2026年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷押题卷（一）（含答案）

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2026年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷押题卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据37，33，29，32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（ ）
A．29岁 B．32岁 C．33岁 D．35岁
4．如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．20
5．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．为促进学生全面发展，学校研发具有特色校本课程．甲同学操控无人机从地面起飞，乙同学操控无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙同学的两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位∶)与无人机上升的时间x(单位∶)之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．时，甲乙的无人机都上升了
B．时，两架无人机的高度差为
C．甲的无人机的上升速度是乙的2倍
D．时，乙的无人机距离地面的高度是
10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题6分，满分18分）
11．有意义，则x的取值范围为______．
12．因式分解：______．
13．如图，在中，，是的平分线，若的长为4，则的面积为_______．
14．关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是________
15．如图，四边形是正方形，是上的一点，于点，，且交于点，若，，则的长为_____．
16．已知不等式的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是 _____________
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值．
18．计算：
19．春天是放风筝的好季节，如图，张同学在园林生态园处放风筝，风筝位于A处，风筝线长为，从处看风筝的仰角为37°，张同学的妹妹从处看风筝的仰角为60°（A，，三点位于同一平面）．
(1)风筝离地面多少米？
(2)张同学和妹妹的直线距离是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：，，，，）
20．整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况．选项：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果进行整理，并绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题．
(1)求a，b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数；
(2)请你补全条形统计图；
(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两名学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率．
21．某商店销售A、B两种商品，其中A种商品每件的进价为50元，售价为70元；B种商品每件的售价为90元，利润率为．
(1)填空：A种商品每件的利润为__________元，B种商品每件的进价为__________元；
(2)若该商店同时购进A、B两种商品共100件，总进价为5400元．
i）商店购进A、B两种商品各多少件？
ii）商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中A种商品打9折，B种商品打折，若销售完A、B两种商品，A种商品的总利润比B种商品的总利润多300元，求的值．
22．如图，为的直径，点在直径上（点与，两点不重合），点在上且满足，连接并延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，经过原点，点与点，点在轴负半轴上，连接，且．
(1)求的半径；
(2)求证：直线为的切线；
(3)求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号）．
24．定义：若一次函数与反比例函数满足，称为一次函数与反比例函数的“创新函数”．
(1)一次函数与反比例函数是否存在“创新函数”？如果存在，写出其“创新函数”；如果不存在，请说明理由；
(2)若一次函数与反比例函数存在“创新函数”，且该“创新函数”的图象与直线有唯一交点，求，的值；
(3)若一次函数与反比例函数的“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围．
25．如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求切线的长；
(3)记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：；
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．B
4．D
5．B
6．C
7．D
8．C
9．A
10．B
二、填空题
11．
12．
13．12
14．3
15．
16．6三、解答题
17．【详解】解：
，
且，
代入，原式．
18．【详解】解：
．
19．【详解】（1）解：过点A作于点，如图所示：
∵，
∴，
答：风筝离地面米．
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
答：张同学和妹妹的直线距离是米．
20．【详解】（1）解：（人），
∴参与调查的人数为200人，
∴，
∵，
∴“常常”所对应扇形的圆心角度数为；
（2）解：人，
∴“常常”所对应的人数为60人，
补全统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
∴所选两位同学恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率是．
21．【详解】（1）根据题意得：A种商品每件的利润为
（元）
B种商品每件的进价为（元）．
故答案为：20，60；
（2）i）设商店购进A种商品件，则B种商品为件．根据题意，得
，
解得，
∴；
答：该商店购进A种商品60件，B种商品40件．
ii）根据题意，得，
解得．
答：的值为8．
22．【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴．
23．【详解】（1）∵经过，点与点，且，
为直径，
∵点与点，
∴，，
∴，
∴的半径为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴为切线；
（3）如图，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
24．【详解】（1）解：一次函数与反比例函数存在“创新函数”，
一次函数与反比例函数中，，，，
∵，即满足，
∴一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为，
答：一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为．
（2）解：根据题意可得，，，
∴，
∴一次函数与反比例函数的“创新函数”为，
∵该“创新函数”的图象与直线有唯一交点，
∴，即有两个相等的实数根，
∴，
∴
∴，
∴，
答：，．
（3）解：根据题意可得，，
∴，
∴一次函数与反比例函数的“创新函数”为，
∵“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴点到的距离为，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，取最小值，当时，取最大值，
∵当时，，当时，，
∴，
答：的面积的变化范围是．
25．【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，即，
，
，
，即，
又是半径，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
又，
，
设，则，
，
，则，
，
又
，
或（舍去），
又∵，
∴，
∵，
∴
；
（3）证明：如图，过点作于点，
记的面积为的面积为，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即．
，
，
，即，
到的距离和到的距离相等，
，
又，
，
是的切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
．
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