第一章三角形的证明及其应用（提高卷·含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章三角形的证明及其应用（提高卷·含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 804.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
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第一章三角形的证明及其应用（提高卷）北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．三角形的内角和是
C．内错角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
2．若的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且，则中必有一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点，在边上，，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，的平分线交于点F．若，则的长与的度数分别是（ ）
A．4， B．3， C．4， D．3，
6．如图，已知，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点，点分别是，上一点，且，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____．
10．如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为______．
11．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别在线段，上运动，则的最小值是______．
12．如图，已知的外角，若是等腰三角形，则的度数为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，，都是等边三角形，与相交于点O，与相交于点P，与相交于点Q．
(1)求证：；
(2)求的度数．
14．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明；
(3)若为中点，求的值．
15．如图，已知是的角平分线，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
(1)若在外（如图1）， 求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，，则
17．如图，四边形的对角线，相交于点E，，，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，请直接写出图中所有与互余的角．
18．在中，D为线段上一点，于点E，连接．
(1)如图1，若点E是的中点，，G是线段上一点，连接，且，则______；
(2)如图2，连接交于点F，若，且，求证：；
(3)如图3，连接交于点F，若，且，，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．D
5．C
6．B
7．D
8．C
二、填空题
9．6
10．4
11．2
12．或或
三、解答题
13．【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
即．
14．【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
17．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
延长交于点，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴所有与互余的角有，，，．
18．【详解】（1）解：∵点E是的中点，，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点C作于N，交于H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是的中垂线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点C作于N，，交的延长线于M，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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第一章三角形的证明及其应用（提高卷）北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．三角形的内角和是
C．内错角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
2．若的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且，则中必有一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点，在边上，，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，的平分线交于点F．若，则的长与的度数分别是（ ）
A．4， B．3， C．4， D．3，
6．如图，已知，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点，点分别是，上一点，且，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____．
10．如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为______．
11．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别在线段，上运动，则的最小值是______．
12．如图，已知的外角，若是等腰三角形，则的度数为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，，都是等边三角形，与相交于点O，与相交于点P，与相交于点Q．
(1)求证：；
(2)求的度数．
14．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明；
(3)若为中点，求的值．
15．如图，已知是的角平分线，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
(1)若在外（如图1）， 求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，，则
17．如图，四边形的对角线，相交于点E，，，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，请直接写出图中所有与互余的角．
18．在中，D为线段上一点，于点E，连接．
(1)如图1，若点E是的中点，，G是线段上一点，连接，且，则______；
(2)如图2，连接交于点F，若，且，求证：；
(3)如图3，连接交于点F，若，且，，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．D
5．C
6．B
7．D
8．C
二、填空题
9．6
10．4
11．2
12．或或
三、解答题
13．【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
即．
14．【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
17．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
延长交于点，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴所有与互余的角有，，，．
18．【详解】（1）解：∵点E是的中点，，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点C作于N，交于H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是的中垂线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点C作于N，，交的延长线于M，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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