2025-2026学年上海进才中学高一上学期数学期末试卷（含答案）

进才中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1.函数的定义域为______．
2.已知，则______．
3.幂函数在上为减函数，则的值为______．
4.已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为______．
5.不等式的解集为______．
6.已知角终边上一点，则______．
7.设集合，，若，则______．
8.已知，，则的取值范围是______．
9.已知，且，则的最大值是______．
10.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______．
11.已知有实数解，求的最大值为______．
12.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.若，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
15.函数的部分图象大致是（ ）
16.已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意、，都有，则方程的解的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，，其中．
（1）求；（2）求．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．记集合为的定义域．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的值域．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
为了更高效地处理校园内的突发情况，某校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为米．现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价关于的函数关系为．
（1）设公司甲整体报价为元，试求关于的函数解析式；
（2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
20.（本满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质．
（1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明）
（2）若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件；
（3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知有实数解，求的最大值为______．
【答案】
【解析】时，
时，解得
解得，
时，
解得，综上，的最大值为．故答案为：．
12.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】结合对数函数与二次函数的性质，作出函数的图象如下：再令，
则方程，
可化为：
令结合的图象可知：
时，显然不符合题意；时，要使原方程有6个实数根，只需在和上各有一个根；或在上有两个互异实根，
据此可得：①，或②，或③，
①无解；由②得，由③得，此时另一根符合题意，
综上可知，的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.A 15.A 16.B
16.已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意、，都有，则方程的解的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】因为对任意，都有
令，则有，解得从而得；
令，则有，
所以，即，
所以对任意恒成立，所以，所以，
所以当时，，
又因为，所以当时，方程无解；
所以，所以的值域为，
当时，，此时方程无解；
作出和的部分图象，如图所示：
当时，令，解得或，
此时方程有2个解，
由此可得两函数图象有7个交点，
即方程有7个解.故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）奇函数 （2）
19.（1） （2）乙公司
20.（本满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（1）根据题意，分2种情况讨论：
①当，即时，，不合题意；
②当，即时，不等式的解集为，
即解集为，即，
即，解可得，
综合可得：，故的取值范围为；
（2）根据题意，，即,
即，
①当，即时，解集为
②当，即时，，，
∴解集为或；
③当，即时，，
∴解集为，
综上所述：当时，解集为，当时，解集为，
当时，解集为或；
（3）根据题意，，
即恒成立，，
设，则，变形可得，,
∵，当且仅当时取等号，∴当且仅当时取等号，
∴当时，，必有，即的取值范围为．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质．
（1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明）
（2）若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件；
（3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值．
【答案】（1）不具有性质具有性质 （2）证明见解析
（3）的值值或．
【解析】（1）不具有性质具有性质，理由如下：
因为指数函数的定义域为，对于恒成立，
所以不存在满足，因此函数不具有性质；
因为一次函数的定义域为，对于，取，
则，因此具有性质．
（2）证明：当时，由于函数具有性质，
取，则存在，使得，
所以，因此函数存在零点，即充分性成立；
当函数存在零点时，设，则，
因为对于任意，取，
则，且满足，
所以函数具有性质，但1，即必要性不成立；
因此＂＂是＂函数存在零点＂的充分非必要条件．
（3）依题意，存在唯一的实数，使得函数具有性质，
即存在唯一的实数，对任意，都存在满足，
即，因为，则，故，
记的值域为，则，
当时，，即，
所以，得，显然不唯一，不符合题意；
当时，的对称轴为，，
当，即时，在上递增，所以，
所以，得，由于唯一，所以，解得，不符合题意；
当，即时，在上递增，所以，
则，得,由于唯一，所以，解得，符合题意；
当，即时，的最大值是，最小值是，
则，所以，得，
由于唯一，所以，解得，不符合题意；
当，即时，的最大值是，最小值是，
则，所以，得，
由于唯一，所以，解得（舍去），满足题意；
综上，的值值或．