(共15张PPT)
第四章 三角形
微专题3 三角形的相关线段综合
三角形三边关系的应用
1． 如图，AC和BD相交于点O，试说明AC＋BD＞AB＋CD.
解：因为AO＋BO＞AB，DO＋CO＞CD，
所以AO＋BO＋DO＋CO＞AB＋CD，
即AC＋BD＞AB＋CD.
2． 如图，已知P是△ABC内一点，试说明PA＋PB＋PC＞ (AB＋BC＋AC).
解：在△ABP中，PA＋PB＞AB①.
同理，可得PB＋PC＞BC②，PA＋PC＞AC③.
①＋②＋③，得2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋AC.
所以PA＋PB＋PC＞ (AB＋BC＋AC).
三角形中线在面积问题中的应用
3． 如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线.若S△DEF＝2，则S△ABC等于( A )
A． 16 B． 14
C． 12 D． 10
A
4． 如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE，CE. 若△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积为( A )
A． 4 B． 5
C． 5.5 D． 6
A
5． 如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是( C )
A． 4 B． 6
C． 8 D． 16
C
6． 如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点.若阴影部分的面积为3，则△ABC的面积是( D )
A． 5 B． 6
C． 7 D． 8
D
7． 如图，△ABC的面积为1，分别倍长(延长一倍)AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2……按此规律，倍长2 025次后得到的△A2 025B2 025C2 025的面积为 .
72 025
三角形高的应用
8． 如图，△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，CH是AB边上的高线.试说明PD＋PE＝CH.
解：如图，连接AP.
因为S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
所以 ＋ ＝ .
因为AB＝AC，
所以PD＋PE＝CH.
拓展提问：在上述条件下，如图，点P是等边△ABC内任意一点，PF⊥BC于点F，则PD，PE，PF，CH之间的数量关系为
.
PD
＋PE＋PF＝CH
9． 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.如图，在△ABC中，∠C＝90°(∠A＜∠ABC)，点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为E，F. 若BC＝10，求DE＋DF的值.
解：因为S△ABP＝ AP·BC，S△ADP＝ AP·DF，
S△BDP＝ BP·DE，S△BDP＋S△ADP＝S△ABP，
所以 BP·DE＋ AP·DF＝ AP·BC.
又因为BP＝AP，所以 AP·DE＋ AP·DF＝ AP·BC.
所以DE＋DF＝BC＝10.
三角形角平分线的应用
10． 如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
(1)若∠A＝50°，求∠BOC的度数.
解：因为∠A＝50°，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.
因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
所以∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB.
所以∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝65°.
所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.
(2)在其他条件不变的情况下，若∠A＝n°，则∠BOC的度数为多少(用含n的式子表示)？
解：由(1)，得∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)
＝180°－ (∠ABC＋∠ACB)
＝180°－ (180°－∠A)
＝90°＋ ∠A
＝(90＋ )°.
11． 如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数；
解：因为∠B＝30°，∠C＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠CAE＝ ∠BAC＝50°.
因为AD是△ABC的高，∠C＝50°，
所以∠CAD＝90°－∠C＝90°－50°＝40°.
所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－40°＝10°.
(2)猜想：∠DAE与∠B，∠C有什么关系，并说明理由.
解：∠DAE＝ (∠C－∠B)，理由如下：
由(1)，得∠CAE＝ ∠BAC＝ (180°－∠B－∠C)，
∠CAD＝90°－∠C，
所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝ (180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝ (∠C－∠B).(共17张PPT)
第四章 三角形
第5课 全等三角形的判定(1)——SSS
全等三角形的对应边 ，对应角 .
相等
相等
如图，在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS).
全等三角形的判定(SSS)
定理： 的两个三角形全等(SSS).
几何语言：
三边分别相等
如图，已知AC＝AD，BC＝BD. 试说明△ABC≌△ABD.
解：在△ABC和△ABD中，
所以△ABC≌△ABD(SSS).
如图，AB＝CD，AD＝BC. 试说明∠B＝∠D.
解：如图，连接AC.
在△ABC和△CDA中，
所以△ABC≌△CDA(SSS).
所以∠B ＝∠D.
作辅助线构造全等三角形.
已知三边作三角形
(教材P107)已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝BC＝a，AC＝b.
解：如图，△ABC即为所求.
如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定△C1O1D1≌△COD的依据是 .
SSS
三角形的稳定性
以下不是利用三角形稳定性的是( C )
A． 在门框上斜钉一根木条
B． 高架桥的三角形结构
C． 伸缩衣架
D． 屋顶的三角形钢架
C
如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( D )
D
A． A，G两点之间
B． G，H两点之间
C． B，F两点之间
D． E，G两点之间
基础过关
1． (2023·揭阳揭东区期末)如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是( A )
A． 三角形的稳定性 B． 对顶角相等
C． 垂线段最短 D． 两点之间线段最短
A
2． (教材P100改编)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是它的一条中线.试说明∠BAD＝∠CAD.
解：因为D是BC的中点，
所以BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SSS).
所以∠BAD ＝∠CAD.
3． 如图，已知：线段a，b，m，求作△ABC，使BC＝2a，AB＝b，BC边上的中线为m(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，△ABC即为所求.
能力过关
4． 如图，AB和CD相交于点O，且AB＝CD，AC＝BD，∠A与∠D相等吗？为什么？
解：∠A＝∠D. 理由如下：
如图，连接BC.
在△ABC和△DCB中，
所以△ABC≌△DCB(SSS).
所以∠A＝∠D.
思维过关
5． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC的三等分点，AD＝AE. 试说明△ABE≌△ACD.
解：因为D，E是BC的三等分点，
所以BD＝DE＝CE.
所以BD＋DE＝DE＋CE，即BE＝CD.
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD (SSS).
6． 如图，点A， D， C， F在同一条直线上，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF.
(1)试说明△ABC≌△DEF；
解：在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS).
(2)若∠A＝60°，∠B＝90°，求∠F的度数.
解：由(1)可知，△ABC≌△DEF，
所以∠F＝∠ACB.
因为∠A＝60°，∠B＝90°，
所以∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(60°＋90°)＝30°.
所以∠F＝∠ACB＝30°.(共15张PPT)
第四章 三角形
第6课 全等三角形的判定(2)——ASA、AAS
全等三角形的判定(ASA)
定理： 分别相等的两个三角形全等(ASA).
几何语言：
两角及其夹边
如图，在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA).
如图，已知AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，OA＝OC. 试说明△AOD≌△COB.
解：在△AOD和△COB中，
所以△AOD≌△COB(ASA).
如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O. 试说明△AEC≌△BED.
解：因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED，
即∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
所以△AEC≌△BED(ASA).
已知两角及夹边作三角形
(教材P101)尺规作图：已知∠α，∠β，线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠β，AB＝a(要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母).
解：如图，△ABC即为所求.
小明不小心在一个三角形上洒了一片墨水，请用尺规帮小明重新画一个三角形使它与原来的三角形完全相同(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，△ABC即为所求.
全等三角形的判定(AAS)
定理： 的两个三角形全等(AAS).
几何语言：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
如图，在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF( ).
AAS
如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C，AD＝AE. 试说明△ABD≌△ACE.
解：因为∠BAC＝∠DAE＝90°，
所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(AAS).
如图，AD，BC相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.试说明AD＝BC.
解：在△AOC和△BOD中，
所以△AOC≌△BOD(AAS).
所以OA＝OB，OC＝OD.
所以OA＋OD＝OB＋OC. 所以AD＝BC.
基础过关
1． 【应用意识】(教材P108改编)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1，2，3，4的四块)，将其中的一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃，应该带( B )
A． 第1块
B． 第2块
C． 第3块
D． 第4块
B
2． 如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE. 试说明△ABD≌△BCE.
解：因为B是线段AC的中点，
所以AB＝BC.
因为AD∥BE，所以∠A＝∠EBC.
因为BD∥CE，所以∠DBA＝∠C.
在△ABD与△BCE中，
所以△ABD≌△BCE(ASA).
能力过关
3． (2023·河源紫金县期末)如图，在△ABC中，点E，F在BC上，且BE＝CF. 点D为平面内一点，且满足AC∥BD，AE∥DF. 试说明△EAC≌△FDB.
解：因为BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
因为AC∥BD，AE∥DF，
所以∠C＝∠FBD，∠AEC＝∠DFB.
在△EAC和△FDB中，
所以△EAC≌△FDB(ASA).
4． (2023·揭阳榕城区期末)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E.
(1)若∠C＝40°，求∠D的度数；
解：因为AD∥BC，∠C＝40°，
所以∠DAC＝∠C＝40°.
因为DE⊥AC，所以∠DEA＝90°.
所以∠D＝90°－∠DAC＝50°.
(2)若AD＝AC，试说明△DEA≌△ABC.
解：在△DEA和△ABC中，
所以△DEA≌△ABC(AAS).
思维过关
5． 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H，已知EB＝3，EC＝EA＝5，则CH的长是( B )
A． 1 B． 2
C． D．
B(共15张PPT)
第四章 三角形
第4课 全等三角形
全等三角形
(1)定义：能够 的两个三角形叫作全等三角形(即形状、大小完全相同).
(2)表示方法：如图，△ ≌△ .
通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
完全重合
ABC
DEF
(3)性质：全等三角形的对应边 ，对应角 .
相等
相等
如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重叠.
(1)△ABC≌ ；
(2)AB的对应边是 ，BC的对应边是 ；
△ADC
AD
DC
(3)∠BAC的对应角是 ，∠B的对应角是 .
∠DAC
∠D
如图，△AOC≌△DOB，下列结论错误的是( C )
C
A． ∠C和∠B是对应角
B． ∠AOC和∠DOB是对应角
C． OA与OB是对应边
D． AC和DB是对应边
如图，已知△ABD≌△CDB，完成下面的推理过程.
(1)因为△ABD≌△CDB，
所以AB＝ ，AD＝ ，
∠A＝ ，∠ADB＝ .
(2)因为△ABD≌△CDB，
所以∠ABD＝∠ .
所以AB∥ .
CD
CB
∠C
∠CBD
CDB
CD
如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF. 试说明BE＝CF.
解：因为△ABC≌△DEF，
所以BC＝EF.
所以BC－EC＝EF－EC.
所以BE＝CF.
(教材P97)如图，已知△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠C＝20°，求∠BEC的度数.
解：因为△ABE≌△ACD，
所以∠B＝∠C＝20°.
因为∠A＝60°，
所以∠AEB＝180°－∠B－∠A＝180°－20°－60°＝100°.
所以∠BEC＝180°－∠AEB＝180°－100°＝80°.
如图，△ABC≌△ADE. 试说明∠1＝∠2.
解：因为△ABC≌△ADE，
所以∠BAC＝∠DAE.
所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.
所以∠1＝∠2.
基础过关
1． 下列说法中正确的是( D )
A． 全等三角形是指形状相同的两个三角形
B． 全等三角形是指面积相等的两个三角形
C． 两个等边三角形是全等三角形
D． 周长相等的两个三角形不一定全等
D
2． 如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是( D )
A． ∠BAC＝∠DAE
B． BC＝DE
C． AB＝AD
D． AB＝BD
D
3． 如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC的长为( A )
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
A
4． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点F，△ADC≌△BDF. 若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为( C )
A． 24
B． 18
C． 12
D． 8
C
能力过关
5． 如图，△ABC≌△ADE，AD，BC交于点O，点C在DE上.试说明∠1＝∠2.
解：因为△ABC≌△ADE，所以∠B＝∠D.
又因为∠AOB＝∠DOC，
∠1＝180°－(∠B＋∠AOB)，
∠2＝180°－(∠D＋∠DOC)，
所以∠1＝∠2.
6． 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE. 试说明BD＝DE＋CE.
解：因为△BAD≌△ACE，
所以BD＝AE，AD＝CE.
又因为A，D，E三点在同一条直线上，
所以AE＝DE＋AD.
所以BD＝DE＋CE.
思维过关
7． (分类讨论思想)已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x＋1.若这两个三角形全等，则x的值为( A )
A． 2 B． 2或
C． 或 D． 2或 或
A(共14张PPT)
第四章 三角形
第2课 三角形的三边关系
三角形的分类
(1)有两边 的三角形叫作等腰三角形.如图，腰是 ，底边是 ，底角是 ，顶角是 .
(2) 的三角形叫作等边三角形.
相等
AB，AC
BC
∠B，∠C
∠A
三边都相等
(3)三角形的分类：
按角分 按边分
有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是( B )
B
A． ①对，②不对
B． ②对，①不对
C． ①②都不对
D． ①②都对
等边三角形是特殊的等腰三角形.
(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝DE＝EC＝AD＝AE，则图中共有等腰三角形( B )
A． 3个 B． 4个
C． 5个 D． 6个
B
(2)如图表示三角形的分类，则A表示的是 .
等边三角形
三角形的三边关系
(1)探究：如图，从点A到点B，由两点之间线段最短，可知最短的路线是第 条(填序号)，所以AC＋BC AB.
如图，分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，交AB于点E，D.
②
＞
因为AC＝AE，BC＝BD，所以AB－BC＝AB－ ＝ .
因为AD＜AE，所以AB－BC AC.
BD
AD
＜
(2)归纳：三角形任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边.
大于
小于
(2023·河源东源县期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( A )
A． 9，6，13 B． 6，8，16
C． 18，9，8 D． 3，5，9
A
判断能构成三角形的方法：较短的两边之和大于最长的边.
(1)已知三角形的三边长分别是4，5，x，则x的取值范围是 .
(2)从长分别是1 cm，3 cm，5 cm，7 cm的小木条中，任意挑选三根摆一个三角形，则这个三角形的周长为 .
(教材P90)在△ABC中，a＝4，b＝2.若第三边c的长是偶数，则c的长是 .
一个等腰三角形，周长为20 cm，一边长为6 cm，则其他两边长分别是 .
1＜x＜9
15 cm
4
8 cm，6 cm或7 cm，7 cm
解决与等腰三角形有关的计算问题时，常出现两种错误：
(1)因忘掉分类讨论而漏解：当等腰三角形的底边长和腰长不确定时，需要分类讨论；
(2)因忽视三角形的三边关系而多解.
基础过关
1． (2023·梅州大埔县期末)劳动课上，小莉要用三根木棒首尾相接钉一个三角形框架，现有两根木棒长分别为4 cm，5 cm，则第三根木棒的长可以取( B )
A． 1 cm B． 4 cm
C． 9 cm D． 10 cm
B
2． 若等腰三角形有两边长分别为6 cm和3 cm，则该等腰三角形的周长是( C )
A． 9 cm B． 12 cm
C． 15 cm D． 12 cm或15 cm
C
能力过关
3． 设△ABC 三边长分别为 a， b， c，其中 a， b 满足 ＋(a－b－4)2 ＝0，则c的取值范围为 .
4． 用长为5 cm，7 cm，9 cm，13 cm的四根小木棒能摆出不同形状的三角形的个数为( C )
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
4＜c＜6
C
思维过关
5． 【推理能力】已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
解：因为(a－b)2＋(b－c)2＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0.
所以a＝b＝c.
所以△ABC是等边三角形.
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最小值与最大值.
解：因为a＝5，b＝2，
所以5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.
因为c为整数，所以c＝4，5，6.
所以当c＝4时，△ABC的周长最小，最小值为5＋2＋4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长最大，最大值为5＋2＋6＝13.(共17张PPT)
第四章 三角形
第3课 三角形的高线、中线和角平分线
三角形的高线
(1)从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的 叫作三角形的高线，简称三角形的高.
(2)三角形的三条高所在的直线交于一点.
顶点
垂线
线段
(教材P93)如图，在△ABC中，BC边上的高是 ，AB边上的高是 ；在△BCE 中，BE边上的高是 ，EC边上的高是 ；在△ACD中，AC边上的高是 ，CD边上的高是 ，AD边上的高是 .
AF
CE
CE
BE
CD
AC
CE
拓展提问：(等面积法)在△ACD中，AC＝12，CD＝5，AD＝13，则CE＝ .
(2023·佛山顺德区期末)在如图所示的图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是( C )
C
锐角三角形的三条高交于三角形 一点；直角三角形的三条高交于 ；钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形 一点.
内部
直角顶点
外部
三角形的中线
(1)在三角形中，连接一个顶点与它 的线段，叫作这个三角形的中线.
(2)三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的 .
对边中点
重心
(3)三角形一边上的中线把原三角形分成两个 相等的三角形.
几何语言：如图，AD是△ABC的中线，则BD＝CD＝ BC，S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC.
面积
如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，DE＝3，则EC＝ .若AB＝7，AD＝5，且△ABE的周长为16，则△AED的周长是 .
9
14
如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线.若△AEC的面积等于3，则△ACD的面积等于 ，△ABC的面积等于 .
6
12
三角形的角平分线
(1)在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的
与 之间的 叫作三角形的角平分线.
(2)三角形的三条角平分线 .
顶点
交点
线段
交于一点
(教材P92)如图，在△ABC中，∠BAC＝68°，∠B＝36°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝ °
110
如图，在△ABC中，BE是角平分线，DE平行于BC，则∠DBE ∠DEB(填“＞”“＜”或“＝”).
＝
基础过关
1． 如图，在△ABC中，AD 为中线，BE 为角平分线，下面四个等式：①∠BAD＝∠CAD；②∠ABE＝∠CBE；③BD＝DC；④AE＝EC. 其中正确的是 .
②③
2． 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝6 cm，S△ABD＝12 cm2，则BC的长是 .
8 cm
能力过关
3． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△BEF＝2 cm2，则S△ABC＝ ，S△ABD＝ .
8 cm2
4 cm2
4． 【推理能力】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，连接BG并延长交AC于点E，其满足BE⊥AC，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H. 下列判断：
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③AH是△ACF的角平分线和高线；④AE是△ABG的边BG上的高线.
其中正确的有 .
③④
思维过关
5． 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10，CE⊥AB，AD⊥BC，AD和CE交于点F，∠B＝55°.
(1)∠AFC的度数为 ；
125°
(2)若AD＝4，求CE的长.
解：因为CE⊥AB，AD⊥BC，
所以S△ABC＝ BC·AD＝ AB·CE.
因为AB＝6，BC＝10，AD＝4，
所以CE＝ ＝ ＝ .(共14张PPT)
第四章 三角形
微专题4 三角形全等的四大常考模型
平移模型
(1)模型特征：如图，沿同一直线平移可使两三角形重合.
(2)判断三角形全等的关键：
①加(减)共线部分，得某一对应边相等；
②利用平行线的性质找对应角相等.
1． 如图，C是AB的中点，CD∥BE，且CD＝BE. 试说明△ACD≌△CBE.
解：因为C是AB的中点，
所以AC＝CB.
因为CD∥BE，
所以∠ACD＝∠B.
在△ACD和△CBE中，
所以△ACD≌△CBE(SAS).
2． (2023·中山期中改编)如图，点A，C，F，B在同一条直线上，AD∥CE，AC＝BF，∠D＝∠E. 试说明△AFD≌△CBE.
解：因为AD∥CE，所以∠A＝∠BCE.
因为AC＝BF，
所以AC＋CF＝BF＋CF，即AF＝CB.
在△AFD和△CBE中，
所以△AFD≌△CBE(AAS).
翻折模型
(1)模型特征：如图，所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.
(2)判断三角形全等的关键：
①找公共边、中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等；
②找公共角、垂直、对顶角等条件得对应角相等.
3． 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C. 试说明△ABF≌△DCE.
解：因为BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF.
所以BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
所以△ABF≌△DCE(SAS).
4． 如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架如图②所示，已知AC＝AD，∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC. 试说明AB＝AE.
解：因为∠BAD＝∠EAC，
所以∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD，
即∠BAC＝∠EAD.
在△BAC和△EAD中，
所以△BAC≌△EAD(AAS).所以AB＝AE.
旋转模型
(1)模型特征：如图，绕某顶点旋转(或旋转后再平移)可得两三角形重合.
(2)判断三角形全等的关键：加(减)共顶点的角的公共角部分得一组对应角相等.
5． 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF.
(1)试说明△BDE≌△CDF；
解：因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD.
因为BE∥CF，所以∠DBE＝∠DCF.
在△BDE和△CDF中，
所以△BDE≌△CDF(ASA).
(2)若AE＝15，AF＝7，则DE＝ .
4
6． 如图①是两个大小不同的三角板叠放在一起，图②是由它得到的抽象几何图形，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，C，E在同一条直线上，BC＝8 cm，CE＝4 cm，连接DC. 现有一只壁虎以2 cm/s的速度从C处往D处爬，壁虎爬到D点所用的时间为 s.
6
一线三等角模型
(1)模型特征：如图，一条直线上有三个角相等，也可把一线三等角模型平移一定的距离.
(2)判断三角形全等的关键：
若∠ABC＝∠AFE＝∠D，
则∠1＋∠2＝180°－∠AFB＝
∠2＋∠3，即∠1＝∠3.
7． 解决问题：
(1)如图①，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC. 猜想DE，AD，BE之间的数量关系： .
DE＝AD＋BE
解：成立.理由如下：
因为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB，∠BCE＋∠ACD＝180°－∠ACB，∠ACD＋∠CAD＝180°－∠ADC，
所以∠CAD＝∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
所以△ADC≌△CEB(AAS).所以AD＝CE，CD＝BE.
所以DE＝CE＋CD＝AD＋BE.
(2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，AC＝BC，请问(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
(3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF，∠A＝∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，则AB的长为 .
8 (共17张PPT)
第四章 三角形
第1课 三角形及其内角和
三角形的有关概念
(1)三角形的定义：由不在 上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形.
同一直线
首尾顺次
(2)三角形的表示方法：如图，用符号“ ”表示顶点分别为A，B，C的三角形.它的三个内角分别是 ， ，
；它的三条边分别是 ， ， ，也可以表示为 ， ， ；AC边的对角是 ，∠C的对边是 .
△ABC
∠A
∠B
∠C
BC
AC
AB
a
b
c
∠B
AB(或c)
下面用三根火柴组成的图形中，是三角形的是( C )
如图，∠BAC的对边是( C )
C
C
A． BD B． DC
C． BC D． AD
探索三角形的内角和
三角形三个内角的和等于180°.
(教材P86)小丽撕下三角形纸片的一个角拼成如图所示，即可证明三角形的内角和为180°.试说明理由.
解：由题意，得∠A＝∠ACF.
所以AB∥CF.
所以∠B＋∠BCF＝180°.
所以∠B＋∠ACB＋∠ACF＝180°.
所以∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.
在△ABC中，
(1)∠C＝70°，∠A＝50°，则∠B＝ °；
(2)∠B＝100°，∠A＝∠C，则∠C＝ °；
(3)∠A＝90°，则∠B＋∠C＝ °；
(4)∠C＝∠B＝4∠A，则∠A＝ °.
60
40
90
20
三角形按角分类
按三角形内角的大小把三角形分为三类：三个内角都是锐角的是
三角形；有一个内角是直角的是 三角形；有一个内角是钝角的是 三角形.
锐角
直角
钝角
A． 锐角三角形 B． 钝角三角形
C． 直角三角形 D． 不确定
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是 .
直角三角形
(教材P87)已知△ABC的两个内角分别为20°和30°，则△ABC一定是( B )
B
直角三角形及其性质
(1)直角三角形的表示方法：如图，用符号“ ”表示“直角三角形ABC”.直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为直角三角形的 .
(2)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角 .
几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝ °.
Rt△ABC
斜边
直角边
互余
90
如图是一个长方形纸片，裁剪后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )
A． 30° B． 60°
C． 90° D． 120°
C
(教材P93改编)在直角三角形中，较大锐角是较小锐角的2倍，则较大锐角的度数为( B )
A． 30° B． 60°
C． 90° D． 45°
B
基础过关
1． 如图，D，E，F，G是线段BC上的点.
(1)以AC为边的三角形有 ；
(2)图中共有 个三角形.
△ABC，△ADC，△AEC，△AFC，△AGC
15
2． 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶ 4∶ 5，则∠C等于( C )
A． 45° B． 60°
C． 75° D． 90°
拓展提问：△ABC是 三角形.
C
锐角
能力过关
3． 如图，三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( D )
A． 锐角三角形
B． 直角三角形
C． 钝角三角形
D． 以上都有可能
D
4． (2023·清远连州市期末)在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角小10°，则较大的锐角的度数是 .
50°
思维过关
5． 【应用意识】(教材P119改编)一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°， ∠ABD和∠ACD分别是32°， 21°.检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格.请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
解： 如图，连接BC.
因为∠BDC＝148°，∠1＋∠2＋∠BDC＝180°，
所以∠1＋∠2＝180°－148°＝32°.
所以∠ACB＋∠ABC ＝∠ABD＋∠ACD＋∠1＋∠2＝32°＋21°＋32°＝85°.
若∠A＝90°，则∠A＋∠ACB＋∠ABC＝85°＋90°≠180° .
所以∠A≠90°，即这个零件不合格.
构造三角形，利用三角形的内角和求解.(共17张PPT)
第四章 三角形
第10课 第四章复习
三角形的边与角
1． (2023·清远期末改编)小明有两根长度分别为4 cm和7 cm的木棒，他想钉一个三角形的木框.现有4根木棒供他选择，其长度分别为3 cm，6 cm，11 cm，12 cm.小明可以选择的木棒长度为 .
6 cm
A． 锐角三角形 B． 直角三角形
C． 钝角三角形 D． 等边三角形
2． 符合条件∠A＝ ∠B＝ ∠C的△ABC是( B )
B
三角形的高线、中线和角平分线
3． 如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线.若AC＝24 cm，则AE＝ cm.若∠ABC＝72°，则∠ABD＝ °.
12
36
4． 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB的度数为 .
100°
全等三角形的性质与判定
5． 如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长.其依据是( B )
A． SSS B． SAS
C． ASA D． AAS
B
6． 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一个条件后，仍然不能使△ABC≌△DEF，这个条件可能是( D )
A． ∠A＝∠D
B． AC∥DF
C． BE＝CF
D． AC＝DF
D
7． 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个卷尺.他通过如下操作：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③测量出DE的长为a m，FG的长为b m.若a＝b，则说明∠B和∠C是相等的.工人师傅的操作是否合理？请说明理由.
解：工人师傅的操作合理.理由如下：
在△BDE和△CFG中，
所以△BDE≌△CFG(SSS).所以∠B＝∠C.
8． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC.
(1)试说明△ABD≌△EDC；
解：因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠EDC.
在△ABD和△EDC中，
所以△ABD≌△EDC(AAS).
(2)若AB＝2，BE＝3，求CD的长.
解：由(1)得△ABD≌△EDC，
所以DE＝AB＝2，BD＝CD.
所以CD＝BD＝DE＋BE＝2＋3＝5.
9． 如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD的周长为19 cm，则AB＝ .
8 cm
10． 如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，CE与BD相交于点H. 已知AD＝DH＝1，CD＝5，则△ABC的面积为 .
15
11． (分类讨论思想)如图，AB＝7 cm，AC＝5 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2 cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动，它们运动的时间为 t s(当点P运动结束时，点Q运动随之结束).当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出此时t的值.
解：分两种情况：
①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP.
可得5＝7－2t，解得t＝1.
②若△ACP≌△BQP，则AP＝BP.
可得2t＝7－2t，解得t＝ .
综上所述，t＝1或t＝ .
12． 【应用意识】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上关于社会主义核心价值观的标语.
如图，AB∥CD，OB＝OD，AB＝18 m.求标语CD的长度.
解：因为AB∥CD，
所以∠ABO＝∠CDO.
在△ABO与△CDO中，
所以△ABO≌△CDO(ASA).
所以CD＝AB＝18 m.
13． 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD相交于点F.
(1)试说明AE＝BD；
解：因为AC⊥BC，DC⊥EC，
所以∠ACB＝∠ECD＝90°.
所以∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD.
又因为AC＝BC，DC＝EC，
所以△ACE≌△BCD(SAS).
所以AE＝BD.
(2)求∠AFD的度数.
解：因为△ACE≌△BCD，
所以∠A＝∠B.
设AE与BC交于点O，如图.
所以∠AOC＝∠BOF.
所以∠A＋∠AOC＋∠ACO＝∠B＋∠BOF＋∠BFO＝180°.
所以∠BFO＝∠ACO＝90°.
所以∠AFD＝180°－∠BFO＝90°.(共14张PPT)
第四章 三角形
第7课 全等三角形的判定(3)——SAS
全等三角形的判定(SAS)
定理： 分别相等的两个三角形全等(SAS).
几何语言：
两边及其夹角
如图，在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SAS).
(教材P106)如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB呢？请说明理由.
解：两对三角形都全等.理由如下：
在△ACE和△ADE中，
所以△ACE≌△ADE(SAS).
在△ACB和△ADB中，
所以△ACB≌△ADB(SAS).
如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC. 试说明△ABC≌△EBD.
解：因为∠ABD＝∠EBC，
所以∠ABD－∠CBD＝∠EBC－∠CBD.
所以∠ABC＝∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
所以△ABC≌△EBD(SAS).
已知两边及夹角作三角形
(教材P103)如图，已知线段a，b和∠α，用尺规作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α(要求：不写作法，保留作图痕迹).
解：如图，△ABC即为所求.
作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
已知：(如图)线段a和∠α.
求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠A＝∠α.
解：如图，△ABC即为所求.
基础过关
1． 如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE. 如果由“SAS”可以判定△ABD≌△ACE，则需补充条件( A )
A． ∠EAD＝∠BAC
B． ∠B＝∠C
C． ∠D＝∠E
D． ∠EAB＝∠CAD
A
2． 如图，已知AB，CD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD. 试说明△AOD≌△COB.
解：在△AOD和△COB中，
所以△AOD≌△COB(SAS).
3． 如图，点B，C，E，F共线，AB＝DC，AB∥DC，BF＝CE. 试说明△ABE≌△DCF.
解：因为BF＝CE，
所以BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.
因为AB∥DC，所以∠B＝∠C.
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF(SAS).
4． 如图，AD为△ABC的角平分线，点E在边AB上，AE＝AC. 若∠ADC＝60°，求∠BDE的度数.
解：因为AD平分∠BAC，
所以∠EAD＝∠CAD.
在△EAD和△CAD中，
，
所以△EAD≌△CAD(SAS).
所以∠ADE＝∠ADC＝60°.
所以∠BDE＝180°－∠ADE－∠ADC＝180°－60°－60°＝60°.
能力过关
5． 【几何直观】如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是( D )
A． ∠1＝∠2
B． ∠2＝2∠1
C． ∠2＝90°＋∠1
D． ∠1＋∠2＝180°
D
6． 如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D. 若∠FAC＝40°，则∠BFE等于( B )
A． 35°
B． 40°
C． 45°
D． 50°
B
思维过关
7． 如图，已知线段a，b和∠α＝40°，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？AB＝a，BC＝b，∠A＝∠α.若能，请作出图形；若不能，请说明理由.
解：不能.理由如下：
如图，能作出两个三角形：△ABC和△ABC’，
所以不能作出唯一的符合要求的三角形.(共18张PPT)
第四章 三角形
微专题5 巧构全等三角形
巧用“公共边”构造全等三角形
特点：条件往往给出两组边相等，连接公共边即可得到第三组边相等，从而利用“SSS”证全等.
1． 如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝75°，∠ECD＝145°，求∠B的度数.
解：如图，连接AC.
在△ACD和△ACE中，
所以△ACD≌△ACE(SSS).
所以∠D＝∠AEC＝75°.所以∠BEC＝105°.
因为∠ECD＝180°－∠ECB＝∠B＋∠BEC，
所以∠B＝∠ECD－∠BEC＝∠145°－105°＝40°.
2． 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E，F分别是DC，BC的中点.试说明AE＝AF.
解：如图，连接AC.
在△ACD和△ACB中，
所以△ACD≌△ACB(SSS).
所以∠ACE＝∠ACF.
因为BC＝DC，E，F分别是DC，BC的中点，
所以CE＝CF.
在△ACE和△ACF中，
所以△ACE≌△ACF(SAS).
所以AE＝AF.
巧用“倍长中线法”构造全等三角形
特点：将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.
3． 如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是( D )
A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24
C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19
D
延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，可证明△ABD≌△ECD.
拓展变式：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是( C )
A． 2＜AD＜8 B． 3＜AD＜5
C． 1＜AD＜4 D． 无法确定
C
4． 如图，CE，CB分别是△ABC与△ADC的中线，且AC＝AB，∠DBC＝∠CBA＋∠A. 试说明CD＝2CE.
解：如图，延长CE至点F，使CE＝FE，连接BF.
所以CF＝2CE.
因为CE是△ABC的中线，所以AE＝BE.
在△ACE和△BFE中，
所以△ACE≌△BFE(SAS).
所以AC＝BF，∠A＝∠EBF.
因为CB是△ADC的中线，AB＝AC，
所以AB＝AC＝BF＝BD，∠ACB＝∠ABC.
因为∠DBC＝180°－∠ABC＝∠ACB＋∠A＝∠CBA＋∠A，∠FBC＝∠CBA＋∠EBF，
所以∠DBC＝∠FBC.
在△DBC和△FBC中，
所以△DBC≌△FBC(SAS).所以CD＝CF＝2CE.
巧用“截长补短法”构造全等三角形
特点：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等.
5． 如图，已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E. 试说明AB＝AC＋BD.
解：如图，在AB上取一点F，使AF＝AC，连接EF.
因为EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，
所以∠CAE＝∠FAE，∠EBF＝∠EBD.
在△ACE和△AFE中，
所以△ACE≌△AFE(SAS).
所以∠C＝∠AFE.
因为AC∥BD，所以∠C＋∠D＝180°.
又因为∠AFE＋∠EFB＝180°，
所以∠EFB＝∠D.
在△BEF和△BED中，
所以△BEF≌△BED(AAS).所以BF＝BD.
因为AB＝AF＋BF，所以AB＝AC＋BD.
6． 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD. 试说明EF＝BE＋DF.
解：如图，延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM.
因为∠ABC＋∠D＝180°，∠ABM＋∠ABC＝180°，
所以∠ABM＝∠D.
在△ABM和△ADF中，
所以△ABM≌△ADF(SAS).
所以AM＝AF，∠BAM＝∠DAF.
因为∠EAF＝ ∠BAD，
所以∠DAF＋∠BAE＝ ∠BAD＝∠EAF.
所以∠BAM＋∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF.
在△AME和△AFE中，
所以△AME≌△AFE(SAS).所以EF＝ME.
因为ME＝BE＋BM＝BE＋DF，所以EF＝BE＋DF.
巧用“角平分线”构造全等三角形
特点：通过延长线段或截取线段，使两个角所在的三角形全等.
7． 如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP. 若S△BPC＝12 cm2，求△ABC的面积.
解：如图，延长AP交BC于点D.
因为BP是∠ABC的平分线，
所以∠ABP＝∠DBP.
因为AP⊥BP，
所以∠APB＝∠DPB＝90°.
在△BAP和△BDP中，
所以△BAP≌△BDP(ASA).所以AP＝DP.
所以S△APC＝S△DPC，S△ABP＝S△BPD.
因为S△BPC＝12 cm2，所以S△BPD＋S△DPC＝12 cm2.
所以S△ABP＋S△APC＝12 cm2.所以S△ABC＝24 cm2.
8． 如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，试说明AB＝CD.
请补全下面的解答过程：
解：如图，过点B作BF⊥DE于点F，
过点C作CG⊥DE于点G.
巧用“垂直法”构造全等三角形
特点：通过作垂线使相等角(或边)所在三角形全等.
解：所以∠F＝∠CGE＝∠DGC＝90°.
因为E是BC的中点，
所以BE＝CE.
在△BFE和△CGE中，
所以△BFE≌△CGE(AAS).
所以BF＝CG.
在△ABF和△DCG中，
所以△ABF≌△DCG(AAS).所以AB＝CD.(共17张PPT)
第四章 三角形
第8课 全等三角形的判定综合
全等三角形的判定综合
选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表所列：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
(2023·深圳福田区期末)如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，如果只添加一个条件(不加辅助线)使△ABC≌△DEC，那么添加的条件不能为( A )
A
A． AB＝DE
B． ∠B＝∠E
C． BC＝EC
D． ∠A＝∠D
(2023·甘孜州)如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( B )
A． ∠A＝∠D
B． AO＝BO
C． AC＝BO
D． AB＝CD
B
如图，AD＝AB，BC＝CD. 试说明DE＝BE.
解：在△ADC和△ABC中，
所以△ADC≌△ABC(SSS).
所以∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
所以△ADE≌△ABE(SAS).
所以DE＝BE.
如图，AB∥CD，OA＝OD，点F，D，O，A，E在同一直线上，AE＝DF. 试说明BE∥CF.
解：因为AB∥CD，
所以∠ABO＝∠DCO，∠BAO＝∠CDO.
在△AOB和△DOC中，
所以△AOB≌△DOC(AAS).所以OC＝OB.
因为OA＝OD，AE＝DF，
所以OA＋AE＝OD＋DF，即OE＝OF.
在△COF和△BOE中，
所以△COF≌△BOE(SAS).所以∠F＝∠E.
所以BE∥CF.
基础过关
1． (2023·中山期中)如图，在△ABC与△BAD中，AC＝BD，增加下列条件不能使△ABC≌△BAD的是( A )
A． ∠C＝∠D
B． ∠BAC＝∠ABD
C． AE＝BE
D． CE＝DE
A
2． 如图，∠B＝∠C，增加下列条件可以判定△ABD≌△ACE的是( B )
A． ∠1＝∠2
B． AB＝AC
C． BD＝AD
D． DC＝AD
B
能力过关
3． 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB. 若AB＝7，CF＝4，则BD的长是( C )
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
C
4． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC边上一点，ED⊥AC，CE⊥AB，AB＝CE. 若BC＝2，DE＝5，则线段AD的长为 .
3
思维过关
5． 如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE.
(1)试说明△AOB≌△DOC；
解：在△AOB和△DOC中，
所以△AOB≌△DOC(AAS).
(2)求∠AEO的度数.
解：因为△AOB≌△DOC，所以AO＝DO.
因为点E是AD的中点，所以AE＝DE.
在△AOE和△DOE中，
所以△AOE≌△DOE(SSS).
所以∠AEO＝∠DEO.
又因为∠AEO＋∠DEO＝180°，
所以∠AEO＝∠DEO＝90°.
6． 【推理能力】如图，在①AB＝AC；②AD＝AE；③∠BAC＝∠DAE这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并按要求完成问题解答.
问题：若已知BD＝CE，∠ADB＝∠E，且 ，试说明△ABD≌△ACE.
在横线上填上所有能使问题有解的条件(只写序号)，并选择其中一种说明理由.
②或③
解：选择②AD＝AE. 理由如下：
在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(SAS).
[或选择③∠BAC＝∠DAE. 理由如下：
因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(AAS).](共16张PPT)
第四章 三角形
第9课 利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离
(教材P110)小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法.如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽檐，使视线通过帽檐，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处(A，O，B三点在同一水平直线上)，小明通过测量OB的长，即得到OA的长.小明这种方法的原理是( C )
C
A． SSS B． SAS
C． ASA D． AAS
(2023·深圳福田区期末)如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点.聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P(点P可以直接到达A点)，连接AP并延长到点D，使DP＝AP. 连接CD，并测量出它的长度为10 m，则A，B两点间的距离为 m.
10
如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5 m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°.
(1)试说明△ABP≌△PEF；
解：因为∠ABP＝∠PEF＝90°，∠APF＝90°，
所以∠FPE＋∠APB＝90°，∠FPE＋∠PFE＝90°.
所以∠APB＝∠PFE.
在△ABP与△PEF中，
所以△ABP≌△PEF(AAS).
(2)求BE的长.
解：由题意，得AB＝1.5×3＝4.5(m)，
EF＝7×1.5＝10.5(m).
由(1)，得△ABP≌△PEF，
所以BP＝EF＝10.5 m，PE＝AB＝4.5 m.
所以BE＝BP＋PE＝15 m.
小明利用一根长3 m的竿子CD来测量路灯杆AB的高度，方法如下：
如图，在地面上选一点P，使BP＝3 m，并测得∠APB＝70°，然后把CD在BP的延长线上左右移动，使CD∥AB，且∠CPA＝90°，此时测得BD＝11.2 m.
(1)求此时∠C的度数；
解：因为∠APB＝70°，∠CPA＝90°，
所以∠CPD＝20°.
因为CD∥AB，∠ABD＝90°，
所以∠CDP＝90°，所以∠C＝70°.
(2)求路灯杆AB的高度.
解：在△CPD和△PAB中，
所以△CPD≌△PAB(ASA).所以DP＝AB.
因为BD＝11.2 m，BP＝3 m，
所以DP＝BD－BP＝11.2－3＝8.2(m).
所以AB＝8.2 m.
利用三角形全等测距离，通过构造全等三角形，变不可测距离为可测距离.
方法： (1)延长法构造全等三角形；(2)垂直法构造全等三角形；(3)平行法构造全等三角形.
基础过关
1． 老师用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角.如图，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线.这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是( A )
A
A． SSS B． ASA
C． SAS D． AAS
2． (2023·河源东源县期末)如图，要测量小金河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C，D两点，且使BC＝CD. 从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A，C，E在一条直线上.若测量DE的长为28 m，则A，B两点之间的距离为 m.
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能力过关
3． 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm，当小红从水平位置CD下降30 cm时，小明离地面的高度是 cm.
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4． 在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X形转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝4 cm，EF＝6 cm，圆柱形容器的壁厚是( A )
A． 1 cm
B． 2 cm
C． 3 cm
D． 4 cm
A
思维过关
5． 如图，公园里有一条Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F. M恰好为BC的中点，且E，F，M在同一直线上.在道路BE上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：能，测出CF的长度即可.理由如下：
如图，连接EF.
因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.
因为M是BC的中点，所以BM＝CM.
在△BEM和△CFM中，
所以△BEM≌△CFM(ASA).
所以CF＝BE.
6． 某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间为池塘的长度，不能直接测量)，点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.
(1)试说明△ABC≌△DEF；
解：因为AB∥DE，所以∠ABC＝∠DEF.
在△ABC与△DEF中，
所以△ABC≌DEF(ASA).
(2)若BE＝100 m，BF＝30 m，求池塘FC的长.
解：因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF.
所以BF＋FC＝EC＋FC. 所以BF＝EC.
因为BE＝100 m，BF＝30 m，
所以FC＝100－30－30＝40(m).
