新北师大版八年级数学下册1.3 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 课件(共14张PPT)

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3.直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
第一章
三角形的证明
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？
如果其中一组等边的对角都是直角呢？
A
B
C
F
E
D
如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC 与Rt △DEF是否全等？
尝试交流
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？
（1）假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？
（2）你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。
如图，已知线段 a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C =90°，AB = c，BC = a。
a
c
1.作射线CN。
2.过点C作射线CN的垂线CM。
3.在射线CM上截取CB=a。
4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A。
5.连接AB。
△ABC就是所要作的直角三角形。
C
N
M
B
A
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。
求证：△ABC≌△A′B′C′。
A
C
B
A'
C'
B'
证明：在△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）。
同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2。
∵AB = A'B'，AC = A'C'，
∴BC = B'C'。
∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）。
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
判定两个直角三角形全等的思路：
已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件
一锐角
斜边(H)
一直角边(L)
“ASA”或“AAS”
一边对应相等
“HL”或“AAS”
一条直角边对应相等或一锐角对应相等
“HL”或“SAS”
或“ASA”或“AAS”
另一边对应相等或一锐角对应相等
方法技巧
运用直角三角形的性质与判定来解题，两锐角互余。
例1.如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA 和∠EFD 的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC =∠EDF = 90°，
BC = EF，AC = DF，
∴Rt△BAC ≌Rt△EDF（HL）。
∴∠CBA =∠DEF（全等三角形的对应角相等）。
∵∠DEF +∠EFD = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠CBA +∠EFD = 90°。
方法技巧
运用直角三角形的直角边斜边来判定三角形全等。
例2.如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，
BD=CE. 求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC =∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中，
CE = BD，
BC = CB，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等)
变式训练
1. 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，∠B′ =∠A，AB = B′A′，则下列结论正确的是（ ）
A. AC = A′C′ B. BC = B′C′
C. AC = B′C′ D.∠A′=∠A
C
变式训练
2.如图，AD，BC相交于点O，AC=BD，∠C=∠D=90°。
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）△ABC和△BAD全等吗？请说明理由。
（1）证明：在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC=∠BOD，∠C=∠D=90°，AC=BD，
∴△AOC≌△BOD（AAS）。
（2）解：△ABC和△BAD全等。理由：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA，AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。
变式训练
3.如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC于 F，DE⊥BC 于 E，AB = DC，BE = CF，你认为AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
A
B
D
E
F
C
解：平行.
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB 和∠DEC 都是直角，又 BE = CF，
∴BE + EF = CF + EF，即 BF = CE.
在Rt△ABF 和Rt△DCE 中，
AB = CD，BF = CE，
∴Rt△ABF ≌Rt△DCE（HL），
∴∠B =∠C，∴AB∥CD.
感谢聆听!