第一章三角形的证明及其应用（培优卷·含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章三角形的证明及其应用（培优卷·含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 867.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
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第一章三角形的证明及其应用（培优卷）北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ）
平分； ；
； ．
B．
C． D．
7．如图，中，，D为BC上一点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的角平分线，，分别是和的高，下列三个结论：
①，②时，，③是的垂直平分线，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知在中，，是边上的高，，则__________．
10．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，若，，则的长为______．
11．如图，在中，是的角平分线，于，若，则______．
12．如图，在中，，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点，．
（1）_____；
（2）若，，则的长为_____．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由．
14．已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，．
(1)若E是的中点，试判断的形状及的长；
拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）．
(2)证明；
(3)猜想、、三边关系，并说明理由．
15．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为D．
(1)已知，求的度数．
(2)已知，，求的面积．
16．如图1，是等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点（端点、除外），点从顶点A、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．
(1)试说明：的理由；
(2)当点、分别在线段、上运动时，的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数；
(3)如图2，当点、分别运动到、后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
17．如图，已知是等边三角形，点D在外部，且，，连接，延长至E，使，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
18．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t．
(1)求的长；
(2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？
(3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．D
5．D
6．D
7．B
8．D
二、填空题
9．或
10．9
11．
12．60 3
三、解答题
13．【详解】（1）证明：在中，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：是等边三角形．理由如下：
，，
是等边三角形，
，
∴在中，．
由（1）知，，
，
，
，
又由（1）知，
是等边三角形．
14．【详解】（1）解：是等边三角形，E是的中点，
平分，，
，
，
．
是的外角，
，
，
是等腰三角形
在等边三角形中，，E是的中点，
，，
．
（2）证明：过点E作交AC于点F，如图
，．
在等边三角形中，，
，
∴在中，，
．
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：猜想：，理由如下：
由（1）知，，
是等边三角形，
．
又，
，
．
15．【详解】（1）解：在中，∵，，
∴，
∵平分，
∴；
∴；
（2）解：∵是的角平分线且，．
∴，
∴．
16．【详解】（1）证明：点、点是同时以相同的速度运动，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：不改变，
理由：，
，
，
，
；
（3） 解：的度数不改变 ，
点、点是同时以相同的速度运动，
，
是等边三角形，
，
，
，
即，
，
，
．
17．【详解】（1）解：（1）∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）由（1），
又，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
在和中，
，∴，
∴，
即是等腰三角形．
，
∴，
即．
∴是等边三角形．
18．【详解】（1）解：中，，，，
，
，
，
解得，；
（2）解：，
当时，
在中，，
如图1，，为边上的高，
，
则，
当时，，
当时，
如图2，作于，
则，，
由勾股定理得，，
则，
故当、9、时，为等腰三角形；
（3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图：
可知
∵
∴
∴
的最小值为
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第一章三角形的证明及其应用（培优卷）北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ）
平分； ；
； ．
B．
C． D．
7．如图，中，，D为BC上一点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的角平分线，，分别是和的高，下列三个结论：
①，②时，，③是的垂直平分线，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知在中，，是边上的高，，则__________．
10．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，若，，则的长为______．
11．如图，在中，是的角平分线，于，若，则______．
12．如图，在中，，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点，．
（1）_____；
（2）若，，则的长为_____．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由．
14．已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，．
(1)若E是的中点，试判断的形状及的长；
拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）．
(2)证明；
(3)猜想、、三边关系，并说明理由．
15．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为D．
(1)已知，求的度数．
(2)已知，，求的面积．
16．如图1，是等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点（端点、除外），点从顶点A、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．
(1)试说明：的理由；
(2)当点、分别在线段、上运动时，的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数；
(3)如图2，当点、分别运动到、后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
17．如图，已知是等边三角形，点D在外部，且，，连接，延长至E，使，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
18．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t．
(1)求的长；
(2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？
(3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．D
5．D
6．D
7．B
8．D
二、填空题
9．或
10．9
11．
12．60 3
三、解答题
13．【详解】（1）证明：在中，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：是等边三角形．理由如下：
，，
是等边三角形，
，
∴在中，．
由（1）知，，
，
，
，
又由（1）知，
是等边三角形．
14．【详解】（1）解：是等边三角形，E是的中点，
平分，，
，
，
．
是的外角，
，
，
是等腰三角形
在等边三角形中，，E是的中点，
，，
．
（2）证明：过点E作交AC于点F，如图
，．
在等边三角形中，，
，
∴在中，，
．
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：猜想：，理由如下：
由（1）知，，
是等边三角形，
．
又，
，
．
15．【详解】（1）解：在中，∵，，
∴，
∵平分，
∴；
∴；
（2）解：∵是的角平分线且，．
∴，
∴．
16．【详解】（1）证明：点、点是同时以相同的速度运动，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：不改变，
理由：，
，
，
，
；
（3） 解：的度数不改变 ，
点、点是同时以相同的速度运动，
，
是等边三角形，
，
，
，
即，
，
，
．
17．【详解】（1）解：（1）∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）由（1），
又，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
在和中，
，∴，
∴，
即是等腰三角形．
，
∴，
即．
∴是等边三角形．
18．【详解】（1）解：中，，，，
，
，
，
解得，；
（2）解：，
当时，
在中，，
如图1，，为边上的高，
，
则，
当时，，
当时，
如图2，作于，
则，，
由勾股定理得，，
则，
故当、9、时，为等腰三角形；
（3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图：
可知
∵
∴
∴
的最小值为
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