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八年级数学（人教版）下学期专题培优
第十九章二次根式·多重二次根式化简题
【方法导引】
多重二次根式是指根号内含有根号的式子，常见形式为 或 。化简的基本思路是将根号内的式子化为完全平方形式，从而去掉一层根号。主要方法有：
配方法：对于形如 的式子，寻找两个数 （或根式），使得 ，，则 ，根据正负性去掉绝对值。
平方差公式法：对于形如 的式子，先平方，利用平方差公式 化简，再开方得到结果。注意结果的正负性。
构造方程法：对于无限嵌套根式 或 ，设其值为 ，则 ，两边平方后解一元二次方程，取符合题意的根。
一、配方法（基础型）
题1
化简：
题2
化简：
题3
化简：
题4
化简：
题5
化简：
题6
化简：
二、配方法（带分数系数）
题7
化简：
三、配方法（加减组合）
题8
计算：
题9
计算：
四、平方差公式法
题10
计算：
题11
计算：
题12
计算：
题13
已知 ，求 的值。
五、构造方程法（无限嵌套）
题14
计算：（无数个根号）
题15
计算：（无数个根号）
六、构造方程法（系数比较）
题16
已知 （），求 的值。
题17
已知 （），求 和 的值。
七、综合应用型
题18
已知 ，且 为有理数，求 的值。
题19
设 ，。
（1）求 和 ；（2）求 ；（3）求 。
题20
已知 ，且 为整数，求 的值。
题21
计算：
题22
已知 ，求 的值。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第十九章二次根式·多重二次根式化简题
【方法导引】
多重二次根式是指根号内含有根号的式子，常见形式为 或 。化简的基本思路是将根号内的式子化为完全平方形式，从而去掉一层根号。主要方法有：
配方法：对于形如 的式子，寻找两个数 （或根式），使得 ，，则 ，根据正负性去掉绝对值。
平方差公式法：对于形如 的式子，先平方，利用平方差公式 化简，再开方得到结果。注意结果的正负性。
构造方程法：对于无限嵌套根式 或 ，设其值为 ，则 ，两边平方后解一元二次方程，取符合题意的根。
一、配方法（基础型）
题1
化简：
解：
设 ，，解得 ，。
由于 ，所以
题2
化简：
解：
设 ，，解得 ，。
由于 ，所以 ，故
题3
化简：
解：
设 ，，解得 ，。
由于 ，所以
题4
化简：
解：
设 ，，解得 ，。
由于 ，所以 ，故
题5
化简：
解：
设 ，，解得 ，。
由于 ，所以
题6
化简：
解：
设 ，，解得 ，。
由于 ，所以 ，故
二、配方法（带分数系数）
题7
化简：
解：
先化简 ：
设 ，，解得 ，。
代入得：
三、配方法（加减组合）
题8
计算：
解：
先分别化简：
设 ，，解得 ，。
设 ，，解得 ，。
所以原式
题9
计算：
解：
先分别化简：
由于 ，所以 ，故
所以原式
四、平方差公式法
题10
计算：
解：
设 ，则 。
所以 。
题11
计算：
解：
设 ，由于 ，所以 。
所以 。
题12
计算：
解：
题13
已知 ，求 的值。
解：
五、构造方程法（无限嵌套）
题14
计算：（无数个根号）
解：
设 ，则 ，且 。
两边平方得 ，即 。
因式分解得 ，解得 或 （舍去）。
所以原式 。
题15
计算：（无数个根号）
解：
设 ，则 ，且 。
两边平方得 ，即 。
因式分解得 ，解得 或 （舍去）。
所以原式 。
六、构造方程法（系数比较）
题16
已知 （），求 的值。
解：
将等式两边平方得：
比较有理部分和无理部分：
由第二式得 ，即 。
所以 是方程 的两根，解得 或 。
故 。
题17
已知 （），求 和 的值。
解：
将等式两边平方得：
比较有理部分和无理部分：
由第二式得 ，即 。
所以 是方程 的两根，解得 或 。
由于 ，所以 ，。
七、综合应用型
题18
已知 ，且 为有理数，求 的值。
解：
先化简 ：
所以 ，比较得 ，。
故 。
题19
设 ，。
（1）求 和 ；（2）求 ；（3）求 。
解：
由题9知 ，。
（1）
（2）
（3）
题20
已知 ，且 为整数，求 的值。
解：
将等式两边平方得：
所以
即 。
故 。
题21
计算：
解：
题22
已知 ，求 的值。
解：
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