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为
)
27 和 12 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为(
变式 3－1 题图
A.
B.6
C.
D.4
B
1.(2025·福建)若 在实数范围内有意义，则实数 x 的值可以是
(
)
A.－2
B.－1
C.0
D.2
2.(2025·广州)下列运算正确的是(
A.a3·a5＝a15 B.(－2ab)3＝8a3b3
)
A.2
B.4
C.6
D.8
D
D
B
里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是____________________.
6.计算：(共17张PPT)
微专题一
规律探究
类型一
数式规律型
考法 1
数字类规律
A
例 1 (2025·云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，
…，第 n 个代数式是(
)
A.(2n－1)a
B.(2n＋1)a
C.(n＋1)a
D.2 025a
(1)观察数字序列：仔细观察给定的数字序列，尝试找出其中的模
式或规律.比如数字的增加或减少量、数字之间的倍数关系等.
(2)计算相邻数字的差或比：计算相邻数字之间的差或比，看是否
能发现规律.例如，相邻数字的差是否恒定；相邻数字的比是否恒定.
(3)尝试不同的规律：如果简单的差或比不能揭示规律，可以尝试
其他方法，如考虑数字的平方、立方，或者数字之间的组合等.
验证规律：一旦发现可能的规律，需要用更多的数字来验证这个
规律是否成立.如果规律在多个例子中都成立，那么它很可能是正确的.
1.(2025·白云区二模)观察图中数字的排列规律.按照此规律继续排
列，若数字 2 025 出现在第 m 列第 n 行的位置，则 m 和 n 的值分别是
(
)
A.1，45
B.45，1
C.44，2
D.2，44
B
B. 为偶数
2.在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的
一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列
有序数字.现有一列数：2，4，进行第 1 次构造，得到新的一列数：2，
6，4，第 2 次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，……，第 n 次
构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记an＝2＋x1＋x2＋x3
＋…＋xk＋4.某小组经过讨论得出如下结论，错误的是( )
A.a3＝84
C.an＋1＝3an－6
D.k＝2n－1
D
考法 2
数字循环类规律
D
例 2 (数学文化)1202 年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了
一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一
个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前 2 024 个数中，奇数
的个数为(
)
A.676
B.674
C.1 348
D.1 350
(1)找关系：计算每一个数字的值，根据结果找出循环周期 n.
(2)求余数：求第 M 个数字，则有 M÷n＝W……q.
①余数是 q，则与第 1 个循环周期内第 q 个数相同；
②若整除，则与 1 个循环周期内最后一个数相同.
3.一个小朋友按如图所示的规则(图中各手指的名称从上到下依次
为大拇指，食指，中指，无名指，小指)练习数数，数到 2 024 时对应
的手指是(
)
A.食指
B.中指
C.大拇指
D.小指
A
4.(数学文化)天干地支纪年法是我国的文化瑰宝.其中天干分别为
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、
卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.该书第一象为“甲子”，第二
象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到
甲，重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，
以此类推 2025 年是“乙巳”年，那么据此推算，2225 年用天干地支
纪年法对应的年份是(
)年.
A.乙巳
B.庚未
C.乙丑
D.丙戌
C
考法 3
等式类规律
例 3 观察下列等式：
第 1 个：1×2－2＝22×0；
第 2 个：4×3－3＝32×1；
第 3 个：9×4－4＝42×2；
第 4 个：16×5－5＝52×3；
……
按照以上规律，第 n 个等式为___________________________________.
n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
(1)观察和分析：在等式类规律问题中，可以通过观察数字与序号
之间的数量关系，或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.
(2)归纳和总结：在观察和分析的基础上，归纳总结出等式变化的
规律.这需要通过联想、类比等方法，将复杂的等式简化为基本的公式.
(3)验证和应用：一旦发现了等式变化的规律，就需要通过具体的
例子来验证这个规律的正确性.
5.观察下列等式：
……
按上述规律，计算：a1＋a2＋a3＋…＋an＝____________.
6.(2025·浙江)【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于 1261 年写
下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规
律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2
＋4ab3＋b4.
【应用体验】
已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为__________.
8
类型二
图形规律型——图形累加规律
D
例 4
(2025·番禺区校级月考)将图①中的正方形剪开得到图②，
图②中共有 4 个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中
共有 7 个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有 10
个正方形……，如此下去，则第 2 025 个图中共有正方形的个数为(
)
A.2 024
B.2 025
C.6 070
D.6 073
(1)标序号：记每组图形的序号为“1，2，3，…，n”.
(2)数个数：数出每组图形的个数.
(3)找关系：将后一个图形与前一个图形进行对比，区分不变的部
分与变化的部分，分析图形的变化规律，找出第 n 项(某项)的个数与序
号的关系.
①作差：一般适用于基础图形固定累加，通过作差观察累加个数，
然后按照定量变化推导出关系式；
②作商：一般适用于基础图形递变累加，通过作商来观察图形个
数；
③将图形个数与 n 进行对比，寻找是否存在与 n 有关的倍数、平
方、平方加 1、平方减 1 等关系.
(4)验证：代入序号验证所归纳的结论是否正确.
7.(跨学科·化学)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，
下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原
子，白球代表氢原子.第 1 种如图①有 4 个氢原子，第 2 种如图②有 6
个氢原子，第 3 种如图③有 8 个氢原子，……按照这一规律，第 10 种
化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(
)
A.20
B.22
C.24
D.26
B
8.(2025·绥化)观察下图，图①有2个三角形，记作a1＝2；图②有
3个三角形，记作a2＝3；图③有6个三角形，记作a3＝6；图④有11
个三角形，记作a4＝11；……按此方法继续下去，则an＝___________
(结果用含 n 的代数式表示).
n2－2n＋3(共22张PPT)
第3讲
分式
知识点 1 分式的概念
(1)分式：如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有________，那
字母
么式子 叫作分式.
B
A
B
B
(2)
1.(RJ 八上 P133)x 满足什么条件时，下列分式有意义？
(1)
1
x(x－1)
；(3 分)
.(3 分)
解：(1)根据题意得，x(x－1)≠0，
解得 x≠0 且 x≠1.
(2)对任意实数都有 x2＋1≠0，则 x 的取值范围是任意实数．
知识点 2 分式的基本性质
(1)基本性质：分式的分子和分母都乘(或除以)_______________的
整式，分式的值不变.
(2)变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任
何两个，分式的值不变.
同一个不等于零
2.(RJ 八上 P133)下列各组中的两个分式是否相等？为什么？
项目 步骤 注意
约分 ①把分子、分母分解因式；
②约去分子、分母的公因式 公因式：多项式因式分解后
各项都含有的相同因式
通分 ①找各分式的____________；
②用这个最简公分母分别去除每
个分式的分母；
③用所得的商去乘对应的分子、
分母 最简公分母：①系数取各分
母系数的______________；
②字母取各分母所有字母因
式的___________的积；③若
分母是多项式，则应先分解
因式，再判断最简公分母
知识点 3 分式的约分和通分
最简公分母
最小公倍数
最高次幂
3.(RJ 八上 P133 组编)约分和通分：
3b＋2c
，
解：(1)原式＝
a
；
(2)最简公分母为(2m＋3)(2m－3)，通分为
2mn
(2m＋3)(2m－3)
(2m－3)2
.
(2m＋3)(2m－3)
分类 公式
加减法则 同分母
＝_________
异分母
＝_________
乘法法则
＝_________
除法法则
＝_________
知识点 4 分式的运算
分类 公式
乘方法则
＝_________ (n 为正整数)
混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号的，先算
括号里面的，同级运算从左往右进行
4.(RJ 八上 P146 节选)计算：
考点 1
分式有无意义及其值为 0 的条件
1.已知分式
|x|－3
.
(x－3)(x＋2)
(1)当 x 取何值时，分式有意义？(2 分)
(2)当 x 取何值时，分式无意义？(2 分)
(3)当 x 为何值时，分式的值为 0？(2 分)
解：(1)要使分式有意义，则(x－3)(x＋2)≠0，即 x≠3 且 x≠－2.
(2)要使分式无意义，则(x－3)(x＋2)＝0，即 x＝3 或 x＝－2.
(2025·荔湾区校级二模)若分式
x＋2
x－2
的值为 0，则 x
等于(
)
A.0
B.2
C.－2
D.±2
(2025·山东)写出使分式
1
2x－3
有意义的 x 的一个
值：__________________.
C
2(答案不唯一)
考点 2
分式的化简、求值
1.(6 分)
(合理取值)(2025·青海)先化简
再从－2，0，1 中选一个合适的数代入求值.(6 分)
由题意得 a≠±2.
当 a＝0 时，原式＝0－2＝－2；
当 a＝1 时，原式＝1－2＝－1.
(整体思想)(2025·越秀区一模)先化简，再求值：
先化简，再求值：
当 x＝1，y＝2 时，原式＝－x＋y＝1；
当 x＝－1，y＝－2 时，原式＝－x＋y＝－1.
1.(2025·贵州)若分式
x－2
的值为 0，则实数 x 的值为(
x＋3
)
A.2
B.0
C.－2
D.－3
2.(2024·广州)若 a≠0，则下列运算正确的是(
)
A
B
3.(数形结合)
落在如图数轴上的范围是(
)
A.①
B.②
C.③
D.①或②
B
5.(跨学科·物理)(2025·花都区二模)在弹簧系统中，两个弹簧的劲
k1＋k2＝25，且k1k2＝100，则总劲度系数k＝________.
4
6. (2023·广州)已知a＞3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2＋6a，C＝
a3－4a2＋4a.
(1)因式分解 A；(3 分)
(2)在 A，B，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一
个分式，并化简该分式.(3 分)
解： (1)A=2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2)；
(2)选 A，B 两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，
