3.5三元一次方程组及其解法 教案

3.5　三元一次方程组及其解法
【教学目标】
1．会解简单的三元一次方程组．
2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
【教学重难点】
1．掌握三元一次方程组的解法．
2．针对方程组的特点，选择最好的解法．
【教学过程】
一、导入新课
(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？
(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．
二、推进新课
问题1：教师：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程组．
解：由②，得
x＝y＋1.④
把④代入①，得
2y＋z＝25.⑤
把④代入③，得
y＋z＝16.⑥
⑤与⑥组成方程组
解这个方程组，得
把y＝9代入④，得
x＝9＋1，x＝10.
所以
注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．
b．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最简单的方程④.
c．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含z，那么可以考虑将①与③结合消去z，与②组成二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
问题2：例题分析
【例题】
解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得
11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得
2×5＋3y－2＝9，
y＝.所以
即时归纳：这个方程组的特点是方程①不含y，而②，③中y的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y后，再与①组成只含x，z的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．
三、巩固训练
1．解方程组：
2．课本练习．
四、本课小结
通过这节课的学习，我们学会了什么？还有什么困惑？
1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
3．注意检验．
五、趣味练习
一次方程组的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗；
求上、中、下三等谷每束各是几斗？
注：斗是过去的容积计量单位．
下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？
《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义．
不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题．设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗．
根据题意，得三元一次方程组
通过消元，可以求出各未知数．
上图实际上就是用算筹列出的方程组(
)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．
我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(
)，将①－②可以消去z，将③累减②三次也可以消去z，从而得到二元一次方程组
这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样．
用现代高等代数的符号可以将方程组(
)的系数排成一个表
这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹．利用矩阵解一次方程组的方法，与前面说的算筹方法也是一致的．我们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年．这是我国古代数学的一个光辉成就．