第三单元长方体和正方体（情境化试题）——2025-2026学年人教版数学五年级下册（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第三单元长方体和正方体（情境化试题）——2025-2026学年人教版数学五年级下册（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 317.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
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第三单元长方体和正方体（情境化试题）——2025-2026学年人教版数学五年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题2分，共12分）
1．一个长8dm，宽4dm，高5dm的长方体木块，能切成（ ）个棱长是2dm的小正方体。
A．20 B．16 C．10 D．8
2．某国产AI创作平台，用户只需输入中文提示词，AI便能生成符合描述的图像。金金想用这款AI画一个指定形状的长方体，他在输入指令时只需要提示（ ）。
A．长方体的表面积数据 B．长方体的体积数据
C．一组长、宽、高数据 D．以上三种都可以
3．厦门国际会议展览中心是厦门市的标志性建筑之一，常年举办一场场充满活力和创新的展会活动。周末，亮亮和爸爸妈妈一同参观展会，看到某产品说明书的一部分信息（如下表）。请你根据信息，选出以下符合信息的产品是（ ）。
产品型号： W25800P－C2S
外形尺寸： 574×526×368mm
包装尺寸： 641×559×451mm
产地： 中国
生产日期： 2024年3月
A．一台微波炉 B．一部手机 C．一台笔记本电脑 D．一个充电宝
4．很久以前，阿基米德在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，突然想到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的体积。他从中发现了浮力定律：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。浮力定律也称为（ ）。
A．杠杆原理 B．阿基米德原理 C．对称性原理
5．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（ ）cm2的玻璃。
A．126 B．111 C．96 D．84
6．正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（ ）。
A．A B．B C．C D．D
二、填空题（每题1分，共24分）
7．把一个棱长为4厘米的正方体平均分成两个长方体，这时的表面积( )了（选填“增加”或“减少”）( )平方厘米。
8．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米。鱼缸的占地面积是( )平方分米，至少需要玻璃( )平方分米。
9．明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米；体积是( )立方厘米。
10．李阿姨要用硬纸板做一个长25cm、宽18cm、高5cm的礼品盒。
(1)如果像右图这样用彩带捆扎，打结处需要12cm，需要( )cm长的彩带。
(2)做这个盒子至少需要( )cm2的硬纸板。
(3)这个盒子的体积是( )cm3。
11．在现实生活中有很多形状不规则的物体，我们可以用排水法测量它们的体积，请观察下图后填空。水的体积是( )mL，水和梨的体积是( )cm3，梨的体积( )。
12．李阿姨给希望小学寄4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，至少需要( )平方厘米的牛皮纸。
13．有一个高16厘米的长方体（长、宽、高均为整厘米），侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积最小是( )立方厘米，体积最小时，它的表面积是( )平方厘米。
14．小明用两根同样长的铁丝分别围成了一个长方体框架和一个正方体框架，已知长方体框架的长、宽、高分别是8cm、6cm、4cm，则正方体框架的棱长是( )cm。
15．如图，用小棒和橡皮泥小球搭一个棱长总和是84cm的正方体框架。每根小棒的长度是( )cm，正方体的表面积是( )，正方体的体积是( )。（接头处忽略不计）。
16．张大伯要用木板制作一个封闭的长方体木箱，他已经准备了长6分米、宽4分米和长5分米、宽4分米的长方形木板各2块，他还需要准备( )块长( )分米、宽( )分米的长方形木板。
17．把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。
三、判断题（每题2分，共10分）
18．用8个体积为1立方分米的小正方体堆成1个大正方体，这个大正方体的底面周长是1分米。( )
19．把一个大长方体切成两个小长方体，无论怎么切，都会使表面积增加。( )
20．一个体积是6立方分米的长方体，现将它等分成体积是6立方厘米的长方体，则可以分成1000个。( )
21．如图是一个长方体的展开图，将它重新折成长方体后，数字“2”的对面是数字“5”。( )
22．丽丽在学习立体图形的体积时联想到了长度和面积的度量，认为在度量长度、面积和体积时都是看包含了几个相应的度量单位。( )
四、计算题（每题4分，共8分）
23．求左边图形的表面积和右边图形的体积，单位：厘米。
① ②
五、解答题（每题5分，第32题6分，共46分）
24．一个长方体玻璃缸，从里面量长30厘米，宽25厘米，高10厘米，先往玻璃缸里注入水，水深9厘米，再把两块棱长为8厘米的正方体石块放入玻璃缸中，溢出的水是多少毫升？
有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？
26．一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？
小雨先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水缸装满水，然后把一根长3分米、宽2分米、高4分米的长方体铁棒立着（铁棒的底面与水缸的底面完全贴合）放到水缸中，水缸溢出的水的体积是多少立方分米？
抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？
29．泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个横截面积是5cm2的长方体，捏成的长方体的长是多少厘米？
30．如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？
31．1个宽和高相等的长方体蛋糕沿同一个方向正好可以切成6个同样大小的小正方体蛋糕，切成的6个小正方体蛋糕的总表面积比原来长方体蛋糕的表面积多250cm2。求原来长方体蛋糕的表面积。
32．小宇房间的长是4m，宽是3m，高是3m，要给这个房间的四壁贴上墙纸，门窗的面积共3m2。如果每平方米墙纸的价格是9.6元，那么贴完这个房间要花费多少钱？（不计损耗）
参考答案
1．B
【分析】将长方体切成小正方体，可从长、宽、高分别切出小正方体，即用长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再将得到的结果相乘，据此可得出答案。
【详解】长方体的长能切成小正方体个数：8÷2＝4（个）；宽能切成小正方体个数：4÷2＝2（个）；
高能切出小正方体个数：5÷2＝2 1，实际情境中运用“去尾法”，即能切成2个。
则能切出小正方体：4×2×2＝16（个）
2．C
【分析】根据长方体的表面积和体积公式可知，表面积和体积都是由长宽高共同决定，反之给出表面积和体积大小则对应多个长方体。只有给出确定的长宽高的值，这个长方体才是唯一确定的，据此解答。
【详解】A．给出长方体的表面积数据，根据，无法确定长宽高的确切值，画出的长方体并不唯一；
B．给出长方体的体积数据，根据，无法确定长宽高的确切值，画出的长方体并不唯一；
C．给出一组具体的长宽高数据，能对应画出唯一的长方体；
D．根据前三个选项的分析，给出具体长宽高是可以画出长方体的。
故答案为：C
3．A
【分析】联系生活实际，把微波炉、手机、笔记本电脑、充电宝的外形尺寸与产品的外形尺寸相比较，找出符合信息的产品。
【详解】574×526×368mm＝57.4×52.6×36.8cm
A．一台微波炉的外形尺寸大约574×526×368mm，所以一台微波炉是符合信息的产品；
B．手机的长、宽、高远远小于57.4cm、52.6cm、36.8cm，所以一部手机不是符合信息的产品；
C．笔记本电脑的高不可能是36.8cm，所以一台笔记本电脑不是符合信息的产品；
D．充电宝的长、宽、高远远小于57.4cm、52.6cm、36.8cm，所以一个充电宝不是符合信息的产品。
故答案为：A
4．B
【分析】阿基米德通过实验探究发现了浮力定律称为阿基米德原理。
【详解】阿基米德想到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的体积。他从中发现了浮力定律：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。浮力定律也称为阿基米德原理。
故答案为：B
【点睛】此题考查了学生的阅读分析能力。
5．C
【分析】通过观察图形可知，这个鱼缸的长是6cm，宽是5cm，高是3cm，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入公式解答即可。
【详解】6×5＋6×3×2＋5×3×2
＝30＋36＋30
＝66＋30
＝96（）
制作这个玻璃鱼缸至少需要96的玻璃。
6．D
【分析】正方体展开图共有11种，分为4类：“一四一”型：有6种；“二三一”型：有3种；“二二二”型：有1种。“三三”型：有1种。
【详解】
根据正方体的展开图这个面是D面。
7． 增加 32
【分析】平均分成两个长方体，也就相当于切一刀，会增加两个切面的面积；切面是正方形；根据“”求出一个切面的面积，最后乘2求出一共增加的面积。
【详解】表面积增加了。
增加了：4×4×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
8． 40 196
【分析】（1）占地面积指的是底面积，用长×宽即可；
（2）无盖鱼缸，只有前后左右下面5个面，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2即可。
【详解】（1）8×5＝40（平方分米）
（2）40＋8×6×2＋5×6×2
＝40＋96＋60
＝136＋60
＝196（平方分米）
9．
40
32
【分析】首先，我们需要理解长方体的特性，即它有12条棱，分为3组，每组4条，相互平行的棱的长度相等。然后，我们需要选择合适的小棒来搭建长方体，可选4根长2厘米，8根长4厘米的小棒，据此计算出长方体的棱长总和和体积。
【详解】
=104
=40（厘米）
【点睛】长方体棱长总和,长方体体积公式。
10．(1)118
(2)1330
(3)2250
【分析】（1）观察上图可知：彩带的长包含2个长、2个宽、4个高和打结的长度，即用长×2＋宽×2＋高×4＋12可求出这根彩带的长。
（2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可求出需要的硬纸板的面积。
（3）根据长方体体积＝长×宽×高，代入数值即可求出这个盒子的体积。
【详解】（1）25×2＋18×2＋5×4＋12
＝50＋36＋20＋12
＝118（cm）
（2）（25×18＋25×5＋18×5）×2
＝（450＋125＋90）×2
＝665×2
＝1330（cm2）
（3）25×18×5
＝450×5
＝2250（cm3）
11． 200 450 250cm3
【分析】根据图示，水的体积是200mL，水和梨的体积是450cm3。1cm3＝1mL。用水和梨的体积减去水的体积就是梨的体积。
【详解】1cm3＝1mL
200mL＝200cm3
450－200＝250cm3
12．1440
【分析】
要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。
如图：
拼在一起后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。
（15×20＋15×12＋20×12）×2
＝（300＋180＋240）×2
＝（480＋240）×2
＝720×2
＝1440（平方厘米）
13． 112 270
【分析】长方体侧面展开为正方形，说明底面周长等于高。用高的长度除以2，算出长方体底面长与宽的和是8厘米。因为长、宽、高均为整厘米，所以①长是7厘米时，宽是1厘米；②长是6厘米时，宽是2厘米；③长是5厘米时，宽是3厘米；④长是4厘米时，宽是4厘米，往下，长和宽相反。要使长方体体积最小，根据长方体的体积＝长×宽×高，高一定时，长和宽的积越小，体积越小。当长方体的长是7厘米，宽是1厘米时，长方体体积最小。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】16÷2＝8（厘米）
①长是7厘米时，宽是1厘米，体积＝7×1×16＝112（立方厘米）
②长是6厘米时，宽是2厘米， 体积＝6×2×16＝192（立方厘米）
③长是5厘米时，宽是3厘米；体积＝5×3×16＝240（立方厘米）
④长是4厘米时，宽是4厘米。体积＝4×4×16＝256（立方厘米）
表面积：（7×1＋7×16＋1×16）×2
＝（7＋112＋16）×2
＝135×2
＝270（平方厘米）
14．6
【分析】由于两根铁丝长度相同，因此长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。根据长方体棱长总和公式：总棱长＝ （长＋宽＋高）×4求出铁丝长度；再根据正方体棱长总和公式：总棱长＝棱长×12，用总棱长除以12求出正方体的棱长。
【详解】（8＋6＋4）×4
＝18×4
＝72（cm）
72÷12＝6（cm）
15． 7 294 343
【分析】根据棱长＝正方体的棱长总和÷12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答即可。
【详解】（厘米）
（平方厘米）
（立方厘米）
每根小棒的长度是7cm，正方体的表面积是294，正方体的体积是343。
16． 2 6 5
【分析】一个长方体有6个面：前后、左右、上下，一般情况下每个面都是长方形，所以木箱的每个面都需要一块木板。对于一个长方体，面的大小有三种可能：长×宽、长×高、宽×高，每个都有两个。他已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，我们看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，我们看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，由此得出还需要准备的长方形木板的大小。
【详解】张大伯已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，则还需要准备2块长6分米、宽5分米的长方形木板。
17． 1000 600
【分析】分析题目，根据“两个完全一样的长方体拼在一起，可以拼成一个棱长为10cm的大正方体”可知：长方体的长、宽都是10cm，高是（10÷2）cm；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积；
两个长方体拼成一个正方体，会减少2个面，要使拼成的立体图形表面积最小，则减少的2个面要最大，即减少2个10×10的面，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出1个长方体的表面积，再乘2即可得到2个长方体的表面积之和，最后用2个长方体的表面积减去减少的2个面的面积即可。
【详解】10×10×10＝1000（cm3）
10÷2＝5（cm）
（10×10＋10×5＋10×5）×2×2－10×10×2
＝（100＋50＋50）×2×2－10×10×2
＝200×2×2－10×10×2
＝800－200
＝600（cm2）
那么这个大正方体的体积为1000cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为600cm2。
18．×
【详解】8个体积为1立方分米的小正方体总体积为8立方分米，堆成的大正方体体积也为8立方分米。根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，棱长必须为2分米（因为2×2×2＝8）。底面为正方形，周长＝4×棱长＝4×2＝8分米。题干中底面周长为1分米，与计算结果不符。
故答案为：×。
19．√
【分析】本题考查长方体的表面积变化。当一个大长方体被切成两个小长方体时，切割过程会增加两个新的面（切割面），这两个新面的面积之和即为增加的表面积。无论切割方向如何（如平行于长、宽或高），只要切割后得到两个长方体，表面积一定增加。因此，题干说法正确。
【详解】把一个长方体切成两个小长方体时，切割面会暴露出来，成为两个新的表面。原长方体的表面积不变，但增加了两个新面的面积，因此总表面积一定增加。例如，一个长、宽、高分别为 、、 的长方体，原表面积为 。若平行于宽和高方向切割（即沿长度方向切），增加两个新面，每个面积为 ，总增加面积为 ，故新表面积为 ，表面积增大。其他切割方向同理，因此无论怎么切，表面积都会增加。
故答案为：√
20．√
【分析】根据体积单位换算，1立方分米＝1000立方厘米，将大长方体的体积单位转换为立方厘米后，再除以小长方体的体积即可求解。
【详解】6立方分米＝6000立方厘米
6000÷6＝1000（个）
可以分成1000个，原题说法正确。
故答案为：√
21．×
【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。
观察长方体的展开图，结合相对的面之间一定隔着一个长方形；想象把长方体展开图折成长方体，取相对的面即可。
【详解】把长方体纸盒展开图折成长方体，可以想象成：3是下面，1是左面，6是右面，2是后面，4是前面，5是上面。
所以图中长方体的展开图，将它重新折成长方体后，数字“2”的对面是数字“4”。
原题说法错误。
故答案为：×
22．√
【分析】度量长度、面积和体积时，都是通过计算被测对象包含多少个相应的度量单位来确定其大小。例如，长度单位（如厘米）、面积单位（如平方厘米）和体积单位（如立方厘米）均通过累加单位数量进行度量。
【详解】在数学中，度量长度时，通过计算被测物体包含多少个长度单位（如1厘米）；度量面积时，通过计算平面图形包含多少个面积单位（如1平方厘米）；度量体积时，通过计算立体图形包含多少个体积单位（如1立方厘米）。
丽丽的说法正确。
故答案为：√
23．①198平方厘米；②464立方厘米
【分析】①.观察图可知，这个长方体的长为9厘米，宽为3厘米，高为6厘米。根据长方体的表面积公式计算表面积即可。；
②.分别根据正方体的体积公式和长方体的体积公式算出各自的体积，然后相加即可。图中正方体的底面积为16平方厘米，高为4cm；根据计算正方体的体积；长方体的长为10厘米，宽为8厘米，高为5厘米。根据计算长方体的体积。两者相加即为组合图形的体积。
【详解】①.
（平方厘米）
②.
（立方厘米）
24．274 毫升
【分析】先计算玻璃缸内剩余空间的体积，剩余空间是一个长方体，水深9厘米，剩余空间高10－9＝1厘米，长方体体积＝，把数据代入公式计算即可，再根据正方体体积＝，计算两块正方体石块体积，石块占据玻璃缸的空间，剩余空间不够，水会溢出，所以得到数量关系：溢出水的体积＝两块正方体石块的体积－长方体玻璃缸内剩余空间的体积，据此解答。
【详解】玻璃缸内剩余空间的体积：
30×25×（10－9）
＝30×25×1
＝750（立方厘米）
两块正方体石块的总体积：
8×8×8×2
＝64×8×2
＝512×2
＝1024（立方厘米）
溢出水的体积：
1024－750＝274（立方厘米）
274立方厘米＝274毫升
答：溢出的水是 274 毫升。
【点睛】本题考查溢出水的体积，关键是找到数量关系：溢出水的体积等于放入物体的总体积减去容器内剩余空间的体积。
25．
94 平方厘米
【分析】根据长方体的体积公式，体积的增加量等于对应面的面积乘增加的长度。因此，用体积增加量除以对应的棱长增加量，即可求出长方体三个不同面的面积（即长宽、长高、宽高）。长方体的表面积等于这三个面的面积之和乘 2。
【详解】（24÷2＋45÷3＋80÷4）2
＝ （12＋15＋20）2
＝ 472
＝ 94（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是 94 平方厘米。
【点睛】由题意，长增加2厘米，体积增加24立方厘米，可知宽高2＝24立方厘米，则宽高＝12平方厘米．同理可知长高＝15平方厘米，长宽＝20平方厘米，根据长方体的表面积＝（长宽＋长高＋宽高）2，列式解答。
26．48立方分米
【分析】根据题意，完全浸没在水中的石头假山的体积等于水面上升部分的水的体积，先用水面上升后的高度4.2分米减原来的水面高度3分米，计算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式“长方体体积＝长×宽×高”，用鱼缸的长8分米乘宽5分米乘水面上升的高度，即可求出石头假山的体积，据此解答。
【详解】计算水面上升的高度4.2－3＝1.2（分米）
计算石头假山的体积长方体体积＝长×宽×高
8×5×1.2
＝40×1.2
＝48（立方分米）
答：这个石头假山的体积是48立方分米。
27．12立方分米
【分析】溢出的水的体积＝铁棒长×宽×水缸高。
【详解】3×2×2＝12（立方分米）
答：水缸溢出的水的体积是12立方分米。
28．1080微克
【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，把数据代入公式求出这间密闭房间的空间，然后再乘每立方米空间内含有颗粒的质量即可。
【详解】（立方米）
（微克）
答：这个房间的细颗粒物一共有1080微克。
29．25.6厘米
【分析】先用正方体的体积公式，求出正方体的体积；两个正方体彩泥合并成了一个长方体，故正方体的体积×2＝长方体的体积；已知长方体的横截面积，根据长方体的长＝长方体的体积÷长方体的横截面积，求出长方体的长，据此解答。
【详解】正方体的体积：（立方厘米）
长方体的体积：（立方厘米）
长方体的长：（厘米）
答：长方体的长是25.6厘米。
30．396立方厘米
【分析】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。
【详解】底面周长：（厘米）
底面边长：（厘米）
原来的高：（厘米）
原来的体积：（立方厘米）
答：原来长方体的体积为396立方厘米。
【点睛】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。
31．650平方厘米
【分析】先确定切割次数及增加的面数，再求出每个新增面的面积，接着计算6个小正方体的总表面积最后用总表面积减去增加的面积得到原来长方体的表面积。每切一次会增加2个面，切成6个小正方体，需要切（次），共增加（个）面，每个小正方形的面积就是（厘米），原来长方体的表面积就是6个小正方体的表面积之和减去多出的250平方厘米，即（平方厘米）。
【详解】
（平方厘米）
（平方厘米）
答：原来长方体蛋糕的表面积是650平方厘米。
【点睛】根据一刀多两面的知识点，结合长方体的表面积得出答案。
32．
374.4元
【分析】先计算房间四壁的总面积，减去门窗面积得到实际贴墙纸面积，再乘以每平方米墙纸价格得到总花费。房间的四壁包括前后两个面和左右两个面前面和后面的面积相同，每个面的面积为长×高；左面和右面的面积相同，每个面的面积为宽×高。用四壁的总面积减去门窗的面积，即可得到实际需要贴墙纸的面积。用实际需要贴墙纸的面积乘以每平方米墙纸的价格，得到总花费。
【详解】
（平方米）
（元）
答：贴完这个房间要花费374.4元。
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第三单元长方体和正方体（情境化试题）——2025-2026学年人教版数学五年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题2分，共12分）
1．一个长8dm，宽4dm，高5dm的长方体木块，能切成（ ）个棱长是2dm的小正方体。
A．20 B．16 C．10 D．8
2．某国产AI创作平台，用户只需输入中文提示词，AI便能生成符合描述的图像。金金想用这款AI画一个指定形状的长方体，他在输入指令时只需要提示（ ）。
A．长方体的表面积数据 B．长方体的体积数据
C．一组长、宽、高数据 D．以上三种都可以
3．厦门国际会议展览中心是厦门市的标志性建筑之一，常年举办一场场充满活力和创新的展会活动。周末，亮亮和爸爸妈妈一同参观展会，看到某产品说明书的一部分信息（如下表）。请你根据信息，选出以下符合信息的产品是（ ）。
产品型号： W25800P－C2S
外形尺寸： 574×526×368mm
包装尺寸： 641×559×451mm
产地： 中国
生产日期： 2024年3月
A．一台微波炉 B．一部手机 C．一台笔记本电脑 D．一个充电宝
4．很久以前，阿基米德在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，突然想到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的体积。他从中发现了浮力定律：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。浮力定律也称为（ ）。
A．杠杆原理 B．阿基米德原理 C．对称性原理
5．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（ ）cm2的玻璃。
A．126 B．111 C．96 D．84
6．正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（ ）。
A．A B．B C．C D．D
二、填空题（每题1分，共24分）
7．把一个棱长为4厘米的正方体平均分成两个长方体，这时的表面积( )了（选填“增加”或“减少”）( )平方厘米。
8．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米。鱼缸的占地面积是( )平方分米，至少需要玻璃( )平方分米。
9．明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米；体积是( )立方厘米。
10．李阿姨要用硬纸板做一个长25cm、宽18cm、高5cm的礼品盒。
(1)如果像右图这样用彩带捆扎，打结处需要12cm，需要( )cm长的彩带。
(2)做这个盒子至少需要( )cm2的硬纸板。
(3)这个盒子的体积是( )cm3。
11．在现实生活中有很多形状不规则的物体，我们可以用排水法测量它们的体积，请观察下图后填空。水的体积是( )mL，水和梨的体积是( )cm3，梨的体积( )。
12．李阿姨给希望小学寄4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，至少需要( )平方厘米的牛皮纸。
13．有一个高16厘米的长方体（长、宽、高均为整厘米），侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积最小是( )立方厘米，体积最小时，它的表面积是( )平方厘米。
14．小明用两根同样长的铁丝分别围成了一个长方体框架和一个正方体框架，已知长方体框架的长、宽、高分别是8cm、6cm、4cm，则正方体框架的棱长是( )cm。
15．如图，用小棒和橡皮泥小球搭一个棱长总和是84cm的正方体框架。每根小棒的长度是( )cm，正方体的表面积是( )，正方体的体积是( )。（接头处忽略不计）。
16．张大伯要用木板制作一个封闭的长方体木箱，他已经准备了长6分米、宽4分米和长5分米、宽4分米的长方形木板各2块，他还需要准备( )块长( )分米、宽( )分米的长方形木板。
17．把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。
三、判断题（每题2分，共10分）
18．用8个体积为1立方分米的小正方体堆成1个大正方体，这个大正方体的底面周长是1分米。( )
19．把一个大长方体切成两个小长方体，无论怎么切，都会使表面积增加。( )
20．一个体积是6立方分米的长方体，现将它等分成体积是6立方厘米的长方体，则可以分成1000个。( )
21．如图是一个长方体的展开图，将它重新折成长方体后，数字“2”的对面是数字“5”。( )
22．丽丽在学习立体图形的体积时联想到了长度和面积的度量，认为在度量长度、面积和体积时都是看包含了几个相应的度量单位。( )
四、计算题（每题4分，共8分）
23．求左边图形的表面积和右边图形的体积，单位：厘米。
① ②
五、解答题（每题5分，第32题6分，共46分）
24．一个长方体玻璃缸，从里面量长30厘米，宽25厘米，高10厘米，先往玻璃缸里注入水，水深9厘米，再把两块棱长为8厘米的正方体石块放入玻璃缸中，溢出的水是多少毫升？
有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？
26．一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？
小雨先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水缸装满水，然后把一根长3分米、宽2分米、高4分米的长方体铁棒立着（铁棒的底面与水缸的底面完全贴合）放到水缸中，水缸溢出的水的体积是多少立方分米？
抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？
29．泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个横截面积是5cm2的长方体，捏成的长方体的长是多少厘米？
30．如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？
31．1个宽和高相等的长方体蛋糕沿同一个方向正好可以切成6个同样大小的小正方体蛋糕，切成的6个小正方体蛋糕的总表面积比原来长方体蛋糕的表面积多250cm2。求原来长方体蛋糕的表面积。
32．小宇房间的长是4m，宽是3m，高是3m，要给这个房间的四壁贴上墙纸，门窗的面积共3m2。如果每平方米墙纸的价格是9.6元，那么贴完这个房间要花费多少钱？（不计损耗）
参考答案
1．B
【分析】将长方体切成小正方体，可从长、宽、高分别切出小正方体，即用长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再将得到的结果相乘，据此可得出答案。
【详解】长方体的长能切成小正方体个数：8÷2＝4（个）；宽能切成小正方体个数：4÷2＝2（个）；
高能切出小正方体个数：5÷2＝2 1，实际情境中运用“去尾法”，即能切成2个。
则能切出小正方体：4×2×2＝16（个）
2．C
【分析】根据长方体的表面积和体积公式可知，表面积和体积都是由长宽高共同决定，反之给出表面积和体积大小则对应多个长方体。只有给出确定的长宽高的值，这个长方体才是唯一确定的，据此解答。
【详解】A．给出长方体的表面积数据，根据，无法确定长宽高的确切值，画出的长方体并不唯一；
B．给出长方体的体积数据，根据，无法确定长宽高的确切值，画出的长方体并不唯一；
C．给出一组具体的长宽高数据，能对应画出唯一的长方体；
D．根据前三个选项的分析，给出具体长宽高是可以画出长方体的。
故答案为：C
3．A
【分析】联系生活实际，把微波炉、手机、笔记本电脑、充电宝的外形尺寸与产品的外形尺寸相比较，找出符合信息的产品。
【详解】574×526×368mm＝57.4×52.6×36.8cm
A．一台微波炉的外形尺寸大约574×526×368mm，所以一台微波炉是符合信息的产品；
B．手机的长、宽、高远远小于57.4cm、52.6cm、36.8cm，所以一部手机不是符合信息的产品；
C．笔记本电脑的高不可能是36.8cm，所以一台笔记本电脑不是符合信息的产品；
D．充电宝的长、宽、高远远小于57.4cm、52.6cm、36.8cm，所以一个充电宝不是符合信息的产品。
故答案为：A
4．B
【分析】阿基米德通过实验探究发现了浮力定律称为阿基米德原理。
【详解】阿基米德想到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的体积。他从中发现了浮力定律：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。浮力定律也称为阿基米德原理。
故答案为：B
【点睛】此题考查了学生的阅读分析能力。
5．C
【分析】通过观察图形可知，这个鱼缸的长是6cm，宽是5cm，高是3cm，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入公式解答即可。
【详解】6×5＋6×3×2＋5×3×2
＝30＋36＋30
＝66＋30
＝96（）
制作这个玻璃鱼缸至少需要96的玻璃。
6．D
【分析】正方体展开图共有11种，分为4类：“一四一”型：有6种；“二三一”型：有3种；“二二二”型：有1种。“三三”型：有1种。
【详解】
根据正方体的展开图这个面是D面。
7． 增加 32
【分析】平均分成两个长方体，也就相当于切一刀，会增加两个切面的面积；切面是正方形；根据“”求出一个切面的面积，最后乘2求出一共增加的面积。
【详解】表面积增加了。
增加了：4×4×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
8． 40 196
【分析】（1）占地面积指的是底面积，用长×宽即可；
（2）无盖鱼缸，只有前后左右下面5个面，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2即可。
【详解】（1）8×5＝40（平方分米）
（2）40＋8×6×2＋5×6×2
＝40＋96＋60
＝136＋60
＝196（平方分米）
9．
40
32
【分析】首先，我们需要理解长方体的特性，即它有12条棱，分为3组，每组4条，相互平行的棱的长度相等。然后，我们需要选择合适的小棒来搭建长方体，可选4根长2厘米，8根长4厘米的小棒，据此计算出长方体的棱长总和和体积。
【详解】
=104
=40（厘米）
【点睛】长方体棱长总和,长方体体积公式。
10．(1)118
(2)1330
(3)2250
【分析】（1）观察上图可知：彩带的长包含2个长、2个宽、4个高和打结的长度，即用长×2＋宽×2＋高×4＋12可求出这根彩带的长。
（2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可求出需要的硬纸板的面积。
（3）根据长方体体积＝长×宽×高，代入数值即可求出这个盒子的体积。
【详解】（1）25×2＋18×2＋5×4＋12
＝50＋36＋20＋12
＝118（cm）
（2）（25×18＋25×5＋18×5）×2
＝（450＋125＋90）×2
＝665×2
＝1330（cm2）
（3）25×18×5
＝450×5
＝2250（cm3）
11． 200 450 250cm3
【分析】根据图示，水的体积是200mL，水和梨的体积是450cm3。1cm3＝1mL。用水和梨的体积减去水的体积就是梨的体积。
【详解】1cm3＝1mL
200mL＝200cm3
450－200＝250cm3
12．1440
【分析】
要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。
如图：
拼在一起后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。
（15×20＋15×12＋20×12）×2
＝（300＋180＋240）×2
＝（480＋240）×2
＝720×2
＝1440（平方厘米）
13． 112 270
【分析】长方体侧面展开为正方形，说明底面周长等于高。用高的长度除以2，算出长方体底面长与宽的和是8厘米。因为长、宽、高均为整厘米，所以①长是7厘米时，宽是1厘米；②长是6厘米时，宽是2厘米；③长是5厘米时，宽是3厘米；④长是4厘米时，宽是4厘米，往下，长和宽相反。要使长方体体积最小，根据长方体的体积＝长×宽×高，高一定时，长和宽的积越小，体积越小。当长方体的长是7厘米，宽是1厘米时，长方体体积最小。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】16÷2＝8（厘米）
①长是7厘米时，宽是1厘米，体积＝7×1×16＝112（立方厘米）
②长是6厘米时，宽是2厘米， 体积＝6×2×16＝192（立方厘米）
③长是5厘米时，宽是3厘米；体积＝5×3×16＝240（立方厘米）
④长是4厘米时，宽是4厘米。体积＝4×4×16＝256（立方厘米）
表面积：（7×1＋7×16＋1×16）×2
＝（7＋112＋16）×2
＝135×2
＝270（平方厘米）
14．6
【分析】由于两根铁丝长度相同，因此长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。根据长方体棱长总和公式：总棱长＝ （长＋宽＋高）×4求出铁丝长度；再根据正方体棱长总和公式：总棱长＝棱长×12，用总棱长除以12求出正方体的棱长。
【详解】（8＋6＋4）×4
＝18×4
＝72（cm）
72÷12＝6（cm）
15． 7 294 343
【分析】根据棱长＝正方体的棱长总和÷12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答即可。
【详解】（厘米）
（平方厘米）
（立方厘米）
每根小棒的长度是7cm，正方体的表面积是294，正方体的体积是343。
16． 2 6 5
【分析】一个长方体有6个面：前后、左右、上下，一般情况下每个面都是长方形，所以木箱的每个面都需要一块木板。对于一个长方体，面的大小有三种可能：长×宽、长×高、宽×高，每个都有两个。他已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，我们看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，我们看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，由此得出还需要准备的长方形木板的大小。
【详解】张大伯已经有：2个长6分米、宽4分米的木板，看作是长与高组成的前后面；2个长5分米、宽4分米的木板，看作是宽与高组成的左右面，还差2个长与宽组成的上下面，则还需要准备2块长6分米、宽5分米的长方形木板。
17． 1000 600
【分析】分析题目，根据“两个完全一样的长方体拼在一起，可以拼成一个棱长为10cm的大正方体”可知：长方体的长、宽都是10cm，高是（10÷2）cm；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积；
两个长方体拼成一个正方体，会减少2个面，要使拼成的立体图形表面积最小，则减少的2个面要最大，即减少2个10×10的面，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出1个长方体的表面积，再乘2即可得到2个长方体的表面积之和，最后用2个长方体的表面积减去减少的2个面的面积即可。
【详解】10×10×10＝1000（cm3）
10÷2＝5（cm）
（10×10＋10×5＋10×5）×2×2－10×10×2
＝（100＋50＋50）×2×2－10×10×2
＝200×2×2－10×10×2
＝800－200
＝600（cm2）
那么这个大正方体的体积为1000cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为600cm2。
18．×
【详解】8个体积为1立方分米的小正方体总体积为8立方分米，堆成的大正方体体积也为8立方分米。根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，棱长必须为2分米（因为2×2×2＝8）。底面为正方形，周长＝4×棱长＝4×2＝8分米。题干中底面周长为1分米，与计算结果不符。
故答案为：×。
19．√
【分析】本题考查长方体的表面积变化。当一个大长方体被切成两个小长方体时，切割过程会增加两个新的面（切割面），这两个新面的面积之和即为增加的表面积。无论切割方向如何（如平行于长、宽或高），只要切割后得到两个长方体，表面积一定增加。因此，题干说法正确。
【详解】把一个长方体切成两个小长方体时，切割面会暴露出来，成为两个新的表面。原长方体的表面积不变，但增加了两个新面的面积，因此总表面积一定增加。例如，一个长、宽、高分别为 、、 的长方体，原表面积为 。若平行于宽和高方向切割（即沿长度方向切），增加两个新面，每个面积为 ，总增加面积为 ，故新表面积为 ，表面积增大。其他切割方向同理，因此无论怎么切，表面积都会增加。
故答案为：√
20．√
【分析】根据体积单位换算，1立方分米＝1000立方厘米，将大长方体的体积单位转换为立方厘米后，再除以小长方体的体积即可求解。
【详解】6立方分米＝6000立方厘米
6000÷6＝1000（个）
可以分成1000个，原题说法正确。
故答案为：√
21．×
【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。
观察长方体的展开图，结合相对的面之间一定隔着一个长方形；想象把长方体展开图折成长方体，取相对的面即可。
【详解】把长方体纸盒展开图折成长方体，可以想象成：3是下面，1是左面，6是右面，2是后面，4是前面，5是上面。
所以图中长方体的展开图，将它重新折成长方体后，数字“2”的对面是数字“4”。
原题说法错误。
故答案为：×
22．√
【分析】度量长度、面积和体积时，都是通过计算被测对象包含多少个相应的度量单位来确定其大小。例如，长度单位（如厘米）、面积单位（如平方厘米）和体积单位（如立方厘米）均通过累加单位数量进行度量。
【详解】在数学中，度量长度时，通过计算被测物体包含多少个长度单位（如1厘米）；度量面积时，通过计算平面图形包含多少个面积单位（如1平方厘米）；度量体积时，通过计算立体图形包含多少个体积单位（如1立方厘米）。
丽丽的说法正确。
故答案为：√
23．①198平方厘米；②464立方厘米
【分析】①.观察图可知，这个长方体的长为9厘米，宽为3厘米，高为6厘米。根据长方体的表面积公式计算表面积即可。；
②.分别根据正方体的体积公式和长方体的体积公式算出各自的体积，然后相加即可。图中正方体的底面积为16平方厘米，高为4cm；根据计算正方体的体积；长方体的长为10厘米，宽为8厘米，高为5厘米。根据计算长方体的体积。两者相加即为组合图形的体积。
【详解】①.
（平方厘米）
②.
（立方厘米）
24．274 毫升
【分析】先计算玻璃缸内剩余空间的体积，剩余空间是一个长方体，水深9厘米，剩余空间高10－9＝1厘米，长方体体积＝，把数据代入公式计算即可，再根据正方体体积＝，计算两块正方体石块体积，石块占据玻璃缸的空间，剩余空间不够，水会溢出，所以得到数量关系：溢出水的体积＝两块正方体石块的体积－长方体玻璃缸内剩余空间的体积，据此解答。
【详解】玻璃缸内剩余空间的体积：
30×25×（10－9）
＝30×25×1
＝750（立方厘米）
两块正方体石块的总体积：
8×8×8×2
＝64×8×2
＝512×2
＝1024（立方厘米）
溢出水的体积：
1024－750＝274（立方厘米）
274立方厘米＝274毫升
答：溢出的水是 274 毫升。
【点睛】本题考查溢出水的体积，关键是找到数量关系：溢出水的体积等于放入物体的总体积减去容器内剩余空间的体积。
25．
94 平方厘米
【分析】根据长方体的体积公式，体积的增加量等于对应面的面积乘增加的长度。因此，用体积增加量除以对应的棱长增加量，即可求出长方体三个不同面的面积（即长宽、长高、宽高）。长方体的表面积等于这三个面的面积之和乘 2。
【详解】（24÷2＋45÷3＋80÷4）2
＝ （12＋15＋20）2
＝ 472
＝ 94（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是 94 平方厘米。
【点睛】由题意，长增加2厘米，体积增加24立方厘米，可知宽高2＝24立方厘米，则宽高＝12平方厘米．同理可知长高＝15平方厘米，长宽＝20平方厘米，根据长方体的表面积＝（长宽＋长高＋宽高）2，列式解答。
26．48立方分米
【分析】根据题意，完全浸没在水中的石头假山的体积等于水面上升部分的水的体积，先用水面上升后的高度4.2分米减原来的水面高度3分米，计算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式“长方体体积＝长×宽×高”，用鱼缸的长8分米乘宽5分米乘水面上升的高度，即可求出石头假山的体积，据此解答。
【详解】计算水面上升的高度4.2－3＝1.2（分米）
计算石头假山的体积长方体体积＝长×宽×高
8×5×1.2
＝40×1.2
＝48（立方分米）
答：这个石头假山的体积是48立方分米。
27．12立方分米
【分析】溢出的水的体积＝铁棒长×宽×水缸高。
【详解】3×2×2＝12（立方分米）
答：水缸溢出的水的体积是12立方分米。
28．1080微克
【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，把数据代入公式求出这间密闭房间的空间，然后再乘每立方米空间内含有颗粒的质量即可。
【详解】（立方米）
（微克）
答：这个房间的细颗粒物一共有1080微克。
29．25.6厘米
【分析】先用正方体的体积公式，求出正方体的体积；两个正方体彩泥合并成了一个长方体，故正方体的体积×2＝长方体的体积；已知长方体的横截面积，根据长方体的长＝长方体的体积÷长方体的横截面积，求出长方体的长，据此解答。
【详解】正方体的体积：（立方厘米）
长方体的体积：（立方厘米）
长方体的长：（厘米）
答：长方体的长是25.6厘米。
30．396立方厘米
【分析】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。
【详解】底面周长：（厘米）
底面边长：（厘米）
原来的高：（厘米）
原来的体积：（立方厘米）
答：原来长方体的体积为396立方厘米。
【点睛】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。
31．650平方厘米
【分析】先确定切割次数及增加的面数，再求出每个新增面的面积，接着计算6个小正方体的总表面积最后用总表面积减去增加的面积得到原来长方体的表面积。每切一次会增加2个面，切成6个小正方体，需要切（次），共增加（个）面，每个小正方形的面积就是（厘米），原来长方体的表面积就是6个小正方体的表面积之和减去多出的250平方厘米，即（平方厘米）。
【详解】
（平方厘米）
（平方厘米）
答：原来长方体蛋糕的表面积是650平方厘米。
【点睛】根据一刀多两面的知识点，结合长方体的表面积得出答案。
32．
374.4元
【分析】先计算房间四壁的总面积，减去门窗面积得到实际贴墙纸面积，再乘以每平方米墙纸价格得到总花费。房间的四壁包括前后两个面和左右两个面前面和后面的面积相同，每个面的面积为长×高；左面和右面的面积相同，每个面的面积为宽×高。用四壁的总面积减去门窗的面积，即可得到实际需要贴墙纸的面积。用实际需要贴墙纸的面积乘以每平方米墙纸的价格，得到总花费。
【详解】
（平方米）
（元）
答：贴完这个房间要花费374.4元。
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