2026年湖南省中考数学预测卷（一）（含答案）

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2026年湖南省中考数学预测卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1． 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
2．中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）．
A．B． C． D．
3．中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为（　　）
A．5和1 B．5和3 C．5和1或3和3 D．5和1或5和3
8．二次函数的图象如图，给出下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，交于点D，，，，，则的长等于（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点N，若点B关于直线的对称点恰好在x轴上，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
二．填空题（每小题6分，满分18分）
11．分解因式：ax2-9a=____________________．
12．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ________．
13．若关于的方程的一个根为3，则的值为______．
14．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____．
15．如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°．
16．如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．求值：，其中．
18．计算：．
19．先化简，再求值：，其中
20．如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
21．根据湖南省教育厅部署，2025年春季学期起，长沙市义务教育阶段学校每天开设1节体育课，并保证每天30分钟体育大课间．某校为了促进学生体育活动健康、文明、向上，计划开设丰富多彩的体育社团，九年级1 班数学兴趣小组就“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
(1)该班共有______名学生，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求出“其他”部分所对应的圆心角度数；
(3)全市举行学生羽毛球比赛，该学校要推选4位羽毛球社团同学参加，其中有2名女同学和2名男同学，现从中选取两名同学组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到B、D两位同学的概率．
22．某超市准备购买A、B两种伴手礼送给当天进店购物的顾客．购买1个A种礼品比购买1个B种礼品多花10元，并且花费300元购买A种礼品和花费100元购买B种礼品的数量相等．
(1)购买一个A 种礼品和一个B种礼品各需要多少元？
(2)该超市准备购买A、B两种礼品共90个，若A种礼品的数量不少于 B种礼品数量的3倍，并且购买A、B两种礼品的总费用不高于1140元，则该超市有哪几种购买方案？
23．如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：．
(2)若的半径是，，求的长．
24．如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q．
(1)当点P位于中点时，则_______．
(2)①如图1，当时，求点P到的距离；
②如图2，当时，求的长度；
(3)记的面积为，的面积为；
①求证：为定值；
②当时，求的长．
25．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”．
(1)求正比例函数图象上“制高点”的坐标；
(2)已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围；
(3)若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．D
4．A
5．A
6．B
7．C
8．C
9．A
10．C
二、填空题
11．
12．/45度
13．
14．
15．
16．（2，3）
三、解答题
17．【详解】解：
，
当时，原式．
18．【详解】解：
．
19．【详解】解：原式
，
当时，原式
20．【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵在（1）中已证明，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
21．【详解】（1）解：由统计图可得，该班共有学生：（名），
想加入足球社团的学生有：（名），
想加入其他社团的学生有：（名），
故答案为：50
补全的条形统计图如图所示：
（2）解：在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：．
（3）解：画树状图：
根据上图可得，总共有12种情况，恰好抽到B、D两位同学的有2种，
∴恰好抽到B、D两位同学的概率是．
22．【详解】（1）解：设购买一个A种礼品需要x元，则购买一个B种礼品需要元，
根据题意：
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴，
答：购买一个A种礼品需要15元，购买一个B种礼品需要5元；
（2）解：设购买A种礼品m个，则购买B种礼品个，
，
解得：，
∵m为整数，
∴或69，
答：共有2种购买方案：方案①A礼品购买68个，B礼品购买22个；方案②A礼品购买69个，B礼品购买21个．
23．【详解】（1）证明：，是的切线，，是的半径，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
；
（2）解：设，
四边形是矩形，的半径是，，
，，
，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
．
24．【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵直径互相垂直，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，过点P作于E，
∵直径互相垂直，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点P到的距离为；
②∵，
∴点P是的中点，
∵直径互相垂直，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：①如图，当点P在点A下方时，
过点P作于H，连接，
∵，
∴，
∴是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
同理可证明，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∴为定值；
如图，当点P在点A上方时，过点P作于H，连接，
同理可证明，
∴；
同理可证明，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∴为定值；
综上所述，为定值；
②如图，当点P在点A下方时，过点P作于H，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
同理可证明，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在点A上方时，过点P作于H，于T，则四边形是矩形，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
25．【详解】（1）解：设正比例函数图象上“制高点”的坐标为，
根据题意得，
解得，
∴正比例函数图象上“制高点”的坐标为；
（2）解：∵，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
由，得；
由，得；
∴，
设函数，
∴当时，
函数的值随自变量的增大而减少，
当，；
当，；
∴，
∴；
（3）解：设点A的坐标为，
根据题意得，整理得，
∵点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∴点A的坐标为，
设点是反比例函数图象上的“制高点”，
根据题意得，
消去并整理得，
解得，，
∴，，
∴点B，C的坐标分别为，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
在中，令，则，
将直线向上平移4个单位的直线，
直线与双曲线的交点为，
此时也满足面积与的面积相等，
联立得，
解得或，
将或分别代入，
得或，
∴或，
综上，点M的坐标为或或．
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