黑龙江哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期三月综合测试数学试题(图片版，含答案)

2025-2026 学年九年级下学期三月综合测试数学试题
一．选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．下列各数：﹣5，2.8，0，﹣4，其中比﹣4 小的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．2.8
2．在我国古代文化艺术宝库中，传统图案纹样丰富多彩，璀璨夺目．下面纹样的示意图中，既是轴对称
图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025 年 12 月 26 日，世界最长高速公路隧道——天山胜利隧道全线通车，这条隧道全长 22130 米，将
天山穿越时间从 3 小时减至 20 分钟，不仅贯通南北疆经济大动脉，更彰显了中国基建的技术实力与民
族韧劲．数据 22130 用科学记数法表示为（ ）
A．0.2213×105 B．2.213×104 C．2.213×105 D．22.13×103
4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．分式方程 的解为（ ）
A．x＝5 B．x＝10 C．x＝15 D．x＝20
6．要得到二次函数 y＝3（x﹣2）2+1 的图象，需将 y＝3x2 的图象（ ）
A．向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
B．向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
C．向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D．向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
7．如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么 的值等于（ ）
1
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD 中，以点 A 为圆心，小于 AD 的长为半径作弧，分别交 AD，AB 于点 E，F，再分别
以 E，F 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 CD 于点 G．若 BC＝3，∠B
＝120°，则 AG 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，作 OD⊥BC 于点 D，连接 OC，若∠A＝48°，则∠OCD 的度数是（ ）
A．42° B．48° C．52° D．60°
10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，当三角板 EFG 的直角顶点 F 在 BC 边上移动时（不与点 B，
点 C 重合），直角边 EF 始终经过点 A，设三角板的另一直角边 FG 与 CD 相交于点 H．若 BF＝x，CH
＝y，那么 y 与 x 之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
2
11．函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 ．
12．因式分解：2a2b﹣12ab+16b＝ ．
13．一个袋子中有 3 个红球，2 个白球，从中摸出一个球，这个球是黄球的概率为 ．
14．不等式组 的解集是 ．
15．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为 220（V）时，通过调节电阻控制
电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示，
则当电阻为 440Ω 时，电流为 A．
16．如图，已知⊙O 是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．大正方形边长为 a，则图中阴影部分的
面积为 ．
17． 若 三 角 形 表 示 3abc， 方 框 表 示 ﹣ 4xywz， 则 × 的 值
为 ．
18．如图，将图（1）中的正六边形进行分割得到图（2），再将图（2）中最小的某一个正六边形按同样的
方式进行分割得到图（3），再将图（3）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则图（2024）
中的正六边形共有 个．
19．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，点 E 是线段 CD 的三等
分点，且靠近点 C，∠FEG 的两边与线段 AB 分别交于点 F、G，连接 AC 分别交 EF、EG 于点 H、K．若
，∠FEG＝45°，则 HK＝ ．
3
20．如图，在矩形 ABCD 中，AB： ，点 O 是对角线 BD 的中点，点 M 在 AD 上且∠DMO＝
60°，点 D 关于 OM 的对称点为 D′，直线 MD′交 BD 于点 P，交 BC 于点 Q，则 S△PBQ：S 四边形 PQCD
＝ ．
三．解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分）
21．（7 分）先化简，再求值： ，其中 a＝tan60°sin60°﹣tan45°．
22．（7 分）地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为
各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫做物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重
心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），
长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上．
（1）如图 a，在 6×6 的网格中，△ABC 的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图 a 中分别按下列
要求画图（保留画图痕迹）．
①作出△ABC 的中线 AD；
②作出△ABC 的重心 G．
直接写出 AG 和 DG 的数量关系为： ．
（2）根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图 b，图 c，分
别在△ABC 的边 AB 上 M1，M2 两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线
M1N1，M2N2，则 M1N1 与 M2N2 的交点 G 即为△ABC 的重心（图 d）．
4
如图 e，若在点 A 处系一根细线，按照上述方式得到 AN3（M3N3），比较 BN3 与 CN3 的大小关系：BN3
CN3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
（3）平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，
则该图形的重心 G 一定在这两部分图形的重心 M，N 所连直线 MN 上．
如图 f 是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图 f 中分别用两种分割方法确定该直
角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为 M1N1，M2N2）．
则 M1N1，M2N2 的交点即为该直角梯形的重心 G（不要求画出重心）．
23．（8 分）某校初三年级一共有 1200 名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初三学生体考成
绩的大致情况，随机抽取了男、女各 40 名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分
信息：
数据分为 A，B，C，D 四个等级分别是：A：49≤x≤50，B：45≤x＜49，C：40≤x＜45，D：0≤x
＜40．
40 名男生成绩的条形统计图以及 40 名女生成绩的扇形统计图如图．
40 名男生和 40 名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：
性别 平均数 中位数 众数
男生 48 a 47
女生 48.5 48 47.5
男生成绩在 B 组的考生的分数为 45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5；
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空 a＝ ，女生成绩为 B 等对应的扇形的圆心角为 ，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由；
5
（3）请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为 A 等级的考生人数．
24．（8 分）在四边形 ABCD 中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD 平分∠ABC．
（1）【问题发现】如图 1，若α＝90°时，DA 与 CD 的数量关系为 ，依据是 ．
（2）【问题解决】如图 2，求证：AD＝CD；
（3）【问题拓展】如图 3，在等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 平分∠ABC，利用（2）的
结论求证：BD+AD＝BC．
25．（10 分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、
乙两种树苗，已知购买 2 棵甲种树苗和 3 棵乙种树苗共需 240 元，购买 3 棵甲种树苗和 2 棵乙种树苗共
需 210 元．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共 600 棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙
种树苗的售价打 9 折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的 2 倍，则学校应该如何设计
购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
26．（10 分）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务．
×年×月×日 星期日 晴
“婆罗摩笈多定理”的拓展与思考
今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩
笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，
定理的内容与证明过程如下：
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平
分对边．即在如图 1 所示的圆内接四边形 ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 P，过点 P 作 PH⊥CD，
垂足为 H．延长 HP 与 AB 交于点 G，则 AG＝BG．
6
下面是该定理的证明过程．
证明：∵AC⊥BD，垂足为 P．PH⊥CD，垂足为 H．
∴∠DPC＝∠PHC＝90°．
∴∠DPH+∠HPC＝90°，∠HCP+∠HPC＝90°．
∴∠DPH＝∠HCP．
∵∠HCP 与∠PBA 都是 所对的圆周角，
∴∠HCP＝∠PBA．（依据 1）
∵∠DPH＝∠BPG．
∴∠BPG＝∠PBA．
∴PG＝BG．（依据 2）
同理，AG＝PG．
∴AG＝BG．
看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究：
如图 2，若弦 AC 与 BD 所在直线互相垂直，且相交于⊙O 外一点 P，过点 P 作 PH⊥CD，垂足为
H，与 AB 相交于点 G，则 AG 与 BG 仍然相等．
…
任务：
（1）填空：材料中的依据 1 是指 ，依据 2 是指 ．
（2）小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图 2 说明理由．
7
（3）如图 3，在图 1 的基础上，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M．延长 MP 交 CD 于点 N．连接 GN．若
AC＝18，BD＝16．请直接写出 GN 的长．
27．（10 分）如图，已知抛物线 y＝x2﹣x﹣2 交 x 轴于 A、B 两点，将该抛物线位于 x 轴下方的部分沿 x 轴
翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 W”，图象 W 交 y 轴于点 C．
（1）写出图象 W 位于线段 AB 上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线 y＝﹣x+b 与图象 W 有两个交点，请结合图象，请求出 b 的取值范围；
（3）P 为 x 轴正半轴上一动点，过点 P 作 PM∥y 轴交直线 BC 于点 M，交图象 W 于点 N，是否存在这
样的点 P，使△NCM 与△OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理
由．
8
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B． B B B C A A B
二．填空题
11．x≤1．
12．2b（a﹣2）（a﹣4）．
13．0．
14．2＜x≤3．
15．0.5．
16． ．
17．﹣36m6n3．
18．6070．
19． ．
20．1：47．
三．解答题
21．解：原式
，
当 a＝tan60°sin60°﹣tan45° 1 1 时，
原式 4．
9
22．解：（1）①如图所示，AD 为所求；
②如图所示，点 G 为所求；
由重心的性质得 AG＝2DG，
故答案为：AG＝2DG；
（2）根据题意，AN3 过△ABC 的重心，
∴AN3 是△ABC 的中线，
∴BN3＝CN3，
故答案为：＝；
（3）如图所示，M1N1，M2N2 为所求．
23．解：（1）男生 A 组有 40﹣15﹣6﹣3＝16（人），
男生成绩处在第 20，21 位的数为：47，47，
因此 a＝（47+47）÷2＝47，
360°×（1﹣40%﹣10%﹣5%）＝162°，
补全条形统计图如图：
故答案为：47，162°；
（2）女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好；
10
（3） 100%＝40%，
1200×40%＝480（人），
答：估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为 A 等级的考生人数为 480 人．
24．（1）解：DA＝DC，
理由：∵BD 平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴AD⊥AB，CD⊥BC，
∴DA＝DC；
故答案为：DA＝DC，角平分线的性质；
（2）证明：如图 2，作 DE⊥BA 交 BA 延长线于 E，DF⊥BC 于 F，
∵BD 平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）解：如图 3，在 BC 上截取 BK＝BD，连接 DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD 平分∠ABC，
11
∴∠DBK ∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得 AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
25．解：（1）设购买一棵甲种树苗需要 x 元，一棵乙种树苗需要 y 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：购买一棵甲种树苗需要 30 元，一棵乙种树苗需要 60 元；
（2）设购买甲种树苗 m 棵，则购买乙种树苗（600﹣m）棵，
由题意得：m≤2（600﹣m），
解得：m≤400，
设总费用为 w 元，
由题意得：w＝30m+60×0.9（600﹣m）＝﹣24m+32400，
∵﹣24＜0，
∴w 随 m 的增大而减小，
∴当 m＝400 时，w 有最小值，
此时，600﹣m＝200，
答：购买甲种树苗 400 棵，乙种树苗 200 棵，才能使购买树苗的总费用最少．
26．解：（1）∵AC⊥BD，垂足为 P．PH⊥CD，垂足为 H，
∴∠DPC＝∠PHC＝90°，
∴∠DPH+∠HPC＝90°，∠HCP+∠HPC＝90°，
∴∠DPH＝∠HCP，
12
∵∠HCP 与∠PBA 都是 所对的圆周角，
∴∠HCP＝∠PBA，（同弧所对的圆周角相等）
∵∠DPH＝∠BPG，
∵∠BPG＝∠PBA，
∴PG＝BG，（等角对等边）
同理，AG＝PG，
∴AG＝BG，
故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
（2）小宇在拓展探究中得出的结论正确；理由如下，
∵DP⊥CP，PH⊥CD，
∴∠DPC＝90°，∠PHC＝90°，
∴∠PDC+∠PCD＝90°，∠HPC+∠PCD＝90°，
∴∠PDC＝∠HPC，
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠GPA+∠BAC＝180°，
又∵∠BAC+∠GAP＝180°，
∴∠GPA＝∠GAP，
∴AG＝PG，
同理，BG＝PG，
∴AG＝BG；
（3）取 BC 的中点 E，连接 GE，NE，如图，
则 BE＝CE，
根据题意可知，AG＝BG，
13
∴GE 为△ABC 中位线，
∴ ，GE∥AC，
同理， ，NE∥BD，
∵AC＝18，BD＝16，
∴ ， ，
∵GE∥AC，AC⊥BD，
∴GE⊥BD，
∵NE∥BD，
∴GE⊥NE，
∴∠GEN＝90°，
在 Rt△GEN 中，由勾股定理得： ．
27．解：（1）由翻折可知：C（0，2），
令 x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设图象 W 的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣2），
代入 C（0，2），解得 a＝﹣1，
∴对应函数关系式为 y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）；
（2）联立方程组 ，
整理，得：x2﹣2x+b﹣2＝0，
由 Δ＝4﹣4（b﹣2）＝0，
得：b＝3，
此时方程有两个相等的实数根，
把 A（﹣1，0）代入 y＝﹣x+b，得 b＝﹣1；
把 B（2，0）代入 y＝﹣x+b，得 b＝2，
∵直线 y＝﹣x+b 与图象 W 有两个交点；
∴b 的取值范围是﹣1＜b＜2 或 b＞3；
14
（3）存在．如图，当 CN∥OB 时，△OBC∽△NMC，
此时，N 与 C 关于直线 对称，
∴点 N 的横坐标为 1，P（1，0）；
如图，
当 CN∥OB 时，△OBC∽△NMC，
此时，N 点纵坐标为 2，
由 x2﹣x﹣2＝2，
解得 ， （舍），
∴N 的横坐标为 ，
所以 ；
如图，当∠NCM＝90°时，△OBC∽△CMN，
此时，直线 CN 的解析式为 y＝x+2，
联立方程组： ，
解得 ， （舍），
∴N 的横坐标为 1 ，
所以 P（1 ，0），
综上所述：P 点坐标为（1，0）或（ ，0）或（1 ，0）．
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