(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
微专题1 乘法公式的综合运用
数式规律问题
1． 观察下列式子：2×4＋1＝9；4×6＋1＝25；6×8＋1＝49；……
(1)请你根据上面式子的规律直接写出第4个式子： ；
8×10＋1＝81
(2)探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明等式成立的理由.
解：第n个等式为2n(2n＋2)＋1＝(2n＋1)2.理由如下：
因为2n(2n＋2)＋1＝4n2＋4n＋1，(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1，
所以2n(2n＋2)＋1＝(2n＋1)2.
2． 仔细观察下列各式：
12＋22＋22＝(2＋1)2；
22＋62＋32＝(6＋1)2；
32＋122＋42＝(12＋1)2；
……
请你根据以上规律，写出第n(n为正整数)个等式，并说明等式成立的理由.
解：第n个等式为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.理由如下：
等式左边＝n2＋(n2＋n)2＋(n＋1)2
＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.
等式右边＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1
＝n4＋2n3＋n2＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.
因为等式左边＝等式右边，所以等式成立.
3． (2024·揭阳惠来县期中)阅读下面问题：你能化简(a－1)(a99＋a98＋…＋a＋1)吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.
(1)先填空：
①(a－1)(a＋1)＝ ；
②(a－1)(a2＋a＋1)＝ ；
③(a－1)(a3＋a2＋a＋1)＝ ；
④由此猜想(a－1)(a99＋a98＋…＋a＋1)＝ .
a2－1
a3－1
a4－1
a100－1
(2)利用得出的结论计算：22 024＋22 023＋22 022＋22 021＋…＋2＋1.
解：观察规律，可得(a－1)(an＋an－1＋…＋a＋1)＝an＋1－1.
所以原式＝(2－1)×(22 024＋22 023＋22 022＋22 021＋…＋2＋1)
＝22 025－1.
4． 【观察】(2＋3)2－22＝7×3；(4＋3)2－42＝11×3.
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】(1)(6＋3)2－62的结果是3的 倍.
15
(2)设偶数为2n，试通过平方差公式，来说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.
解：由题意，可得偶数为2n，比偶数大3的数为2n＋3.
所以(2n＋3)2－(2n)2＝(2n＋3＋2n)(2n＋3－2n)＝3(4n＋3).
因为4n＋3为整数，
所以3(4n＋3)能被3整除.
【延伸】(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由.
解：余数是3.理由如下：
设这个整数为n，则比这个整数大3的数为n＋3，
所以(n＋3)2－(n)2＝(n＋3＋n)(n＋3－n)＝6n＋9＝6(n＋1)＋3.
所以6(n＋1)＋3被6整除的余数是3.
几何图形问题
5． (2024·揭阳揭西县月考)如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式a2－b2＝(a＋b)(a－b).
(1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图.要求：
①拼成的图形是四边形；
解：拼法一如图所示.
②在图上画剪切线(用虚线表示)；
③在拼出的图形上标出已知的边长.
拼法三如图所示.
拼法二如图所示.
(2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题：
①2(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(332＋1)＋1＝ ；
[提示]原式＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(332＋1)＋1
＝(32－1)(32＋1)(34＋1)…(332＋1)＋1
＝(34－1)(34＋1)…(332＋1)＋1
＝364－1＋1
＝364.
364
②1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝ .
[提示]原式＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋(96＋ 95)×(96－95)＋…＋(2＋1)×(2－1)
＝100＋99＋98＋97＋96＋95＋…＋2＋1
＝(100＋1)×50
＝5 050.
5 050
6． 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题.
(1)观察图①，写出代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系： ；
(2)若x＋y＝6，xy＝4，则x2＋y2＝ ，(x－y)2＝ ；
(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
28
20
(3)如图②，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n(m＜5，n＜5)的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1＋S2＋S3的值.
解：如图②.
由题意，可得ED＝5－m，
HG＝n－(5－m)＝m＋n－5，BQ＝5－n.
因为长方形的周长为12，面积为8.5，
所以m＋n＝ ＝6，mn＝8.5.
所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝36－17＝19.
所以S1＋S2＋S3＝(5－m)2＋(m＋n－5)2＋(5－n)2
＝(5－m)2＋(6－5)2＋(5－n)2
＝m2－10m＋25＋1＋n2－10n＋25
＝m2＋n2－10(m＋n)＋51
＝19－10×6＋51
＝10.(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第12课 第一章复习
幂的乘除
1． (2024·广州白云区期中)下列计算中，正确的是( B )
A． t2·t4＝t8 B． ＝a6
C． (－3x)2＝6x2 D． 3a＋2b＝5ab
(2024·
)
B
2． 计算：
(π－1)0×2÷ －(－ )－2＋(－ )2 025×22 024.
解：原式＝1×2÷ －9＋(－ )×
＝4－9－
＝－ .
3． 熔喷布俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播.经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000 156 m，将0.000 156 用科学记数法表示应为( C )
A． 0.156×10－3 B． 1.56×10－3
C． 1.56×10－4 D． 15.6×10－4
C
4． 计算：
(1)a·a2·a3＋ －a8÷a2；
解：原式＝a6＋4a6－a6＝4a6.
(2)a5·(－2a)3＋a6·(－3a)2.
解：原式＝a5·(－8a3)＋a6·9a2＝－8a8＋9a8＝a8.
整式的乘法
5． 计算(0.1x＋0.3y)(0.1x－0.3y)的结果为( A )
A． 0.01x2－0.09y2 B． 0.01x2－0.9y2
C． 0.1x2－0.9y2 D． 0.1x2－0.3y2
6． (2024·清远期中)如果长方体的长为3a－4，宽为2a，高为2a，那么它的体积是 .
A
12a3－16a2
乘法公式
7． (2024·佛山南海区月考)下列式子可用平方差公式计算的是( B )
A． (x＋y)(－x－y) B． (a－2b)(a＋2b)
C． (－2m＋n)(2m－n) D． (4x＋3y)(4y－3x)
B
8． 的计算结果为( B )
A． 1－ m2 B． 1－m＋ m2
C． m2＋1 D． 1＋m＋ m2
B
9． 已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，则x2＋y2的值为 .
25
10． 计算：
2022－201×203.
解：原式＝2022－(202－1)(202＋1)
＝2022－(2022－1)
＝2022－2022＋1
＝1.
整式的除法
11． 若□·xy＝3x2y＋2xy，则□内应填的式子是( A )
A． 3x＋2 B． x＋2
C． 3xy＋2 D． xy＋2
12． (2024·清远期末)若长方形的面积是8a3＋12a2－4ab，其中一边长是4a，则它的邻边长是( D )
A． 2a3＋3a2－b B． 2a2＋3a＋b
C． 3a2＋2a＋b D． 2a2＋3a－b
A
D
13． 已知x－ ＝7，则x2＋ ＝ .
14． 如果x2＋2(m－1)x＋4是一个完全平方式，那么m＝ .
51
3或－ 1
15． (教材P31)分别计算下图中阴影部分的面积.
解：图①中阴影部分的面积为(3a＋2b)(2a＋b)－(2b＋a)(b＋a)＝6a2＋3ab＋4ab＋2b2－2b2－2ab－ab－a2＝5a2＋4ab.
图②中阴影部分的面积为(2a＋b)(2a＋3b)－2a·3b＝4a2＋6ab＋2ab＋3b2－6ab＝4a2＋2ab＋3b2.
16． 先化简，再求值：[(a＋3b)(3b－a)－(2a－b)2＋5a2]÷(－4b)，其中a，b的值满足(a－1)2＋ ＝0.
解：原式＝(9b2－a2－4a2＋4ab－b2＋5a2)÷(－4b)
＝(8b2＋4ab)÷(－4b)
＝－2b－a.
因为a，b的值满足(a－1)2＋ ＝0，
所以a－1＝0，2a－b＝0.所以a＝1，b＝2.
所以原式＝－2×2－1＝－5.
17． (2024·深圳福田区期中)从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).
(1)上述操作能验证的等式是 .
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(2)运用你在(1)写出的等式，完成下列各题：
①已知a－b＝3，a2－b2＝21，求a＋b的值；
解：因为a－b＝3，a2－b2＝21，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
所以21＝(a＋b)×3.
所以a＋b＝7.
②计算：(1－ )×(1－ )×(1－ )×…×(1－ )×(1－ ).
解：原式＝(1－ )×(1＋ )×(1－ )×(1＋ )×(1－ )×(1＋ )×…×(1－ )×(1＋ )×(1－ )×(1＋ ) ＝ × × × × × ×…× × × ×
＝ ×
＝ .(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第2课 幂的乘除(2)——幂的乘方
1． am·an＝ (m，n都是正整数).
2． 计算：
(1)107×103＝ ；
(2)b4·b2＝ .
am＋n
1010
b6
幂的乘方法则
幂的乘方法则：(am)n＝amn(m，n都是正整数).幂的乘方，底数 ，指数 .
不变
相乘
(4)(xm)2＝ .
x2m
(教材P5)计算：
(1)(102)2＝ ；
(2)(23)3＝ ；
(3)(b4)3＝ ；
104
29
b12
计算：
(1)(a4)5＝ ；
(2)－(y2)5＝ ；
(3)3(a3)x＝ ；
(4)－(8a)4＝ .
a20
－y10
3a3x
－84a
(教材P5)计算：
(1)(x2)3·x5；
解：原式＝x2×3·x5＝x6＋5＝x11.
(2)2(a2)9－(a6)3.
解：原式＝2a2×9－a6×3＝2a18－a18＝a18.
计算：
(1)(x3)4·(x6)2；
解：原式＝x3×4·x6×2＝x12·x12＝x24.
(2)(x3)4＋(x6)2.
解：原式＝x3×4＋x6×2＝x12＋x12＝2x12.
幂的乘方法则的逆用
amn＝ ＝ (m，n都是正整数).
(教材P5)(1)若ma＝2，则m2a＝(ma)2＝ ；
(2)已知ma＝2，mb＝8，求ma＋2b的值.
解：因为ma＝2，mb＝8，
所以ma＋2b＝ma·m2b＝ma·(mb)2＝2×82＝2×64＝128.
(am)n
(an)m
4
(1)若3a＝9，则9a＝(32)a＝(3a)2＝ ；
(2) 若3a＝9，9b＝81，求32b＋a的值.
解：因为3a＝9，9b＝81，
所以32b＋a＝(32)b×3a＝9b×3a＝81×9＝729.
81
基础过关
1． 下列计算正确的是( C )
A． a＋a＝a2 B． a2·a3＝a6
C． (a3)3＝a9 D． (a3)3＝a6
C
2． 计算：
(1)(x2)3＝ ；
(2)(103)4＝ ；
(3)－(a5)2＝ ；
(4)(m3)3·m3＝ .
x6
1012
－a10
m12
3． (2024·清远期末)6× 的结果用科学记数法表示为 .
4． 下列计算中，结果不等于a8的是( D )
A． [(a2)2]2 B． (a3)2·a2
C． (a4)2 D． (a3)5
5． 已知[(x3)n]2＝x12，求n的值.
解：因为 ＝x12，所以 ＝x12.
所以x6n＝x12.所以6n＝12.所以n＝2.
6×1010
D
6． 计算：
(1)x5·x3＋2 ；
解：原式＝x8＋2x8＝3x8.
(2)[(a－2)m＋1]2；
解：原式＝(a－2)2m＋2.
(3)－ －x2·x4＋3(x3)2.
解：原式＝－x6－x6＋3x6＝x6.
能力过关
7． (1)已知ax＝5，ax＋y＝25，则a3y＝( C )
A． 5 B． 25
C． 125 D． 15
(2)已知an＝8，am＝4，则an＋2m＝ .
C
128
8． (2024·茂名化州市期中)已知a＝1631，b＝841，c＝461，则a，b，c的大小关系是( A )
A． a＞b＞c B． a＞c＞b
C． a＜b＜c D． b＞c＞a
A
思维过关
9． 已知10x＝1 000，100y＝108，求x＋2y的值.
解：因为10x＝1 000，100y＝ ＝102y＝108，
所以10x＋2y＝10x·102y＝1 000×108＝1011.
所以x＋2y＝11.
10． (整体思想)已知2x＋4y－3＝0，求4x×16y的值.
解：因为2x＋4y－8＝0，所以2x＋4y＝8.
所以4x×16y＝22x×24y＝22x＋4y＝28＝256.(共18张PPT)
第一章 整式的乘除
第9课 乘法公式(3)——完全平方公式
1． 运用整式的乘法计算：
(1)(a＋b)(a＋b)；
解：原式＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
(2)(a－b)(a－b).
解：原式＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
2． (教材P20)如图，根据图形能够得到的等式为 .
.
(a＋b)2＝a2＋
2ab＋b2
完全平方公式
①(a＋b)2＝ ；
②(a－b)2＝ .
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
计算：
(1)(x＋3)2＝x2＋2·x·3＋32＝ ；
(2)(x－5)2＝ ＝ .
x2＋6x＋9
x2－2·x·5＋52
x2－10x＋25
计算(a＋2)2的结果是( D )
A． a2＋4 B． a2＋2a
C． a2＋4a D． a2＋4a＋4
(教材P21)利用完全平方公式计算：
(3x＋y)2.
解：原式＝(3x)2＋2·3x·y＋y2
＝9x2＋6xy＋y2.
D
计算：
( x－4y)2.
解：原式＝( x)2－2· x·4y＋(4y)2
＝ x2－4xy＋16y2.
求完全平方公式中的字母系数
(2024·珠海斗门区期中)请加上一个数配成完全平方式：x2－6x＋ .
若关于x的多项式9x2－(m－1)x＋4是完全平方式，则m＝ .
)
9
13或－11
运用完全平方公式求代数式的值
(教材P21)已知a＋b＝3，试求3a2＋6ab＋3b2的值.
解：原式＝3(a2＋2ab＋b2)
＝3(a＋b)2
＝3×32
＝27.
已知2a－b＝－2，试求－4ab＋4a2＋b2的值.
解：原式＝(2a)2－2·2a·b＋b2
＝(2a－b)2
＝(－2)2
＝4.
基础过关
1． 下列各式中，能用完全平方公式计算的是( A )
A． (a－b)(－a＋b) B． (a－b)(b＋a)
C． (a－b)(－a－b) D． (－b－a)(a－b)
A
2． 下列计算正确的是( A )
A． (2＋m)2＝4＋4m＋m2
B． (a＋b)2＝a2＋b2
C． (x－y)2＝x2－y2
D． (2x＋ )2＝4x2＋2x＋2
A
3． 如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式( C )
A． x2－y2＝(x－y)(x＋y)
B． x2－2xy＋y2＝(x－y)2
C． x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2
D． (x－y)2＋4xy＝(x＋y)2
C
4． 填空：
(1)(a＋1)2＝ ；
(2)(3x－2)2＝ ；
(3)(2a＋5b)2＝ ；
(4)(mn－ )2＝ m2n2－mn＋ .
a2＋2a＋1
9x2－12x＋4
4a2＋20ab＋25b2
m2n2－mn＋
能力过关
5． 若a2＋ab＋b2＋A＝(a－b)2，则A等于( A )
A． －3ab B． －ab
C． 0 D． ab
6． 已知(3x＋a)2＝9x2＋bx＋4，则b的值为( D )
A． 6 B． ±6
C． 12 D． ±12
A
D
思维过关
7． 张老师在黑板上布置了一道题：
计算：2(x＋1)2－(4x－5)，求当x＝a和x＝－a时式子的值.
小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由.
解：小亮说的对.理由如下：
原式＝2(x2＋2x＋1)－4x＋5
＝2x2＋4x＋2－4x＋5
＝2x2＋7.
当x＝a或x＝－a时，原式＝2a2＋7.
8． (数形结合思想)如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 .
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①： ；
方法②： .
m－n
(m－n)2
(m＋n)2－4mn
(3)观察图②，试写出(m＋n)2，(m－n)2，mn这三个代数式之间的等量关系： .
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn (共19张PPT)
第一章 整式的乘除
第1课 幂的乘除(1)——同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则
同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n(m，n都是正整数).同底数幂相乘，底数 ，指数 .
不变
相加
(教材P3)计算：
(1)103×102＝ ；
(2)(－2)2×(－2)5＝ ；
(3)a·a3＝ ；
(4)x3·(－x4)＝ ；
(5)(－a)2·(－a)4＝ .
105
(－2)7
a4
－x7
(－a)6
计算：
(1)x·x3·x5＝ ；
(2)104×10×10k＝ (k为正整数)；
(3)()2×()3×()5＝ ()10 ；
(4)(x＋3)2·(x＋3)5＝ .
x9
105＋k
()10
(x＋3)7
同底数幂的乘法法则的运用
(教材P3)一种电子计算机每秒可以做4×109次运算，那么它工作3×102 s可以做多少次运算？
解：4×109×3×102＝12×1011＝1.2×1012(次).
答：它工作3×102 s可以做1.2×1012 次运算.
在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×104 nm，2×103 个这样的细胞排成的细胞链的长是多少？
解：5×104×2×103＝10×107＝108(nm).
答：2×103 个这样的细胞排成的细胞链的长是108 nm.
若 ·a2＝a7，求m的值.
解：因为am－1·a2＝a7，所以am－1＋2＝a7.
所以am＋1＝a7.所以m＋1＝7.所以m＝6.
若2×23n×24n＝222，求n的值.
解：因为2×23n×24n＝27n＋1＝222，
所以7n＋1＝22.解得n＝3.
(教材P9)已知am＝3，an＝27，求 .
解： ＝am·an＝3×27＝81.
若2x＝8，2y＝32，求2x＋y＋1.
解：2x＋y＋1＝2x×2y×2＝8×32×2＝512.
同底数幂的乘法法则的逆用
am＋n＝ (m，n都是正整数).
am·an
基础过关
1． (2024·佛山南海区月考)计算：52 023×51＝ .
2． 若24×4＝2m，则m的值为( B )
A． 8 B． 6
C． 5 D． 2
52 024
B
3． (1)一个长方体的长、宽、高分别为a2，a，a3，则其表面积是 ，体积是 .
(2)光的速度是 3×108 m/s，太阳光从太阳照射到地球的时间约为 500 s，则太阳离地球的距离约为 m(结果用科学记数法表示).
2a3＋2a4＋2a5
a6
1.5×1011
4． 填空：
(1)－n4·n5＝ ；
(2)an－2·an＋1＝ ；
(3)(x＋y)2·(x＋y)3＝ ；
(4)(b－a)2·(a－b)3＝ .
－n9
a2n－1
(x＋y)5
(a－b)5
能力过关
5． 若x，y是正整数，并且2x·2y＝25，则x，y的值有( A )
A． 4对 B． 3对
C． 2对 D． 1对
6． (2024·佛山顺德区月考)已知2m＝4，2n＝8，则2m＋n＝( C )
A． 12 B． －4
C． 32 D． 48
A
C
7． 计算：
a4·an－1＋an＋1·a2.
解：原式＝an＋3＋an＋3＝2an＋3.
8． 计算：
m3·m·m5＋m4·m2·m3.
解：原式＝m9＋m9＝2m9.
思维过关
9． 若3x＝a，3y＝b，3n＝3ab，则下列等式成立的是( C )
A． n＝3x＋3y B． n＝xy＋3
C． n＝x＋y＋1 D． n＝x－y－1
10． (2024·佛山顺德区期末)若2x＋y－3＝0，则52x·5y＝( C )
A． 15 B． 75
C． 125 D． 150
C
C
11． 已知xa＋b·x2b－a＝x9.
(1)求(－3)b＋(－3)3的值；
解：因为xa＋b·x2b－a＝x9，所以a＋b＋2b－a＝9.解得b＝3.
所以(－3)b＋(－3)3＝(－3)3＋(－3)3＝－27－27＝－54.
(2)若xa＝ ，xb＝ ，求x9－a的值.
解：由(1)，知b＝3，则有x3＝ ，xa＋3·x6－a＝x9.
所以x9＝x3＋3＋3＝x3·x3·x3＝ × × ＝ .
因为xa＝ ，x3＝ ，所以xa＋3＝xa·x3＝ × ＝ .
又因为xa＋3·x6－a＝x9，所以 ·x6－a＝ .所以x6－a＝ .
所以x9－a＝x6－a＋3＝x6－a·x3＝ × ＝ .(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
第5课 整式的乘法(1)——单项式乘单项式
(1)am·an＝ ；
(2) ＝ ；
(3)(ab)n＝ .(m，n都是正整数)
am＋n
amn
anbn
单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数 ，作为积的因式.注意：单项式乘单项式，结果仍是单项式.
计算3a·2b的结果是( D )
A． 3ab B． 5ab
C． 6a D． 6ab
不变
D
计算6x3·x2y的结果是( B )
A． 6xy B． 6x5y
C． 6x6y D． 6x9y
B
(2)4y·(－2xy2)；
解：原式＝[4×(－2)]·(y·y2)·x＝－8xy3.
(3)(－2ax2)2·(－3a2x)3.
解：原式＝4a2x4·(－27a6x3)＝[4×(－27)]·(a2·a6)·(x4·x3)＝－108a8x7.
(教材P12)计算：
(1) a2·6ab；
解：原式＝(×6)·(a2·a)·b＝2a3b.
计算：
(1)2x3·22；
解：原式＝(2×22)·x3＝8x3.
(2)－3x2y3·5x3y4z；
解：原式＝[(－3)×5]·(x2·x3)·(y3·y4)·z＝－15x5y7z.
(3)－3x2y·(－2x)2.
解：原式＝－3x2y·4x2＝[(－3)×4]·(x2·x2)·y＝－12x4y.
单项式乘单项式的实际应用
(教材P16)小明家住房结构如图所示(单位：m).小明打算把卧室和客厅铺上木制地板，则小明至少需要买多少平方米的木制地板？
解：4y·2x＋2y(4x－2x)＝12xy(m2).
答：小明至少需要买12xy m2的木制地板.
变压器硅钢芯片的一个面如图所示(单位：cm).用含字母a，b的代数式表示阴影部分的面积.
解：b·3a＋2.5a·2b＋2.5a·3a＋2.5a·2b＋b·3a＝7.5a2＋16ab.
所以阴影部分的面积为(7.5a2＋16ab)cm2.
基础过关
1． 下列运算正确的是( A )
A． 2a2b·3a＝6a3b B． (2a)3＝2a3
C． a6÷a2＝a3 D． 3a2＋2a3＝5a5
2． 计算3x2y·(－ x4y)的结果是( B )
A． －4x6y B． －4x6y2
C． x6y2 D． x8y
A
B
3． 已知单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn，那么m－n＝( A )
A． －11 B． 5
C． 1 D． －1
4． 一个三角形的底为4c，底边上的高为 a2，则它的面积为 .
A
a2c
5． 如图，该图形的面积是( A )
A． 5.5xy
B． 6.5xy
C． 6xy
D． 3xy
A
6． 计算：
2a2b·a4＋ ·b＋ ·b.
解：原式＝2a6b＋4a6b－a6b＝5a6b.
能力过关
7． (新定义问题)(2024·梅州兴宁市月考)形如 的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 ＝ad－bc，比如： ＝2×3－1×5＝1.请你按照上述法则，计算 的结果.
解：原式＝－2ab·(－ab)－a2b·(－3ab2)＝2a2b2＋3a3b3.
8． 先化简，再求值：2x2y· ＋(2xy)3· ，其中x＝4，y＝ .
解： 原式＝2x2y·(－8x3y6)＋8x3y3·x2y4
＝－16x5y7＋8x5y7
＝－8x5y7.
当x＝4，y＝ 时，原式＝－8×45× ＝－ .
思维过关
9． 已知3 y5－n与－2xy的三次幂的积是2x4y9的同类项，求m，n的值.
解：3xm－3y5－n·(－2xy)3＝－24xmy8－n.
因为－24xmy8－n与2x4y9是同类项，
所以m＝4，8－n＝9.所以m＝4，n＝－1.(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
第10课 乘法公式(4)——完全平方公式的运用
利用完全平方公式进行简便运算
(教材P23)计算：2012.
解：原式＝(200＋1)2
＝2002＋2×200×1＋1
＝40 401.
解：原式＝(100－2)2
＝1002－2×100×2＋4
＝9 604.
计算：982.
完全平方公式的常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－ ＝(a－b)2＋ ；
(2)ab＝ ＝ ；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝ ；
(4)(a＋b)2－(a－b)2＝ ；
(5) ＝x2＋ ＋ ；
2ab
2ab
2(a2＋b2)
4ab
2
(6) ＝x2＋ ＋ .
(－2)
已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab等于( C )
A． 24 B． 48
C． 12 D． 2
若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2 的值为 .
C
90
已知x＋ ＝3，求x2＋ 的值.
解：x2＋ ＝(x＋ )2－2＝32－2＝7.
已知(m－n)2＝50，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为( A )
A． 2 025 B． 2 024
C． 3 952 D． 4 048
解：x2＋ ＝(x＋ )2－2＝32－2＝7.
A
乘法公式的双重使用
(教材P23)计算：
(1)(x＋y＋2)(x＋y－2)；
解：原式＝[(x＋y)＋2][(x＋y)－2]
＝(x＋y)2－4
＝x2＋y2＋2xy－4.
(2)(x＋y＋3)2.
解：原式＝(x＋y)2＋6(x＋y)＋9
＝x2＋y2＋2xy＋6x＋6y＋9.
计算：
(1)(x＋y－1)2；
解：原式＝(x＋y)2－2(x＋y)＋1.
＝x2＋y2＋2xy－2x－2y＋1.
(2)(x＋y－3)(x－y＋3).
解：原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]
＝x2－(y－3)2
＝x2－y2＋6y－9.
基础过关
1． 简便计算：
9992.
解：原式＝(1 000－1)2
＝1 0002－2×1 000×1＋12
＝1 000 000－2 000＋1
＝998 001.
2． (2024·茂名高州市期中)应用完全平方公式进行简便计算：
1．232＋2×1.23×2.77＋2.772.
解：原式＝(1.23＋2.77)2 ＝42＝16.
能力过关
3． 运用乘法公式计算：
(2a－b)2(2a＋b)2.
解：原式＝[(2a－b)(2a＋b)]2
＝[(2a)2－b2]2
＝
＝16a4－8a2b2＋b4.
4． 已知x＋y＝3， xy＝－7，求下列各式的值.
(1)x2＋xy＋y2；(2)(x－y)2；(3)x4＋y4.
解：因为(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，x＋y＝3，xy＝－7，
所以9＝x2＋y2－14.
所以x2＋y2＝23.
(1)原式＝x2＋y2＋xy＝23＋(－7)＝16.
(2)原式＝x2＋y2 －2xy＝23－2×(－7)＝37.
(3)原式＝ －2x2y2＝232－2×(－7)2＝431.
思维过关
5． (2024·广州大学附属中学期中)(教材P20改编)现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形，用四个相同的小长方形拼成图②的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图①，教材已给出关于a，b的关系式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
根据图②，关于a，b的关系式可表示为 .
根据上面的思路与方法，解决下列问题：
(a－b)2＋4ab＝(a＋b)2
(2)①若4m2＋n2＝40，2m＋n＝8，则mn＝ ；
②若(4－m)(5－m)＝6，则(4－m)2＋(5－m)2＝ .
6
13
(3)如图③，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1＋S2＝16，求图中阴影部分的面积.
解：根据题意，可得AC＋BC＝7.
所以(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝49.
因为S1＋S2＝16，所以AC2＋BC2＝16.
所以AC·BC＝16.5.
所以S阴影＝CD·BC＝AC·BC＝16.5.(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第4课 幂的乘除(4)——同底数幂的除法
同底数幂的乘法运算法则：am·an＝ (m，n都是正整数).同底数幂相乘，底数 ，指数 .
am＋n
不变
相加
同底数幂的除法
am÷an ＝ (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n).同底数幂相除，底数 ，指数 .
(教材P7)计算：
(1)26÷23＝ ；
(2)(－10)5÷(－10)3＝ ；
(3)(ab)8÷(ab)2＝ ；
am－n
不变
相减
8
100
a6b6
(4)am＋3÷a3＝ .
am
计算：
(1)x7÷x2÷x3＝ ＝ ；
(2)x7·x2÷x3＝ ＝ ；
(3)(－a)2 025÷(－a)2 024＝ ＝ ；
(4)(x5)3÷(x5·x3)＝ ＝ .
x5÷x3
x2
x9÷x3
x6
(－a)1
－a
x15÷x8
x7
零指数幂与负指数幂
我们规定：a0＝ (a 0)，a－p＝ (a≠0，是正整数).
1
≠
(3)2－2＝ ；
(4) ＝ ；
(5)30＝ ；
(6)()0＝ .
4
1
1
(教材P10)填空：
(1)2－1＝ ；
(2) ＝ ；
2
填空：
(1) ＝ ；
(2)(－3)－1＋(－4)0＝ ；
(3)16×2－4＝ ；
(4)a－2÷a－5＝ .
1
a3
同底数幂的乘法和除法运算法则：am·an＝am＋n，am÷an＝am－n(a≠0，m，n为整数).
用科学记数法表示绝对值较小的数
一般地，一个绝对值小于1的数可以表示为a×10n，其中1≤ ＜10，n是负整数.
(教材P9)某种病毒直径为0.000 000 012 m，将0.000 000 012用科学记数法表示为 .
1.2×10－8
A． 8.02×10－6 B． 8.02×10－7
C． 8.02×106 D． 8.02×107
某种细菌的直径约为0.000 008 02 m，将0.000 008 02用科学记数法表示为( A )
A
基础过关
1． 计算a3÷a得a？，则“？”是( C )
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
2． (2024·揭阳榕城区月考)若(2x－4)0－2(x－3)－1有意义，则x的取值范围是 .
C
x≠2且x≠3
3． 下列运算正确的是( B )
A． x·x－1＝0 B． (π－3.14)0＝1
C． ＝－2 D． (－3)－2＝－
4． “华为麒麟990”是采用7 nm制程工艺的5G芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸芯片上塞进了10 400 000 000个晶体管，将10 400 000 000用科学记数法表示为( B )
A． 1.04×1011 B． 1.04×1010
C． 1.04×109 D． 10.4×109
B
B
能力过关
5． 计算：
(1)(m4)2÷m3；
解：原式＝m8÷m3＝m5.
(2)y3·y2－(y2)3＋y9÷y4.
解：原式＝y5－y6＋y5＝2y5－y6.
(3)－(3×2－2)0＋ －4－2× .
解：原式＝－1＋(－8)－ ×(－64)＝－9＋4＝－5.
6． (2024·揭阳榕城区月考)已知3×9m÷27m＝321，求m的值.
解：因为3×9m÷27m＝3× ÷ ＝3×32m÷33m＝31－m＝321，
所以1－m＝21.
所以m＝－20.
思维过关
7． 【应用意识】世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021 cm，其质量也只有0.000 005 g.
(1)用科学记数法表示上述两个数据.
解：0.021 cm＝2.1×10－2 cm，0.000 005 g＝5×10－6 g.
(2)一个鸡蛋的质量大约是50 g，多少只卵蜂的质量之和与这个鸡蛋的质量相等？(结果用科学记数法表示)
解：设x只卵蜂的质量之和与这个鸡蛋的质量相等.
根据题意，得0.000 005x＝50.解得x＝10 000 000.
10 000 000＝1×107.
答：1×107 只卵蜂的质量之和与这个鸡蛋的质量相等.(共14张PPT)
第一章 整式的乘除
第8课 乘法公式(2)——平方差公式的运用
借助几何图形证明乘法公式
(教材P19)已知图①、图②分别由两个长方形拼成，回答下列问题：
(1)图①中的阴影部分的面积是 ，图②中的阴影部分的面积是 .
(2)观察图①和图②，请你写出代数式a2，b2，(a＋b)(a－b)之间的等量关系式.
解：a2－b2＝(a＋b)(a－b).
a2－b2
(a＋b)(a－b)
设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示：S1＝ ；S2＝ .写出上述过程所揭示的等式： (用含a，b的等式表示).
如图①，边长为a的正方形中有一个边长为b(b＜a)的小正方形，如图②是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形.
a2－b2
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
通常来说，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一个关于代数的恒等式，这种方法也被称作“等积法”.
运用平方差公式进行简便运算
(教材P19)计算：
(1)102×98 ；
解：原式 ＝(100＋2)(100－2)
＝1002－22
＝9 996 .
(2)(x－2)(x＋2)(x2＋4).
解：原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
计算：
(1)1 003×997；
解：原式＝(1 000＋3)(1 000－3)
＝1 0002－32
＝999 991.
(2)2 001×1 999－2 0002.
解：原式 ＝(2 000＋1)(2 000－1)－2 0002
＝2 0002－12－2 0002
＝－1.
基础过关
1． (2024·河源东源县期中)用简便方法计算：2 023×2 025－2 0242.
解：原式＝(2 024－1)×(2 024＋1)－2 0242
＝2 0242－1－2 0242
＝－1.
2． 利用整式乘法公式进行简便运算：
100.5×99.5.
解：原式＝(100＋0.5)×(100－0.5)
＝1002－0.52
＝9 999.75.
能力过关
3． 计算：
.
解：原式＝
＝
＝
＝1.
4． 从前，古希腊的一位庄园主人把一块边长为a m(a＞8)的正方形土地租给租户约翰，第二年，他对约翰说：“我把这块地的一边增加8 m，相邻的另一边减少8 m，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”若是这样，你觉得约翰吃亏了吗？通过计算说明你的结论.
解：约翰吃亏了.理由如下：
依题意，可得原正方形土地的面积为a2 m2，
改变后的土地面积为(a＋8)(a－8)＝(a2－64)m2.
所以改变后土地面积比原来少了64 m2.
所以约翰吃亏了.
思维过关
5． (2024·佛山禅城区月考)综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 .
(填序号)；
①②
③
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：2 0222－2 024×2 020；
解：原式＝2 0222－(2 022＋2)(2 022－2)
＝2 0222－(2 0222－4)
＝2 0222－2 0222＋4
＝4.
(3)【拓展】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1).
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)
＝(232－1)(232＋1)
＝264－1.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
第11课 整式的除法
单项式除以单项式
单项式相除，把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 一起作为商的一个因式.注意：单项式除以单项式，结果仍是单项式.
(教材P26)计算：
(1)12ab3÷3ab2＝ ；
(2)－28x4y2÷7x3y＝ ；
系数
同底数幂
指数
4b
－4xy
(3)2x2·(－7x3)÷14x4＝ .
－x
计算：
(1)6x2y3÷(－2x2y)＝ ；
(2)(－ a6b7)÷( a2b2)＝ － a4b5 .
(教材P27)计算：
(1)－ ÷(－xy2)；
解：原式＝－x10y4÷(－xy2)＝x9y2.
(2)(x－y)4÷(x－y)2.
解：原式＝(x－y)4－2＝(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
－3y2
－ a4b5
计算：
(－2a2b)3÷(－ab)· a2b3.
解：原式＝－8a6b3÷(－ab)· a2b3
＝8a5b2· a2b3
＝4a7b5.
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以单项式，再把所得的商相加.即(ma＋mb＋mc)÷m＝ .
每一项
a＋b＋c
(教材P26)计算：
(1)(6m2－9m)÷3m＝ ；
(2)(4x2y＋2xy2)÷2xy＝ ；
(3)(12a2－6ab)÷(－3a)＝ ；
(4)(4x3＋6x2－2x)÷(－2x)＝ .
2m－3
2x＋y
－4a＋2b
－2x2－3x＋1
计算：
(6a3b2－14a2b2＋8a2b)÷(－2a2b).
解：原式＝6a3b2÷(－2a2b)＋(－14a2b2)÷(－2a2b)＋8a2b÷(－2a2b)
＝－3ab＋7b－4.
多项式除以单项式运算的注意事项：
(1)多项式中的每一项包含它前面的符号；
(2)多项式除以单项式的结果仍为多项式，且与被除式的项数相同；
(3)当被除式的项与除式的项相同时，商是1，不能把1漏掉.
整式的除法的实际应用
一个三角形的面积为2x3y，一边长是xy，则这条边上的高为 .
若长方形的面积是6a3＋5ab＋3a，长为3a，则它的宽为 .
4x2
2a2＋ b＋1
基础过关
1． 计算－ mn3÷n2的结果是( C )
A． － m B． m
C． － mn D． mn
C
2． 若3x2y2·M＝6x2y4－3x4y2－3x2y2，则多项式M是( A )
A． 2y2－x2－1 B． 2y2－x2y
C． 3y2－xy2－1 D． －x8＋x6
A
3． 计算：
(1)(－3x2y)2÷6x2y；
解：原式＝9x4y2÷6x2y＝ x2y.
(2)(a＋b)4÷2(－a－b)2.
解：原式＝ (a＋b)2＝ a2＋ab＋ b2.
4． 计算：
(1)[a3·a5＋ ]÷a2；
解：原式＝(a8＋9a8)÷a2＝10a8÷a2＝10a6.
(2)(x－y)(x－2y)－(3x3－6x2y)÷3x.
解：原式＝x2－3xy＋2y2－x2＋2xy＝－xy＋2y2.
能力过关
5． 计算12a5b4c4÷(－3a2b2c)÷2a3b2c3的结果是( A )
A． －2 B． 0
C． 1 D． 2
6． 已知(ambn)3÷(ab2)2＝a4b5，那么m，n的值分别为( C )
A． m＝2，n＝7 B． m＝3，n＝2
C． m＝2，n＝3 D． m＝4，n＝3
A
C
思维过关
7． 【应用意识】如图①，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图②的无盖纸盒.若该纸盒的容积为4a2b，则图②中纸盒底部长方形的周长为( D )
A． 4ab B． 8ab
C． 4a＋b D． 8a＋2b
D
8． (类比思想)观察下列各式：
(x－1)÷(x－1)＝1；
(x2－1)÷(x－1)＝x＋1；
(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1；
(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1；
……
(1)根据上面各式的规律可得(xn＋1－1)÷(x－1)＝
(n≥0，且n为整数)；
xn＋xn－1＋…＋x
＋1
(2)若1＋x＋x2＋…＋x2 023＝0，求x的值.
解：由1＋x＋x2＋…＋x2 023＝0，得(x2 024－1)÷(x－1)＝0.
所以x2 024－1＝0且x－1≠0.所以x＝－1.(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第6课 整式的乘法(2)——多项式乘多项式
单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，就是根据 用单项式去乘多项式的 ，再把所得的积 .注意：单项式乘多项式，结果是多项式.
分配律
每一项
相加
(2)2ab(3a2－5b).
解：原式＝2ab·3a2＋2ab·(－5b)＝6a3b－10ab2.
(教材P14)计算：
(1)x(x－3)；
解：原式＝x2－3x.
计算：
(1)－2a2(4ab2－a2b)；
解：原式＝－8a3b2＋2a4b.
(2)－3x·2(x2－2x＋3).
解：原式＝－3x(2x2－4x＋6)＝－6x3＋12x2－18x.
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 .注意：多项式乘多项式，结果是多项式.
(教材P15)计算：
(1)(3x＋4)(2x－1)；
解：原式＝6x2－3x＋8x－4＝6x2＋5x－4.
(2)(2x－3y)(x＋5y).
解：原式＝2x2＋10xy－3xy－15y2＝2x2＋7xy－15y2.
每一项
每一项
相加
(1)计算(2x－1)(x＋2)的结果是( D )
A． 2x2＋x－2 B． 2x2－2
C． 2x2－3x－2 D． 2x2＋3x－2
(2)若(x－2)(x＋3)＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别为( B )
A． a＝5，b＝6 B． a＝1，b＝－6
C． a＝1，b＝6 D． a＝5，b＝－6
D
B
单(多)项式乘多项式的实际应用
(教材P16)用式子表示图中阴影部分的面积为 .
.
x2＋3x＋5y－
xy
张某拥有一块长方形农田，长2a m、宽a m，后来张某开垦荒田，使该田地长、宽都增加了2n m，那么该田地面积增加了
.
(6an
＋4n2)m2
基础过关
1． －5xy(2y＋x－8)＝－10xy2－5x2y□，□内应填写( D )
A． －10xy B． －5x2y
C． ＋40 D． ＋40xy
D
2． 一个三角形的底边长为4m，底边上的高为m＋4n，则它的面积为( C )
A． m2＋4mn B． 4m2＋8mn
C． 2m2＋8mn D． 4m2＋16mn
C
3． 计算：
(1)4x(2x－y)；
解：原式＝8x2－4xy.
(2)a(a＋1)－a(1－a)；
解：原式＝a2＋a－a＋a2＝2a2.
(3)(3x－1)(2x＋1).
解：原式＝6x2－2x＋3x－1＝6x2＋x－1.
4． (数形结合思想)(2024·江门新会区月考)通过计算，比较图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的算式是( B )
A． a(b－x)＝ab－ax
B． (a－x)(b－x)＝ab－ax－bx＋x2
C． (a－x)(b－x)＝ab－ax－bx
D． b(a－x)＝ab－bx
B
能力过关
5． 【应用意识】(2024·佛山顺德区期中)如图，某公园内有一块长为(3a＋2b)m、宽为(2a＋b)m的长方形地块，计划在中间留一块长为(2a－b)m、宽为b m的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积；
解：依题意，得(3a＋2b)(2a＋b)－b(2a－b)＝
6a2＋3ab＋4ab＋2b2－2ab＋b2＝6a2＋5ab＋3b2.
答：绿化的面积为(6a2＋5ab＋3b2)m2.
(2)若a＝3，b＝2，绿化成本为120元/m2，则完成绿化共需要多少元？
解：当a＝3，b＝2时，6a2＋5ab＋3b2＝6×32＋5×3×2＋3×22＝54＋30＋12＝96.
96×120＝11 520(元).
答：完成绿化共需要11 520元.
思维过关
6． (2024·广州天河区月考)已知(mx－3)(2x＋n)的展开式中不含x项，常数项是－6.
(1)求m，n的值；
解：(mx－3)(2x＋n)＝2mx2＋mnx－6x－3n＝2mx2＋(mn－6)x－3n.
因为常数项是－6，所以－3n＝－6.解得n＝2.
因为展开式中不含x项，
所以mn－6＝0.即2m－6＝0.解得m＝3.
(2)求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值.
解：原式＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3.
当m＝3，n＝2时，原式＝33＋23＝35.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
第3课 幂的乘除(3)——积的乘方
计算：
(1)a2·a3＝ ；
(2)am·an＝ ；
(3)(a2)3＝ ；
(4)(am)n＝ .
a5
am＋n
a6
amn
积的乘方法则
积的乘方法则：(ab)n＝ (n是正整数).积的乘方等于乘方的积.
anbn
(教材P6)计算：
(1)(4x)2＝42·x2＝ ；
(2)(－2x)3＝(－2)3·x3＝ ；
(3)(5x2)2＝52· ＝ ；
(4)(－x2)3＝ ＝ .
16x2
－8x3
25x4
(－1)3·(x2)3
－x6
计算：
(1)(a2b3)2＝ ；
(2)(3×104)2＝ ；
(3)(2xy3)3＝ ；
(4)(－ x4y)2＝ x8y2 .
a4b6
9×108
8x3y9
x8y2
(教材P9)计算：
(1)(ab3n)2－(ab3)2n；
解：原式＝a2b6n－a2nb6n.
(2)(－3a3)2＋[(2a)2]3.
解：原式＝9a6＋64a6＝73a6.
计算：
(1)(－3a3)2－(2a2)3；
解：原式＝9a6－8a6＝a6.
(2)(3x)2·(－ x)3.
解：原式＝9x2·(－ x3)＝－ x5.
积的乘方法则的逆用
anbn＝ (n是正整数).
计算：
(－3)2 024×()2 025.
(ab)n
解：原式＝32 024×()2 024×
＝(3× )2 024×
＝1×
＝ .
计算：
2100×8101×()200
解：原式＝2100× ×［()2］200
＝2403×()400
＝(2× )400×23
＝1400×23
＝8.
基础过关
1． (2024·惠州惠城区模拟)计算(－a2)3·a2的结果( B )
A． －a7 B． －a8
C． a5 D． －a4
2． (2024·广州天河区期中)下列各运算中，正确的是( C )
A． 3a＋2a＝5a2 B． a2·a3＝a6
C． (－3a3)2＝9a6 D． (2a)2＝4a
B
C
3． 计算：
(1)(－a)3＝ ；
(2)(－a3)2＝ ；
(3)(－5×103)2＝ ；
(4)( x3y4)2＝ x6y8 .
－a3
a6
2.5×107
x6y8
4． (2023·深圳龙华区期末)下列图形能够直观地解释(3b)2＝9b2的是( A )
A
能力过关
5． 若(ambn)3＝a9b15，则m，n的值分别为( B )
A． 9，5 B． 3，5
C． 5，3 D． 6，12
6． 已知2m＝8，3m＝27，则6m等于( D )
A． 35 B． 19
C． 827 D． 216
B
D
7． 已知 ＝a20(a＞0，a≠1)，那么 x，y 应满足 ( C )
A． x＋y＝15 B． xy＝4
C． x＋y＝4 D． y＝
8． 计算：
(1)0.62 025× ＝ ；
(2)29×72×59＝ ；
(3)a2·a3＋(3a2)3－(－2a3)2＝ .
C
0.6
4.9×1010
a5＋23a6
思维过关
9． 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用.对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为am＋n＝am·an，amn＝(am)n＝(an)m，ambm＝(ab)m(m，n为正整数).请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知a＝255，b＝344，c＝433，请把a，b，c用“＜”连接起来： ；
a＜c＜b
(2)若xa＝2，xb＝4，求x3a＋2b的值；
解：原式＝x3a·x2b＝ · .
因为xa＝2，xb＝4，所以原式＝23×42＝8×16＝128.
(3)计算：(－0.125)15×(215)3＋()2 025×(－1 )2 024.
解：原式＝－0.12515× ＋ ×
＝－0.12515×815＋ × ×
＝－(0.125×8)15＋ ×
＝－1＋1×
＝－ .(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第7课 乘法公式(1)——平方差公式
运用整式的乘法计算：
(1)(1＋3a)(1－3a)＝ ；
(2)(x＋5y)(x－5y)＝ .
1－9a2
x2－25y2
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝ .两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
a2－b2
(2)(x－3y)(x＋3y).
解：原式＝x2－(3y)2＝x2－9y2.
直接利用平方差公式计算
(教材P18)利用平方差公式计算：
(1)(x＋3)(x－3)；
解：原式＝x2－32＝x2－9.
利用平方差公式计算：
(1)(ab＋1)(ab－1)；
解：原式＝(ab)2－12＝a2b2－1.
(2)(－ m＋n)(－ m－n).
解：原式＝(－ m)2－n2＝ m2－n2.
先作等价变形，再利用平方差公式计算
(教材P18)利用平方差公式计算：
(－m－n)(m－n).
解：原式＝(－n－m)(－n＋m)＝(－n)2－m2＝n2－m2.
本题中，将两个多项式内部的前后项交换顺序，即可得到符合平方差公式的形式.
计算：
(1)(－x－3)(3－x)＝ ；
(2)(－7m＋8n)(7m＋8n)＝ ；
(3)(－ a－4b)(4b－ a)＝ a2－16b2 .
x2－9
64n2－49m2
a2－16b2
先作等量代换，再利用平方差公式计算(或结合整体思想直接利用平方差公式计算)
(教材P25)在计算整式的乘法(2a－b＋1)(2a－b－1)时，可作变量代换，令y＝2a－b，进而可利用平方差公式计算，再将y＝2a－b代入，可得结果为( A )
A
A． (2a－b)2－1 B． (2a－b)2＋1
C． 4a2－b2－1 D． 4a2＋b2－1
(整体思想)已知(3x－2y＋z)2＝1，试求(3x－2y＋z＋9)(3x－2y＋z－9)的值.
解：原式＝(3x－2y＋z)2－92＝1－81＝－80.
①在运用平方差公式时，不能对所有题目都直接将“前项”的平方减去“后项”的平方(如母题3、变式4)，而应抓住平方差公式中“一同一反”的特征，用“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
②在运用平方差公式时，所谓的“相同项”“相反项”不是仅限于单项式，也可以指多项式，在某些情况下(如母题5、变式6)，运用整体思想，将一个多项式视为一个整体，进而可以直接运用乘法公式计算求值.
运用平方差公式的注意事项：
基础过关
1． (2024·汕头潮南区月考)下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( B )
A． (x＋1)(－x－1) B． (2＋a2)(2－a2)
C． (－x＋y)(x－y) D． (x2＋y)(x－y2)
B
2． 若(3b＋a)( )＝9b2－a2，则括号内应填的代数式是( D )
A． －a－3b B． a＋3b
C． －3b＋a D． 3b－a
3． 已知a＋b＝4，a－b＝3，则a2－b2等于( C )
A． 4 B． 3
C． 12 D． 1
4． 若a2－b2＝6，a＋b＝3，则a－b的值为 .
D
C
2
能力过关
5． 利用平方差公式计算：
(1)(2＋y)(－2＋y)－(y－1)(y＋5)；
解：原式＝y2－22－(y2＋4y－5)
＝y2－4－y2－4y＋5
＝－4y＋1.
(2)(3x＋4)(－4＋3x)－(2x＋3)(3x－2).
解：原式＝9x2－16－(6x2＋5x－6)
＝9x2－16－6x2－5x＋6
＝3x2－5x－10.
6． 试说明( m3－2n)(2n＋ m3)＋(2n－4)(2n＋4)的值与 n 的取值无关.
解：原式＝ －(2n)2＋(2n)2－42＝ m6－16.
所以原式的值与n的取值无关.
思维过关
7． 已知(a＋b＋c)2＝1，(x＋y)4＝16，试求[(x＋y)2－a－b－c][a＋b＋c＋(x＋y)2]的值.
解：原式＝[(x＋y)2－(a＋b＋c)][(x＋y)2＋(a＋b＋c)]
＝ －(a＋b＋c)2
＝(x＋y)4－(a＋b＋c)2
＝16－1
＝15.
