(共17张PPT)
第二章 相交线与平行线
第8课 第二章复习
对顶角、补角、余角的定义与性质
1． (2023·广东模拟)如图，当剪刀口∠AOB增大10°时，∠COD的度数为( C )
A． 不变
B． 减少10°
C． 增大10°
D． 增大20°
C
2． (2024·韶关期末)如图，已知∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠2的度数为( B )
A． 102° B． 118°
C． 122° D． 62°
B
垂直的相关概念
3． (2024·雅安)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是( A )
A． 55°
B． 45°
C． 35°
D． 30°
A
4． 如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有AB，AC，AD三条路可走，将军选择沿着AB路线到河边，他这样做的道理是( D )
A． 两点之间线段最短
B． 两点之间直线最短
C． 两点确定一条直线
D． 垂线段最短
D
平行线的判定
5． 如图，直线AB，CD被直线AE所截，则∠A和 是同位角，∠A和 是内错角，∠A和 是同旁内角.当∠1＝ . 时，AB∥CD.
∠1
∠3
∠2
∠A
6． (2024·珠海期中)如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是( D )
A． ∠3＝∠4
B． ∠C＋∠ADC＝180°
C． ∠C＝∠CDE
D． ∠1＝∠2
D
平行线的性质
7． (2024·深圳福田区期中)请将下列说理过程补充完整：
如图，∠1＝∠2，AB∥OD，DC∥OA. 试说明∠B＝∠C.
解：因为AB∥OD(已知)，
所以∠B＝∠DOB( ).
因为DC∥OA(已知)，
所以 (两直线平行，内错角相等).
因为∠1＝∠2(已知)，
所以∠1＋ ＝∠2＋ ( )，
即∠DOB＝∠AOC.
所以∠B＝∠C( ).
两直线平行，内错角相等
∠C＝∠AOC
∠BOC
∠BOC
等式的性质
等量代换
8． (1)如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2＋∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1＋∠2.其中能判断直线l1∥l2的有( C )
A． 5个 B． 4个
C． 3个 D． 2个
C
(2)如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到三角形BC'D，C'D与AB交于点E. 若∠1＝35°，则∠2的度数为( A )
A
A． 20°
B． 30°
C． 35°
D． 55°
9． 如图，已知OC平分∠AOB.
(1)作图：在射线OA上取一点D，过点D作直线DE∥OB，交OC于点E；
解：如图，直线DE即为所求.
(2)若∠AOB＝70°，求∠DEC的度数.
解：因为OC平分∠AOB，∠AOB＝70°，
所以∠BOC＝ ∠AOB＝35°.
因为DE∥OB， 所以∠DEO＝∠BOC＝35°.
所以∠DEC＝180°－35°＝145°.
10． 【推理能力】(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面的推理过程.
如图①，AB∥CD，试说明∠B＋∠D＝∠BED.
解：如图①，过点E作EF∥AB，
所以∠B＝∠BEF( ).
因为AB∥CD，EF∥AB，
所以EF∥CD( ).
所以∠D＝ ( ).
所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF，即∠B＋∠D＝∠BED.
两直线平行，内错角相等
平行于同一条直线的两条直线平行
∠DEF
两直线平行，内错角相等
(2)如图②，AB∥CD，请写出∠B＋∠BED＋∠D＝360°的推理过程.
解：如图②，过点E作EF∥AB.
所以∠B＋∠BEF＝180°.
因为AB∥CD，EF∥AB，
所以EF∥CD.
所以∠DEF＋∠D＝180°.
所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝180°＋180°＝360°，
即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
(3)如图③，AB∥CD，请直接写出结果：∠B＋∠BEF＋∠EFD＋∠D＝ .
(4)如图④，AB∥CD，根据以上结论，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝ .
540°
(n－1)·180° (共18张PPT)
第二章 相交线与平行线
第2课 垂直
垂直的定义及表示
(1)两条直线相交成四个角，如果有一个角是 ，那么称这两条直线互相 ，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作 .
直角
垂直
垂足
(2)如图，直线AB与直线CD垂直，记作 .其中，点
是垂足.
AB⊥CD
O
如图，AB⊥CD于点C，若∠DCE＝58°，则∠BCE的度数为 .
32°
如图，已知点A在直线l上，直线m⊥n.若∠1＝30°，则∠2的度数为( B )
B
A． 40°
B． 60°
C． 30°
D． 50°
垂线的基本事实
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 .
过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是( B )
垂直
B
如图，在钝角∠AOB中，点D在射线OB上.
(1)画直线DE，使DE⊥OB；
解：如图，直线DE即为所求.
(2)画直线DF，使DF⊥OA，垂足为F.
解：如图，直线DF即为所求.
点到直线的距离
(1)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短.
(2)如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的 .
垂线段
距离
如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是 .
垂线段最短
A． E点 B． F点
C． G点 D． H点
(2024·佛山期中)春天是播种的季节，如图，某村计划在河边开挖一条水渠把河中的河水引到水池O中进行蓄水，以便在播种之前灌溉农田，为了使水渠最短应该在河边选择的引水口是( B )
B
如图，已知在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D. 则点A到直线CD的距离是( C )
C
A． 线段CD的长度
B． 线段AC的长度
C． 线段AD的长度
D． 线段BC的长度
小明从点A起跳，落脚点为点B，已知AB＝2.5 m，则小明跳远的成绩可能是( A )
A
A． 2.45 m
B． 2.55 m
C． 2.6 m
D． 2.7 m
基础过关
1． (2024·惠州龙门县期中)下列说法正确的是( B )
A． 对顶角相等，相等的角是对顶角
B． 任何一个锐角的余角比它的补角小90°
C． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D． 从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离
B
2． 如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：
①线段AP是点A到直线PC的距离；
②线段BP的长是点P到直线l的距离；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
④线段PC的长是点P到直线l的距离.
其中正确的是 .
②③
能力过关
3． (2024·珠海香洲区期末改编)如图，河道l的一侧有A，B两个村庄，现要铺设一条尽可能短的引水管道把河水引向A，B两村，请你用三角尺画出引水管道的图形.
解：如图，线段OA，AB即为所求.
4． (2024·广州荔湾区期末)如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD，OF⊥AB. 若∠AOC＝34°，求∠EOF的度数.
解：因为OE⊥CD，OF⊥AB，
所以∠EOD＝∠FOB＝90°.
因为∠BOD＝∠AOC＝34°，
所以∠BOE＝∠EOD－∠BOD＝56°.
所以∠EOF＝∠BOE＋∠FOB＝146°.
思维过关
5． 如图，两直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分 ∠BOD，∠AOC∶ ∠AOD＝7∶ 11.
(1)求∠COE 的度数；
解：因为∠AOC∶∠AOD＝7∶11，∠AOC＋
∠AOD＝180°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°，∠BOC＝∠AOD＝110°.
又因为 OE 平分 ∠BOD，
所以∠BOE＝∠DOE＝ ∠BOD＝35°.
所以∠COE＝∠BOC＋∠BOE＝110°＋35°＝145°.
(2)若OF⊥OE，求∠COF 的度数.
解：因为OF⊥OE，
所以∠FOE＝90°.
所以∠FOD＝∠FOE－∠DOE＝90°－35°＝55°.
所以∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.(共18张PPT)
第二章 相交线与平行线
微专题2 平行线中的“拐点”问题
M型
结论1：若AB∥CD，则∠BED＝∠B＋∠D.
结论2：若∠BED＝∠B＋∠D，则AB∥CD.
1． (2023·鄂州)如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E. 若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是( B )
A． 60° B． 30°
C． 40° D． 70°
B
铅笔型
结论1：若AB∥CD，则∠B＋∠D＋∠E＝360°.
结论2：若∠B＋∠D＋∠BED＝360°，则AB∥CD.
2． 如图，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°.求∠3的度数.
解：如图，过点A作AB∥l1.
所以∠4＝180°－∠1＝75°.
因为l1∥l2，所以AB∥l2.
所以∠5＝180°－∠2＝40°.
所以∠3＝180°－∠4－∠5＝65°.
2字型
结论1：若AB∥CD，则∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
结论2：若∠B＋∠BEC－∠C＝180°，则AB∥CD.
3． 珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点，拐弯后与原来方向相同.如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝ °.
20
锄头型
结论1：若AB∥CD，则∠BED＝∠B－∠D.
结论2：若∠BED＝∠B－∠D，则AB∥CD.
4． (2023·河源和平县期末)如图，直线AB∥CD，点E是平行线外一点，连接AE，CE. 若∠A＝22°，∠C＝50°，则∠E的度数是( D )
A． 22° B． 24°
C． 26° D． 28°
D
犀牛角型
结论1：若AB∥CD，则∠BED＝∠B－∠D.
结论2：若∠BED＝∠B－∠D，则AB∥CD.
5． 如图，在平面上画两条直线AB，CD，使AB∥CD，在直线AB上方取一点F，连接BF和DF. 已知∠ABF＝150°，∠CDF＝130°，则∠BFD的度数 .
20°
过平行线中的“拐点”作平行线是解决“拐点”问题的常见思路.
1． (2024·梅州兴宁市期末)五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律.如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上.若∠1＝120°，∠2＝30°，则∠BEC的度数是( A )
A． 90°
B． 100°
C． 120°
D． 110°
(2024·
)
A
2． (1)如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α，β，γ的关系为( D )
A． β＝α＋γ
B． α＋β＋γ＝180°
C． β＋γ－α＝90°
D． α＋β－γ＝90°
D
(2)如图，AB∥EF，则∠1，∠3，∠2的关系为 .
.
∠2＋∠3－∠1＝
180°
3． (分类讨论思想)(2024·江门恩平市期中)问题情境：如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数.
小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC.
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度.
110
(2)问题迁移：如图②，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由.
解：∠APC＝α＋β.理由如下：
如图②，过点P作PE∥AB交AC于点E.
因为AB∥CD，所以AB∥PE∥CD.
所以α＝∠APE，β＝∠CPE.
所以∠APC＝∠APE＋∠CPE＝α＋β.
(3)在(2)的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系.
解：∠CPA＝α－β或∠CPA＝β－α.(共16张PPT)
第二章 相交线与平行线
第4课 用内错角、同旁内角判定平行
内错角、同旁内角的定义
如图，具有∠1与∠4，∠2与∠3这样位置关系的角称为内错角，类似“Z”字形；具有∠1与∠2，∠3与∠4这样位置关系的角称为同旁内角，类似“U”字形.
如图，下列各组角中，互为内错角的是( C )
C
A． ∠1与∠3
B． ∠2与∠5
C． ∠3与∠5
D． ∠4与∠5
(2023·潮州潮安区期末)如图，与∠1是同旁内角的是( D )
A． ∠2
B． ∠3
C． ∠4
D． ∠5
D
用内错角判定平行
(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
(2)简述为：内错角 ，两直线平行.
几何语言：因为 ，所以a∥b.
相等
∠1＝∠2
(教材P47)如图，一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的位置关系是 ，这是因为 .
AB∥CD
内错角相等，两直线平行
如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2.试说明AB∥CD.
解：因为AC平分∠BAD，所以∠1＝∠3.
又因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠3.
所以AB∥CD.
用同旁内角判定平行
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
(2)简述为：同旁内角 ，两直线平行.
几何语言：因为 ，所以a∥b.
互补
∠1＋∠2＝180°
如图，已知∠1＝68°，要使AB∥CD，则需具备下列哪个条件( A )
A． ∠2＝112° B． ∠2＝132°
C． ∠2＝68° D． ∠3＝112°
A
如图，如果∠1＋∠2＝180°，那么AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD. 理由如下：
因为∠1＝∠BEF，∠1＋∠2＝180°，
所以∠BEF＋∠2＝180°.
所以AB∥CD.
基础过关
1． (2024·广州期末)如图，下列说法错误的是( D )
A． ∠A与∠B是同旁内角
B． ∠1与∠B是同位角
C． ∠2与∠3是内错角
D． ∠1与∠3是对顶角
D
2． 如图，在四边形ABCD中，若∠D＋∠C＝180°，则 ∥ .
AD
BC
能力过关
3． (1)(2024·韶关乳源县期中)下列各图是由含30°或45°的直角三角板组合而成，其中利用内错角相等，画出AB∥CD的有( B )
A． ①③ B． ②④
C． ①②④ D． ②③④
B
(2)某人在空旷的广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是( A )
A． 第一次左拐30°，第二次右拐30°
B． 第一次右拐50°，第二次左拐130°
C． 第一次右拐50°，第二次右拐130°
D． 第一次左拐50°，第二次左拐120°
A
4． 在横线上填上适当的内容，完成下面的步骤.
已知直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4，试说明c∥d.
解：因为∠1＋∠2＝180°( )，∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，
所以 ＝∠3( ).
又因为∠3＝∠4(已知)，
所以∠1＝∠4 ( ).
所以c∥d( ).
已知
∠1
同角的补角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
思维过关
5． 如图，直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°.试说明a∥c.
解：因为∠1＝∠2，所以a∥b.
因为∠3＋∠4＝180°，所以b∥c.
所以a∥c.(共14张PPT)
第二章 相交线与平行线
第7课 平行线的性质与判定综合
利用平行线的性质求角度
(跨学科命题)光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的.如图是水平放置的杯子，∠1＋∠2＝129°，∠4＝51°，则∠3的度数为( C )
C
A． 129° B． 108°
C． 102° D． 101°
(2024·惠州惠阳区期末)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，如图是某款自行车的示意图，其中AB∥CD，AE∥BD. 若∠CDB＝60°，∠ACD＝80°，求∠EAC的度数.
解：因为AB∥CD，
所以∠ACD＋∠BAC＝180°，∠CDB＋∠ABD＝180°.
因为∠ACD＝80°，所以∠BAC＝100°.
因为AE∥BD，所以∠BAE＋∠ABD＝180°.
所以∠BAE＝∠CDB＝60°.
所以∠EAC＝∠BAC－∠BAE＝40°.
利用平行线的性质与判定说理或计算
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠E，试说明DC∥EF.
解：因为AB∥CD，
所以∠A＝∠DCE.
又因为∠A＝∠E，
所以∠DCE＝∠E.
所以DC∥EF.
如图，在由四条直线相交形成的图形中，若∠1＝70°，∠2＝80°，∠3＝110°，则∠4的大小为 .
100°
(2024·深圳福田区期中)如图，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F，E，试说明FG∥BC.
解：因为CF⊥AB，DE⊥AB(已知)，
所以∠BED＝90°，∠BFC＝90°.
所以∠BED＝∠BFC.
所以 ∥ ( ).
所以∠1＝∠BCF( ).
又因为∠1＝∠2(已知)，
所以∠2＝∠BCF( ).
所以FG∥BC( ).
ED
FC
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2.试说明∠3＝∠E.
解：因为AB⊥BF，CD⊥BF，
所以∠B＝∠CDF＝90°.
所以AB∥CD.
因为∠1＝∠2，所以AB∥EF.
所以CD∥EF. 所以∠3＝∠E.
基础过关
1． 如图是超市里的一款购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，AD∥EF，∠1＝100°，∠2＝48°，则∠3的度数是 .
52°
2． (2024·汕头金灶镇期末)如图，已知∠1＝∠2，∠D＝60°，EF与CD交于点G，求∠B的度数.
解：因为∠EGD＝∠2，∠1＝∠2，
所以∠1＝∠EGD.
所以AB∥CD.
所以∠D＋∠B＝180°.
所以∠B＝180°－∠D＝180°－60°＝120°.
能力过关
3． 如图，已知AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD. 试说明EG∥FH.
解：因为AB∥CD，
所以∠AEF＝∠EFD.
因为EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
所以∠GEF＝ ∠AEF，∠EFH＝ ∠EFD.
所以∠GEF＝∠EFH. 所以EG∥FH.
4． 如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D. 试说明∠A＝∠F.
解：因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，
所以∠1＝∠3.
所以BD∥EC. 所以∠4＝∠C.
又因为∠C＝∠D，
所以∠4＝∠D.
所以DF∥AC. 所以∠A＝∠F.
思维过关
5． 如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B.
(1)请说明DE∥BC；
解：因为∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠DFG，
所以∠2＋∠DFG＝180°.
所以AB∥EG. 所以∠B＝∠EGC.
又因为∠B＝∠3，所以∠3＝∠EGC. 所以DE∥BC.
(2)若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由.
解：CD⊥EG. 理由如下：
因为DE平分∠ADC，所以∠ADE＝∠EDC.
因为DE∥BC，所以∠B＝∠ADE＝∠EDC.
因为∠2＝2∠B，∠2＋∠ADE＋∠EDC＝180°，
所以2∠B＋∠B＋∠B＝180°.所以∠B＝45°.
所以∠2＝2∠B＝90°.
因为AB∥EG，所以∠CFG＝∠2＝90°.所以CD⊥EG.(共16张PPT)
第二章 相交线与平行线
第6课 平行线的性质
平行线的性质1
(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
(2)简述为：两直线平行，同位角 .
几何语言：因为a∥b，所以 .
相等
∠1＝∠4
(2024·中山期中)如图，直线a∥b，∠1＝38°，则∠2＝ .
(2024·深圳期中改编)如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 .
38°
70°
平行线的性质2
(1)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
(2)简述为：两直线平行，内错角 .
几何语言：因为a∥b，所以 .
相等
∠2＝∠3
如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，∠1＝70°.求∠CBE的度数.
解：因为DE∥BC，∠1＝70°，
所以∠ABC＝∠1＝70°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠CBE＝ ∠ABC＝ ×70°＝35°.
如图，直线DE过点A，且DE∥BC. 若∠B＝60°，∠1＝50°，求∠2的度数.
解：因为DE∥BC，
所以∠DAB＝∠B＝60°.
因为∠1＝50°，
所以∠2＝180°－∠DAB－∠1＝70°.
平行线的性质3
(1)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
(2)简述为：两直线平行，同旁内角 .
几何语言：因为a∥b，所以 .
互补
∠3＋∠4＝180°
(2024·广州期中)如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为 .
132°
如图，直线b，c被直线a所截，已知∠1＋∠2＝240°，b∥c.求∠1，∠2和∠3的度数.
解：因为∠1＋∠2＝240°，∠1＝∠2，
所以∠1＝∠2＝120°.
因为b∥c，所以∠2＋∠3＝180°.
所以∠3＝180°－120°＝60°.
利用平行线的性质解决实际问题
(跨学科命题)(教材P50)如图，两条平行光线射向平面镜面后被反射，其中一条光线AB反射后的光线是BC，此时∠1＝56°，∠3＝∠4，另一条光线的反射光线EF与镜面的夹角∠3的度数为 .
56°
如图，从一艘船上测得一个灯塔的方向是北偏西48°，那么这艘船在这个灯塔的 .
南偏东48°
基础过关
1． (2023·广东)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝( D )
A． 43° B． 53°
C． 107° D． 137°
D
2． (2024·佛山期中)如图，AF∥BE∥CD，AB∥DE. 若∠1＝∠2，则图中与∠A相等的角是 (写出一个即可).
∠C(或∠D)
3． (2024·湛江雷州市期末)如图，已知∠B＝∠C，AD∥BC，试说明AD平分∠CAE.
解：因为AD∥BC，
所以∠B＝∠EAD，∠DAC＝∠C.
又因为∠B＝∠C，
所以∠EAD＝∠DAC.
所以AD平分∠CAE.
4． 如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠1＝∠2.试说明∠3＝∠4.
解：因为AB∥CD，
所以∠4＝∠BAF＝∠1＋∠CAF.
因为AD∥BC，
所以∠3＝∠DAC＝∠2＋∠CAF.
因为∠1＝∠2，
所以∠BAF＝∠DAC.
所以∠3＝∠4.
能力过关
5． (2024·广州期末)如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝62°，则∠2＝ .
59° (共18张PPT)
第二章 相交线与平行线
第3课 用同位角判定平行
同位角的定义
如图，∠1和∠2分别位于直线a，b的同一方，直线c的同一侧，具有这样位置关系的角称为同位角，类似“F”字形.
A． ∠2 B． ∠3
C． ∠4 D． ∠5
如图，下列四个角中，与∠1构成一对同位角的是( B )
B
(2024·惠州惠阳区期中)风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”.如图所示的纸骨架中，与∠1构成同位角的是( A )
A． ∠2 B． ∠3
C． ∠4 D． ∠5
A
用同位角判定平行
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
(2)简述为：同位角 ，两直线平行.
几何语言：因为 ，所以a∥b.
相等
∠1＝∠2
(教材P42)如图是利用直尺和三角尺过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 .
同位角相等，两直线平行
(2024·河源期末)如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果∠2＝50°，要使a∥b，那么∠1＝( A )
A． 40° B． 50°
C． 60° D． 80°
A
(教材P43)根据要求完成下面的填空：
如图，直线AB，CD被直线EF所截.若已知∠1＝∠2，试说明AB∥CD.
解：因为∠1＝∠2(已知)，
∠2＝∠3( )，
所以∠1＝∠ .
所以AB∥ ( ).
对顶角相等
3
CD
同位角相等，两直线平行
如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，且∠AGE＝46°，∠EHD＝134°，那么AB与CD平行吗？说明理由.
解：AB∥CD. 理由如下：
因为∠EHD＝134°，
所以∠EHC＝180°－134°＝46°.
因为∠AGE＝46°，
所以∠AGE＝∠EHC.
所以AB∥CD.
平行的传递性
(1)过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行.
(2)平行于同一条直线的两条直线 .也就是说：如果b∥a，c∥a，那么 .
一
平行
b∥c
如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点，若PQ∥a，QR∥a，则P，Q，R三点 (填“在”或“不在”)同一条直线上.
在
如图，若直线EF∥AB，CD∥AB，则EF∥CD，理由是 .
平行于同一条直线的两条直线平行
基础过关
1． 已知直线AB及一点P，要过点P作一直线与AB平行，那么这样的直线( D )
A． 有且只有一条
B． 有两条
C． 不存在
D． 不存在或者只有一条
D
2． (2024·深圳期中)在下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( C )
C
能力过关
3． 【应用意识】如图，木工师傅利用角尺在木板上画出两条线段，则线段AB CD. 理由是 .
∥
同位角相等，两直线平行
4． 如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM⊥EF于点P，∠1＋∠2＝90°.试说明AB∥CD.
解：因为PM⊥EF，
所以∠MPE＝90°.
所以∠BPE＋∠2＝90°.
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠BPE＝∠1.
所以AB∥CD.
思维过关
5． 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明a∥c.
请将下面的解题过程补充完整.
解：因为∠1＝∠2( )，
所以 (同位角相等，两直线平行).
因为∠3＝∠4(已知)，
所以b∥c( ).
所以a∥c( ).
已知
a∥b
同位角相等，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
6． 如图，已知AC平分∠EAG，BD平分∠FBG，∠1＝35°，∠2＝35°，那么直线AC与BD平行吗？直线AE与BF平行吗？请说明理由.
解：AC∥BD，AE∥BF. 理由如下：
因为∠1＝35°，∠2＝35°，所以∠1＝∠2.
所以AC∥BD.
因为AC平分∠EAG，BD平分∠FBG，
所以∠EAG＝2∠1，∠FBG＝2∠2.
因为∠1＝∠2，所以∠EAG＝∠FBG.
所以AE∥BF.(共15张PPT)
第二章 相交线与平行线
第1课 相交线与平行线
相交线与平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种.若两条直线 公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内， 的两条直线叫作平行线.
相交
平行
只有一个
不相交
A． 平行 B． 相交
C． 平行或相交 D． 平行、相交或垂直
下列说法正确的是( C )
A． 同一平面内，不相交的两条线段是平行线
B． 同一平面内，两条直线不相交就重合
C． 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D． 不相交的两条直线是平行线
C
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( C )
C
对顶角的定义及性质
(1)定义：如图，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为 .
，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.
反向延
长线
(2)性质：对顶角 .
相等
如图，∠1和∠2是对顶角的是( B )
如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOC＋∠AOD＝288°，则∠BOC＝ °.
B
144
补角、余角的定义及性质
定义 性质
补角 如果两个角的和是 °，那么称这两个角互为补角 同角(或等角)的补角 .
因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以
余角 如果两个角的和是 °，那么称这两个角互为余角 同角(或等角)的余角 .
因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°， 所以
180
相
等
∠2＝∠3
90
相
等
∠2＝∠3
(2024·深圳期中)已知∠1与∠2互余，且∠1＝35°，则∠2的补角的度数为 度.
(2023·广州期末)若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为 .
设未知数，列方程.
125
45°
(教材P35)如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2.
(1)∠3和∠4有什么关系？为什么？
解：∠3＝∠4.理由：等角的余角相等.
(2)∠AOE和∠BOD有什么关系？为什么？
解：∠AOE＝∠BOD. 理由：等角的补角相等.
(3)∠1的余角是 ，∠2的补角是 .
∠3，∠4
∠AOE，∠BOD
如图，点A，O，B在同一直线上，且∠DOE＝90°，∠1＝∠2.
(1)∠3和∠4有什么关系？为什么？
(2)∠1的补角为 ，∠1的余角为 .
解：∠3＝∠4.理由：等角的余角相等.
∠BOE
∠3，∠4
基础过关
1． 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( A )
2． 若∠A＝40°，则∠A的余角的度数是( B )
A． 40° B． 50°
C． 130° D． 140°
A
B
能力过关
3． (2024·日照)如图，直线AB，CD相交于点O. 若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为( B )
A． 70°
B． 80°
C． 90°
D． 100°
B
4． (2024·茂名期末)如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是( D )
A． ∠1＝∠2
B． ∠AOE与∠2互余
C． ∠AOD与∠1互补
D． ∠AOD与∠COD互补
D
思维过关
5． (方程思想)一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的3倍.求这个角的度数.
解：设这个角的度数为x，则它的补角度数为(180°－x)，余角度数为(90°－x).
由题意，得180°－x＋30°＝3(90°－x).
解得x＝30°.
答：这个角的度数为30°.
6． 如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分.
(1)图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的补角为 ；
∠BOD
∠AOE
(2)若∠AOC＝75°，且∠BOE∶∠EOD＝1∶4，求∠AOE的度数.
解：因为∠BOE∶∠EOD＝1∶4，
所以∠EOD＝4∠BOE.
因为∠DOB＝∠AOC＝75°，∠DOB＝∠BOE＋∠EOD，
所以∠BOE＋4∠BOE＝75°.
所以∠BOE＝15°.
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝165°.(共13张PPT)
第二章 相交线与平行线
第5课 平行线的判定综合
用尺规作平行线
(教材P45)如图，已知直线AB和点P，请用尺规作直线CD，使CD∥AB，且CD经过点P. (保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，直线CD即为所求.
如图，已知点D为三角形ABC的边AB上一点.
(1)尺规作图：请在边AC上确定一点E，使得∠ADE＝∠B. (保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点E即为所求.
(2)DE平行于BC吗？若平行，请说明理由.
解：DE∥BC. 理由如下：
因为∠ADE＝∠B，所以DE∥BC.
平行线的判定综合
如图，根据图形填空.
(1)因为∠A＝∠4，
所以 ∥ (同位角相等，两直线平行)；
AC
DE
(2)因为∠2＝∠4，
所以 ∥ (内错角相等，两直线平行)；
(3)因为∠2＋∠6＝180°，
所以 ∥ (同旁内角互补，两直线平行).
AB
DF
AB
DF
如图，已知GH，MN分别平分∠AGE，∠DMF，且∠AGH＝∠DMN. 试说明AB∥CD.
解：因为GH平分∠AGE，
所以∠AGE＝2∠AGH.
同理可得∠DMF＝2∠DMN.
因为∠AGH＝∠DMN，
所以∠AGE＝∠DMF.
又因为∠AGE＝∠BGF，
所以∠DMF＝∠BGF.
所以AB∥CD .
基础过关
1． 如图，∠DAE＝120°，根据尺规作图的痕迹，可求得∠DPC的度数为( B )
A． 45° B． 60°
C． 55° D． 50°
拓展提问：AB与PC的位置关系是 ，
理由是 .
B
AB∥PC
同位角相等，两直线平行
2． (2024·广州期末)如图，已知∠1＝65°，∠2＝80°，∠3＝35°，下列条件中，能得到AB∥CD的是( D )
A． ∠4＝80° B． ∠5＝65°
C． ∠4＝35° D． ∠5＝35°
D
能力过关
3． (分类讨论思想)如图，在∠A中，B是AC边上一点.
(1)以点B为顶点，BC为一边，利用尺规作∠EBC，使∠EBC＝∠A(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，∠EBC＝∠A＝∠E'BC.
(2)在(1)的条件下，EB与AD平行吗？说明理由.
解：①当EB在AC上方时，EB∥AD. 理由如下：
同位角相等，两直线平行.
②当E'B在AC下方时，E'B与AD不平行.
4． 如图，已知∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°.试说明AB∥CD.
解：因为∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，
所以∠A＋∠AEF＝180°，∠C＋∠CEF＝180°.
所以AB∥EF，CD∥EF.
所以AB∥CD.
思维过关
5． 如图，已知EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，∠1＝35°，∠2＝55°.AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD. 理由如下：
因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∠1＝35°，∠2＝55°，
所以∠BEF＝2∠1＝70°，∠DFE＝2∠2＝110°.
所以∠BEF＋∠DFE＝70°＋110°＝180°.
所以AB∥CD.
6． (跨学科命题)我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象.如图，有一束光线从D点射入水中，又从C点射入空气，已知∠1＝∠4，∠2＝∠3.试说明c∥d.
解：如图.
因为∠2＝∠3，
所以∠5＝∠6.
因为∠1＝∠4，
所以∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
所以∠ADC＝∠BCD.
所以c∥d.
