新北师大版八年级数学下册 1.4 线段的垂直平分线 第1课时 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.4 线段的垂直平分线
第一章
三角形的证明及其应用
第1课时
1.全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤ .
HL
2.下列判断一定正确的是（ ）
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等
A
问题：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
A
B
C
应建在C处.
你能说说你的理由吗？
探究一：线段垂直平分线的性质定理
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB．
A
C
B
P
M
N
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
线段垂直平分线的性质定理：
知识归纳
线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等.
注意：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
P
A
B
∟
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为(　　)A.6 B.5 C.4 D.3
B
解析:∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA.
∵PA=5,
∴PB=5.故选B.
探究二：线段垂直平分线的判定定理
逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
(1)你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等”的逆命题吗？
B
P
A
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
C
A
C
B
P
.
（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理：
知识归纳
A
B
P
注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
2.如图所示，AC=AD，BC=BD，则(　　)A.CD垂直平分线段AB
B.AB垂直平分线段CDC.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
B
解析:∵AC=AD,
∴点A在线段CD的垂直平分线上.
∵BC=BD,
∴点B在线段CD的垂直平分线上,
∴AB垂直平分线段CD.故选B.
已知：如图 ，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
例1
证明：∵ AB ＝ AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
还有其他证法吗？
方法2：
证明：延长 AO 交 BC 于点 D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO(SSS).
∴∠BAO＝∠CAO，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°.
即直线 AO 垂直平分线段 BC.
如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
例2
解:（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．18
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
C
A
3.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝72°，则∠CED的度数为（　　）
A．72° B．64° C．54° D．36°
C
C
6.如图所示，在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为　　 .
5.有下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的是　　　　　　.(填序号)
26°
①②③
8.如图，AB=AC,AB 的垂直平分线MN交 AC于点 D,若∠C=65°则∠DBC的度数是 .
7.如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为　 　．
18
15°
9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.
求证:点E在AF的垂直平分线上.
证明: ∵E是BD的垂直平分线上一点,
∴EB=ED,∴∠B=∠D.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D,
∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AFE=∠A,
∴EF=EA,
∴点E在AF的垂直平分线上.
10.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
P
B
D
C
A
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
线段的垂直平分线1
性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等.
判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
作业布置
1.必做题：习题1.4第3，5题。
2.探究性作业：习题1.4第6题。
感谢聆听!