2026年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷.仿真卷（一）（含答案）

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2026年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷.仿真卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》引发了全民观影热潮，截至2025年3月1日，该电影累计票房已突破142亿元，将142亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
4．如果圆锥的母线长为，高为，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B．10 C．20 D．
5．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
6．如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，为的直径，点在上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）

A． B．
C．或 D．或
二．填空题（每小题6分，满分18分）
11．函数中自变量x的取值范围是______．
12．一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______．
13．设是方程的两个实数根．若，则_____．
14．如图，在中，点，分别在边，上，若，，，则的长为________．
15．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____.
16．已知关于x的分式方程无解，则k的值是_________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中满足．
19．如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，

(1)可知是的角平分线，理由是（ ）
A． B． C． D．
(2)若，，求的面积．
20．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个根为，，且，求的值．
21．整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况：答案选项为：A、很少，B、有时，C、常常，D、总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ，“常常”对应扇形的圆心角度为 ；
(2)请你补全条形统计图；
(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率．
22．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处；
(1)求证：；
(2)若是中点，求的值．
23．如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，．
（1）求证：直线为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
24．在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线为常数且，根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I．若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II．若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”；
III．若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”．
请你根据该约定，解决下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①直线是抛物线的“水平双交线”：__________．
②若直线是抛物线的“水平单交线”，则；__________．
③若直线是抛物线的“水平无交线”，则．__________．
(2)若直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”，则轴是该抛物线的“__________”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由；
(3)若直线轴，直线均是抛物线为常数且的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为．
①求的长度的取值范围：
②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段）
25．已知：如图，是的直径，M为上一点，过M作，N为弧上一动点，连接交于P．
(1)当M为中点时，求证以O、C、B、D为顶点的四边形是菱形．
(2)当时，设的长为，，求y与x的关系式．
(3)在（2）的条件下，，，，自然数p、t满足以下关系，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．C
4．D
5．B
6．A
7．A
8．D
9．C
10．C
二、填空题
11．
12．
13．
14．15
15．，
16．或2
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：
，
由，解得：，，
∵，即
∴，
∴原式
．
19．【详解】（1）解：如图，连接，

由作图可得：，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线.
故选：C
（2）解：作于E，如图，

∵，
由作法得平分，
∴，
∵，
∴的面积=．
20．【详解】（1）解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
21．【详解】（1）调查的总人数是：（人），
，，
“常常”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：13，36，；
（2）解：“常常”的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
则所选两位同学恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率是．
22．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
设，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得：，
在中，，
∴．
23．【详解】（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）由（1）可知，，
，
，
=90，
，
，
，即，
是直径，
是半径
，
，
，
整理得；
（3）是中点，是中点，
是的中位线，
，
，
，
是直角三角形，
在中，，
，
，
，
，则，
、是半径，
，
在中，，，
由勾股定理得：
，即，
解得：或（舍去），
，
．
24．【详解】（1）解：①由题意可得，即，
得，方程没有实数根，
直线与抛物线没有交点，
所以直线是抛物线的“水平无交线”；不正确；
故答案为：×，
②若直线是抛物线的“水平单交线”，
根据新定义可得，
即，得，
∴，
∴，此说法正确；
故答案为：√，
③若直线是抛物线的“水平无交线”，
则，
，
，
，此说法不正确；
故答案为：×，
（2）解：轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”，
理由：∵直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”，
∴即有两个相等的实根，
，
，
，
，
当时，
，
∴函数与轴没有交点，
∴轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”．
（3）解：①如图，
∵直线，轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平双交线”，
即有两个不相等的实根，
，
，
即有两个不相等的实根，，
，，
；
；
②∵三角形的三个内角的大小之比为，
∴三角形的三个内角的大小分别为，，，
∴该三角形是等腰直角三角形；
结合①同理可得：有两个不相等的实根，，
，，
，
同理：有两个不相等的实根，
，
而，
由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，
，
，
，
，
，
，，
，
而，解得：，
∴函数的最小值为．
25．【详解】（1）证明：如图，连接，
为直径，，
，
是OB中点，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
（2）解：连接，如图，
，，
，
，
，
又为直径，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
且，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，t为自然数，
或或，
解得（舍去）或（舍去）或，
，，
，，
设，，
如图，过点O作，连接，
则，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，
，
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