2025-2026学年上海北郊高二上学期数学期末试卷（含答案）

北郊高级中学2025~2026学年高二上学期期末考试
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）
1.抛物线的焦点坐标为______．
2.若一个球的体积是，则这个球的半径为______.
3.已知向量，，若，则______．
4.抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______.
5.将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______.
6.已知正四面体的棱长为3，则它的高为______．
7.在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示）
（第7题） （第8题） （第9题）
8.如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48，则直线与底面所成角的大小为____________．（用反三角函数表示）
9.在直三棱柱中，，，，，则点到平面的距离为__________．
10.如图，在边长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________．
（第10题） （第11题）
11.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥（如图），《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响。书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有阳马，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个阳马的外接球的表面积为______平方尺．
12.在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13～14题每题3分，第15～16题每题4分）
13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ）．
A. B. C. D.
14.如图，在正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（ ）
A. B. C. D.
15.下列命题正确的是（ ）
A.底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱
C.每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱
D.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
16.如图，在棱长为2的正方体中，点、分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；
②存在点，使为等边三角形，则（ ）
A.①、②均为真命题 B.①、②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有4题，满分44分）
17.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
18.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．
（1）设，求线段中点到轴的距离；
（2）若直线的倾斜角为，求面积．
19.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．
（1）求该圆锥的体积和表面积；
（2）求二面角的大小；
（3）若点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置．
20.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.
（1）用向量表示向量；
（2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积；
（3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，，对于任意实数，求的最小值。
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.；
8.； 9.； 10.； 11. 12.
11.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥（如图），《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响。书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有阳马，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个阳马的外接球的表面积为______平方尺．
【答案】
【解析】根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的直径，设外接球的半径为，则，∴该球的表面积为.
12.在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有．
又，所以．
设，则，.
因为，代人可得，
整理可得，即在以点为球心，为半径的球上．
又，平面到平面的距离为4，所以到平面的最大距离为．
体积最大值为
二、选择题
13.B 14.C 15.D 16.D
15.下列命题正确的是（ ）
A.底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱
C.每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱
D.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
【答案】D
【解析】上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．
故A和B错在有可能是斜棱柱，
C错在上下底面有可能不是正方形，而是一个长和宽不相等的矩形；
底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．故选：D.
16.如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；
②存在点，使为等边三角形，则（ ）
A.①、②均为真命题 B.①、②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】对于①：点在平面上的射影的轨迹是线段，所以平面.
又平面，所以，所以的一个充要条件是.
当射影位于线段上的任意位置时，过点作垂线，垂足为，则.
又，且都在平面上，则平面，而平面，所以，即这样的直线不唯一，所以命题①为假；
对于②：由，由上知.
又，要使为正三角形，只需即可.
设，则，
所以.
令，可得，
解得（负值舍）.
又，只需比较大小.
将它们平方有，进而比较的大小，将它们平方有，.
显然，即，则，
所以，即.
综上所述：，即所求，满足要求；
所以存在点，使为等边三角形，命题②正确.故选：D．
三、解答题
17.【答案】（1）证明略；（2）证明略.
18.【答案】（1）；（2）.
19.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．
（1）求该圆锥的体积和表面积；
（2）求二面角的大小；
（3）若点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置．
【答案】（1）体积，表面积；
（2）；（3）为的中点．
【解析】（1）因为圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，所以，
所以圆锥的体积，表面积；
（2）因为是圆锥的高，所以平面，因为平面，
所以.
因为点是底面直径所对对的中点，所以，则两两互相垂直，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
则，所以.
设平面的法向量为，则.
令，得，所以.
易得平面的一个法向量为，设二面角的大小为.
由题知，则，
所以二面角的大小为；
（3）因为点在上，所以设，
则，.
因为异面直线与所成角的余弦值为，所以，解得，即此时为的中点．
20．【答案】（1）（2）；（3）3.