(共18张PPT)
第五章 图形的轴对称
第2课 轴对称的性质
轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴 ，对应线段 ，对应角 .
垂直平分
相等
相等
(1)如图，两个“14”的关系是 ；对应边：AB＝ ，CD＝ ，CE＝ ，DF＝ ；
对应角：∠1＝ ，∠3＝ .
成轴对称
A'B'
C'D'
C'E'
D'F'
∠2
∠4
(教材P123)如图，将一张纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，打开后铺平.
(2)若连接C和C'，设CC'交对称轴PH于点M，则CM＝ ，∠CMP＝∠C'MP＝ °，所以线段CC'被直线PH .
.
C'M
90
垂直平
分
如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝8 cm，DE＝10 cm，BC＝6 cm.
(1)连接AD，线段AD与直线MN的关系是 .
；
(2)∠F＝ °；
直线MN垂直平分线段
AD
90
(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.
解：因为△ABC与△DEF关于直线MN对称，
AC＝8 cm， DE＝10 cm， BC＝6 cm，
所以AB＝DE＝10 cm，DF＝AC＝8 cm，EF＝BC＝6 cm.
所以△ABC的周长为6＋8＋10＝24(cm)，
△DEF的面积为 ×6×8＝24(cm2).
利用轴对称的性质作图
如图，正方形网格的边长都为1.
(1)求出△ABC(顶点均在格点上)的面积；
解：S△ABC＝3×3－ ×3×1－ ×2×3－ ×2×1＝9－ －3－1＝ .
(2)画出△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1.
解：如图，△A1B1C1即为所求.
如图，正方形网格的边长都为1.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
(2)求△A1B1C1的面积.
解： ＝ ×3×4＋ ×3×2＝6＋3＝9.
利用轴对称的性质作图的步骤：①确定对称轴；②作出各点对称后的对应点；③按照原图形依次连接对应点.
基础过关
1． 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称.若∠A＝50°，∠C'＝30°，则∠B的度数为( D )
A． 30°
B． 50°
C． 90°
D． 100°
D
2． 如图，四边形ABCD关于直线l对称，有下列结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③BO＝DO；④AB⊥BC. 其中正确的是( B )
A． ①②
B． ②③
C． ①④
D． ③④
B
能力过关
3． 如图，已知点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，连接PN，PM. 若P1P2＝15，则△PMN的周长为 .
15
拓展提问：若∠AOB＝40°，则∠P1OP2＝ .
80°
4． 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，网格中有一个△ABC.
(1)请直接写出△ABC的面积为 ；
9
(2)作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'.
解：如图，△A'B'C'即为所求.
思维过关
5． 【几何直观】如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
E
∠D
3
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数.
解：因为∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
所以∠CAE＝108°－30°＝78°.
根据对称性，得∠EAF＝∠CAF＝ ∠CAE＝39°.
6． 【空间观念】(2024·揭阳惠来县月考)乐乐同学有张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图所示，最后折成的纸飞机如图所示，则∠AOB的度数为 .
45° (共9张PPT)
第五章 图形的轴对称
微专题6 等腰三角形中的分类讨论思想
腰、底边不明确
1． (2024·镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 .
2． (2024·河源紫金县期末)若一个等腰三角形的周长为32 cm，其中一边长为8 cm，则该等腰三角形的底边长为( A )
A． 8 cm B． 12 cm
C． 8 cm或16 cm D． 16 cm
6
A
顶角、底角不明确
3． (2024·茂名高州市月考)等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是( B )
A． 40° B． 40°或70°
C． 80°或70° D． 70°
B
4． 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶ 4，则这个等腰三角形顶角的度数为 .
120°或20°
5． 若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形底角的度数是( C )
A． 50° B． 80°
C． 50°或70° D． 80°或40°
6． 在等腰三角形中，有一个角是40°，它的一条腰上的高与底边的夹角是 .
C
20°或50°
三角形形状不明确
7． 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，求这个等腰三角形顶角的度数.
解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示.
由题意，得∠ABD＝56°，BD⊥AC.
所以∠A＝90°－56°＝34°.
所以此时等腰三角形顶角的度数为34°.
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示.
由题意，得∠ABD＝56°，BD⊥CD.
所以∠BAD＝90°－56°＝34°.
所以∠BAC＝180°－34°＝146°.
所以此时等腰三角形顶角的度数为146°.
综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为34°或146°.
8． 在等腰三角形ABC中，一腰上的中线把三角形的周长分为12 cm和15 cm两部分.求此三角形的腰和底边的长.
解：设腰长为x cm.
①当腰长与腰长的一半的和是12 cm时，
x＋ x＝12，解得x＝8.
所以底边的长为15－ ×8＝11(cm).
此时三角形的三边长为8 cm，8 cm，11 cm，能组成三角形.
②当腰长与腰长的一半的和是15 cm时，
x＋ x＝15，解得x＝10.
所以底边的长为12－ ×10＝7(cm).
此时三角形的三边长为10 cm，10 cm，7 cm，能组成三角形.
综上所述，此三角形的腰和底边的长分别为8 cm，11 cm或10 cm，7 cm.(共8张PPT)
第五章 图形的轴对称
微专题7 最短路径模型
两定点一动点(同侧、异侧)
1． (2024·珠海香洲区期中)如图，A，B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A，B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中，点A'是点A关于直线b的对称点，A'B分别交b，a于点C，D；点B'是点B关于直线a的对称点，B'A分别交b，a于点E，F. 则符合要求的输水和输煤气分管
道的连接点依次是( A )
A
A． F和C B． F和E
C． D和C D． D和E
2． 如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题：
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线l对称的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
(2)在直线l上画出点P，使PB1＋PC最小；
解：如图，点P即为所求.
(3)在直线l上画出点Q，使QA＋QC最小.
解：如图，点Q即为所求.
3． 如图，已知在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AB边的中点，AD＝6，点P是AD上的一动点，则PE＋PB的最小值为 .
6
4． 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F. 若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( C )
A． 6 B． 8
C． 10 D． 12
C
两动点一定点
5． (2024·绥化改编)如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点.当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为( B )
A． 140° B． 100°
C． 50° D． 40°
B
6． 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝36°，在边AB，BC上分别找一点E，F，使△DEF的周长最小，此时∠EDF的大小是 .
108° (共17张PPT)
第五章 图形的轴对称
第5课 简单的轴对称图形(3)——角
角平分线的性质
(1)角是轴对称图形， 所在的直线是它的对称轴.
角平分线
(2)角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
几何语言：如图，因为OP平分∠AOB，PE⊥OA， ，
所以 .
相等
PF⊥OB
PE＝PF
如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D. 下列结论错误的是( C )
C
A． PC＝PD
B． ∠CPO＝∠DPO
C． OC＝PC
D． OC＝OD
(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( C )
A． 4 B． 3
C． 2 D． 1
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2.若AB＝15，CD＝4，求△ABD的面积.
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.
因为∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
所以DE＝CD＝4.
所以△ABD的面积为 AB·DE＝ ×15×4＝30.
如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. 若△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，求DE的长.
解：如图，过点D作DF⊥BC于点F.
因为BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
所以DE＝DF.
＝ AB·DE＋ BC·DF＝ ×16DE＋ ×12DF＝70.
所以14DE＝70.解得DE＝5.
拓展提问：S△BDC＝ .
30
利用尺规作已知角的平分线
(教材P132)如图，AB＝AC.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点D；
解：如图，AD即为所求.
(2)试说明BD＝CD.
解：因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以BD＝CD.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.
(1)用直尺和圆规在AC上取一点D，使它到∠ABC两边的距离相等；
解：如图，点D即为所求.
(2)∠BDC的度数为 .
72°
基础过关
1． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D. 如果AC＝5 cm，那么AE＋DE等于( C )
A． 3 cm B． 4 cm
C． 5 cm D． 6 cm
C
2． (2024·中山期中)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( A )
A． M点 B． N点
C． P点 D． Q点
A
能力过关
3． 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是( C )
A． 8 B． 6
C． 4 D． 2
C
4． (整体思想)(2024·珠海期中)如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 .
42
思维过关
5． (1)如图①，已知OA和OB两条公路，C，D两个村庄.建立一个车站P，使车站到两个村庄的距离相等，即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离也相等.
解：如图①，点P即为所求.
(2)如图②，小镇准备在三条相互交叉的公路建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有 处.
4
6． 【模型观念】如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.
(1)PC和PD存在的数量关系是 ；
PC＝PD
解：如图，过点Р作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F.
所以∠PED＝∠PFC＝90°.
因为OM平分∠AOB，所以PE＝PF.
因为∠AOB＝90°，所以∠FPE＝90°.
因为∠2＋∠DPF＝∠FPE＝90°，∠1＋∠DPF＝∠CPD＝90°，
所以∠2＝∠1.
在△DPE和△CPF中，
所以△DPE≌△CPF(ASA).所以PD＝PC.
(2)请你说明(1)中结论成立的理由.(共17张PPT)
第五章 图形的轴对称
第6课 第五章复习
轴对称
1． (2024·揭阳惠来县期末)下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是( C )
C
2． 下列图中，哪个选项的左边图形与右边图形成轴对称( D )
D
轴对称的性质
3． 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C'＝48°，AB＝4，则A'B'＝ ，∠B＝ ，直线l与AA'的位置关系是 .
4
54°
l垂直平分AA'
4． (2024·江门鹤山市期中)如图，三角形纸片ABC，AB＝12，AC＝7，BC＝8，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 .
11
等腰三角形的性质
5． (2024·清远连州市期末)在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，则∠B＝ .
6． (2024·汕头潮南区期中)已知等腰三角形的一边长为4，一个内角为60°，则它的周长是 .
65°
12
线段的垂直平分线及角的平分线的性质
7． (2024·深圳坪山区期末)在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( A )
A． 60° B． 70°
C． 75° D． 85°
A
8． (2024·佛山期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( B )
A． 4
B． 3
C． 6
D． 5
B
9． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F为AD上的两点.若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是 .
6
10． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E. 若△ACE的周长是12，则△ABC的周长是( C )
A． 22
B． 15
C． 17
D． 18
C
11． (2024·深圳期中)如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( D )
D
A． 2.5 s
B． 3 s
C． 3.5 s
D． 4 s
12． (2024·清远英德市期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为7，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值为 .
13． (2023·梅州大埔县期末)如图，在若干个长度为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)求△ABC的面积；
解：△ABC的面积为2×4－ ×2×2－ ×1×2－
×1×4＝8－2－1－2＝3.
(3)在直线l上找到一点P，使PB＋PC的长最短，在图中标出这一点的位置.
解：如图，点P即为所求.
14． 【几何直观】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的对称图形△AD'E，连接CD'，有BD＝CD'.
(1)试说明△ABD≌△ACD'；
解：由题意，得△ADE≌△AD'E.
所以AD＝AD'.
在△ABD和△ACD'中，
所以△ABD≌△ACD'(SSS).
(2)若∠BAC＝100°，则∠DAE的度数为 .
50°
15． (2023·深圳罗湖区期末)如图，在3×3的正方形网格中，图中的△ABC为格点三角形(顶点均在格点上的三角形被称为格点三角形)，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形有( A )
A． 6个 B． 5个
C． 4个 D． 3个
A(共20张PPT)
第五章 图形的轴对称
第3课 简单的轴对称图形(1)——等腰三角形
等腰三角形的性质
(1)等腰三角形是 图形.
(2)等腰三角形 的平分线、 上的中线、 上的高重合(也称“ ”)，它们所在的直线是等腰三角形的 .
(3)等腰三角形的 相等.
轴对称
顶角
底边
底边
三线合一
对称轴
两个底角
(教材P133)在下列各图中，已知AB＝AC，则图中的x＝ ，y＝ .
填空：
(1)若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角的度数为 ；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，则它的底角的度数为 .
.
40
30
55°
70°或
55°
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，则下列结论中不一定正确的是( D )
D
A． ∠B＝∠C
B． AD⊥BC
C． ∠BAC＝2∠BAD
D． ∠B＝2∠BAD
如图，AB＝AC.
(1)若AD⊥BC，BC＝8，则BD＝ ；
(2)若D是BC的中点，∠BAC＝50°，则∠BAD＝ .
4
25°
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠C＝65°，则∠BAD的度数为 .
25°
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 若∠BAC＝50°，则∠CBE的度数为 .
25°
等边三角形的性质
(1)等边三角形的 相等，三个角相等且都等于 ；
(2)等边三角形有 条对称轴；
(3)等边三角形是特殊的 三角形.
三条边
60°
3
等腰
如图，若△ABC是等边三角形，D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED的度数为 ( C )
C
A． 30°
B． 60°
C． 75°
D． 90°
如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，延长BC到点E，使CE＝CD，则BE＝ .
9
基础过关
1． (2023·清远期末)已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数是( B )
A． 50° B． 65°
C． 80° D． 130°
B
2． (2024·河源期末)等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为( A )
A． 80°或50° B． 80°
C． 50° D． 50°或20°
A
3． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. 若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是 .
拓展提问：若S△ABC＝20，则AD＝ .
20
5
4． (2023·茂名电白区期中)如图，已知BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中等腰三角形有( C )
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 无法确定
C
能力过关
5． (2024·潮州期中)如图是由三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 .
180°
6． (方程思想)(2024·深圳罗湖区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC. 以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD. 若AB＝DB，则∠A＝ °.
36
思维过关
7． 如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.
(1)若△ADE是等边三角形，且∠BAC＝100°，则∠BAD的度数为 ；
20°
(2)试说明BD＝CE.
解：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
因为AB＝AC，AP⊥BC，
所以BP＝PC.
因为AD＝AE，AP⊥BC，
所以DP＝PE.
所以BP－DP＝PC－PE，即BD＝CE.
8． 如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.
(1)若∠AFD＝155°，则∠EDF的度数为 ；
50°
(2)若点F是AC的中点，试说明∠CFD＝ ∠B.
解：如图，连接BF.
因为AB＝BC，且点F是AC的中点，
所以BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝ ∠ABC.
所以∠CFD＋∠BFD＝90°，∠CBF＋∠BFD＝90°.
所以∠CFD＝∠CBF.
所以∠CFD＝ ∠ABC.(共15张PPT)
第五章 图形的轴对称
第1课 轴对称
轴对称图形
如图，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作 ，这条直线叫作这个平面图形的 .
轴对称图形
对称轴
(教材P124)指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并画出来.
解：这些图形的对称轴分别有1条、2条和4条，画出对称轴如图所示.
(2024·赤峰)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( A )
A
两个图形成轴对称
如图，如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形 ，这条直线叫作这两个图形的 .
.
成轴对称
对称
轴
A． 0个 B． 1个
C． 2个 D． 3个
下列图形中，关于虚线成轴对称的有( C )
C
下列图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是( B )
B
轴对称图形 两个图形成轴对称
概念 一个图形沿某直线对折，直线两旁的部分互相重合 一个图形沿某直线对折，与另一个图形重合
相同点 对折重合 对折重合
不同点 1个图形 2个图形
基础过关
1． (数学文化)(2024·深圳盐田区期末)勾股，为古代传统数学的一个分支，《九章算术》勾股章是中国古代最早的系统的勾股理论.下列图形是《九章算术》“注释”中的图形，其中是轴对称图形的是( D )
D
2． 下列四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是( D )
D
3． 下列图形：①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥正五角星.其中轴对称图形的个数是( A )
A． 5 B． 4
C． 3 D． 2
A
4． 观察图中的各组图形，其中成轴对称的为 (填序号).
① ② ③ ④
②④
能力过关
5． 如图，最外面大圆盘的面积为58π，则阴影部分的面积为( B )
A． 58π B． 29π
C． π D． π
B
6． 如图，在3×3方格图中，将其中一个没有圆的小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形(包括正方形网格)仍为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个.
3
思维过关
7． 【推理能力】(教材P143改编)(1)画出下列正多边形的所有对称轴并完成表格.
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 3 4 5 6 7 …
3
4
5
6
7
(2)根据上表，猜想正n边形有 条对称轴.
解：画对称轴如图所示.
n (共15张PPT)
第五章 图形的轴对称
第4课 简单的轴对称图形(2)——线段
线段的垂直平分线的定义及性质
(1)线段是轴对称图形， 线段的直线是它的一条对称轴.
(2)垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的
(简称中垂线).
垂直并且平分
垂直平分线
(3)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 相等.
几何语言：如图，因为PO是线段AB的垂直平分线，
所以PO⊥AB，OA＝OB，PA＝ .
距离
PB
如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D.
(1)AD＝ ，∠ADC＝ °，AC＝ ；
(2)若AD＝4，AC＝5，则△ABC的周长为 .
BD
90
BC
18
如图，DE是线段AC的垂直平分线，AB＝10 cm， BC＝21 cm.求△ABD的周长.
解：因为DE是线段AC的垂直平分线，
所以AD＝CD.
所以△ABD周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝10＋21＝31(cm).
与垂直平分线有关的尺规作图
(教材P135)如图，已知点A，B和直线l，用直尺和圆规作点P，使点P在直线l上，且PA＝PB(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，点Р即为所求.
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
解：如图，点P即为码头应建的位置.
(教材P136)如图，在公路m一侧有两个村庄A，B，现要在公路上修建一个车站C，使车站C到两个村庄的距离之和最短，请画出车站C的位置(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，点C即为所求.
如图，一条公路的一侧有两个村庄A，B，现要在公路边建一个供电站向A，B两地供电.请问当供电站建在何处时所拉的电线最短？
解：如图，点P即为供电站应建的位置.
基础过关
1． 如图，PC是线段AB的垂直平分线，垂足为C. 已知PA＝5且∠A＝35°，则PB＝ ，∠BPC＝ .
拓展提问：若S△APB＝10，则PB边上的高为 .
5
55°
4
2． 如图，已知在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG，则∠EAG＝ .
40°
3． 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为( D )
D
A． 90° B． 95°
C． 100° D． 105°
4． 如图，已知E，F分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，问在边BC上能否找到一点M，使得△EFM的周长最小？如果能，请作出该点(要求写出作法，并保留作图痕迹).
解：作法：如图，
①作E关于BC的对称点E1，
②连接E1F交BC于点M.
则点M即为所求.
5． (2024·惠州惠阳区期中)如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
能力过关
(1)求证：AB＝EC；
证明：因为EF垂直平分AC，所以AE＝EC.
因为AD⊥BC，BD＝DE，所以AD垂直平分BE.
所以AB＝AE. 所以AB＝EC.
(2)若△ABC的周长为20 cm，AC＝9 cm，则DC的长为 cm.
5.5
思维过关
6． 【推理能力】如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接AO，CO. 若∠OEB＝58°，则∠AOC＝( C )
A． 62°
B． 88°
C． 64°
D． 86°
C
