2025-2026学年上海曹二、普陀高二上学期数学期末试卷（含答案）

曹二、普陀2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.函数的驻点为______．
2.已知数列满足，，则______．
3.某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则该质点在时的瞬时速度为______．
4.若是函数的极值点，则______．
5.设为等差数列．若，则______．
6.若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为______．
7.设，已知直线，．若与平行，则的值为______．
8.已知为无穷等比数列．若，，则的公比为______．
9.设，数列的通项公式为．若是严格减数列，则k的取值范围是______．
10.设，已知、．若对圆上任意一点，均为锐角，则的取值范围是______．
11.设为非零实数．若关于的不等式对任意均成立，则的取值范围是______．
12.设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、．若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
14.设，则（ ）
A. B.0 C. D.
15.在平面直角坐标系中，是边长为1的正方形．从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（ ）．
A.① B.②③ C.①② D.①②③
16.已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，中不大于的项的个数恰为．若存在正整数，使得，则的最小值是（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值．
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设是公差不为零的等差数列．已知，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：对任意正整数，均有，求数列的前项和．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且．已知为棱的中点，平面平面．
（1）设平面与平面的交线为，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点的直线与交于、两点．
（1）若的右焦点为，求的离心率；
（2）若为的下顶点，且的面积是的面积的两倍，求的值；
（3）设，直线不与坐标轴垂直．设是轴负半轴上的定点，记直线、的斜率分别为、．试问：是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意给定的，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“－距离”．
（1）设，直接写出相应的集合；
（2）设，证明：“”是“存在实数，使得的－距离不小于1”的充要条件；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，均有，且直线与的－距离相等，证明：是偶函数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.2; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.或或
二、选择题
13.D 14.C 15.D 16.C
15.在平面直角坐标系中，是边长为1的正方形．从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（ ）．
A.① B.②③ C.①② D.①②③
【答案】D
【解析】∵正方形的边长为正方形的对角线为，
故的最大值为，故①正确；
如图：当正方形的对角线在轴上时，
此时，此时最大为，
当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图，
此时，此时为最小值．
故的取值范围是，故②正确；
由于恒成立，故恒等于0，故③正确；
故所有正确结论的序号是①②③，故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点的直线与交于、两点．
（1）若的右焦点为，求的离心率；
（2）若为的下顶点，且的面积是的面积的两倍，求的值；
（3）设，直线不与坐标轴垂直．设是轴负半轴上的定点，记直线、的斜率分别为、．试问：是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，
【解析】（1）已知椭圆的右焦点为，所以，又因为椭圆方程为，
所以，根据，可得，因为，所以
则椭圆的离心率
（2）已知椭圆方程为，令，可得，
因为为椭圆的下顶点，所以，已知，则，
因为的面积是的面积的两倍，且与有相同的高，
所以.
因为点在椭圆上，且点与点在轴同侧，所以点的纵坐标为
将代入椭圆方程，可得，即，解得，
则，因为点在轴正半轴上，所以
因为点在直线上，直线的斜率为，
直线的斜率为，由于三点共线，所以，
即，解方程可得：
（3）由知椭圆，易知直线的斜率存在且不为0，
设直线为，，
由消去得，
，，
则
，
要使为定值，记，则，
又，解得，所以存在点，使得为定值.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意给定的，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“－距离”．
（1）设，直接写出相应的集合；
（2）设，证明：“”是“存在实数，使得的－距离不小于1”的充要条件；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，均有，且直线与的－距离相等，证明：是偶函数．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）；
（2）证明：充分性：当时，取，则
因为，所以，当且仅当0时取等号，所以的最小值为
因为，所以，则不一定成立，但存在实数，使得直线的-距离不小于1，充分性得证.
必要性：假设存在实数，使得直线的-距离不小于1，
即存在最小值
对求导得
当时，在上单调递增，无最小值，不符合题意
当时，令，即，解得
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以当时，取得最小值
因为，所以，即.
令，对求导得.
当时，单调递增；当1时，单调递减.
所以当时，取得最大值，所以，必要性得证.
因此，＂＂是＂存在实数，使得直线的距离不小于1＂的充要条件.
（3）证明：设
因为对任意，均有，所以.
因为直线与的－距离相等，
所以和的最小值相等.
对求导得，对求导得.
因为在上严格增，所以存在，，使得，
即，
所以在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为的最小值为
因为，所以，
即
又因为，所以
因为在上严格增，所以。
将代入得，即
因为是任意的，所以是偶函数