人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.1.4求导法则及其应用第二课时简单复合(共50张PPT)

(共50张PPT)
第六章 6.1　导数 6.1.4　求导法则及其应用
1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导.
学习目标
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数.除此之外,还有一种构造新函数的方法,那就是把两个或几个函数“复合”起来.怎样“复合”呢,复合后的函数怎样求导呢 本节课就让我们来解决这些问题.
引入
课时精练
一、复合函数概念的理解
二、求复合函数的导数
三、复合函数的导数的应用
课堂达标
内容索引
复合函数概念的理解
一
探究1 (链接教材P86尝试与发现)已知h(x)=sin 2x,f(u)=sin u,g(x) =2x,h(x)可以由f(u)与g(x)得到吗
提示　可以.如果在f(u)=sin u中,令u=g(x)=2x,则有f(g(x))=sin(g(x))=sin 2x=h(x).
复合函数的概念
一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为中间变量.
知识梳理
内、外层函数通常为基本初等函数.
温馨提示
例1
√
√
√
A不是复合函数;BCD都是复合函数.
若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数,而f(x),g(x)不是复合函数.
思维升华
训练1
√
y=log2(2x+1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x+1复合而成,故符合题意;
√
√
求复合函数的导数
二
探究2 (链接教材P86尝试与发现)探究 1 中分别求出h'(x),f'(u),g'(x),并总结它们之间的关系.
提示　因为h(x)=sin 2x=2sin xcos x,
所以h'(x)=(2sin xcos x)'=2(sin x)'cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x,
又因为f'(u)=cos u, g'(x)=2,因此 h'(x)=f'(g(x))g'(x).
复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.
知识梳理
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构;
(2)求导由外向内,并保持对外层函数求导时,内层不变的原则;
(3)求每层函数的导数时,注意分清是对哪个变量求导.
温馨提示
例2
(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,
(3)y=5log2(1-x);
(4)y=sin3x+sin 3x.
(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
思维升华
1.解答此类问题常犯的两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;
(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
训练2
复合函数的导数的应用
三
(1)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+b=0垂直,则a=　　　　.
例3
2
因为y=eax,所以y'=aeax,
由题意可知y'|x=0=a=2可知a=2.
(2)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为　　　　.
设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行,

思维升华
正确的求出复合函数的导数是解题的前提,审题时,注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
训练3
【课堂达标】
1.(多选)下列函数是复合函数的是
√
A不是复合函数,B,C,D均是复合函数,
√
√
√
4.曲线y=esin x在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　.
∵y=esin x,
∴y'=esin x·cos x,
∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线的斜率为esin 0·cos 0=1,
其方程为y-1=x,即x-y+1=0.
x-y+1=0
【课时精练】
√
√
2.函数y=x(1-ax)2(a>0),且当x=2时,y'=5,则a=
A.1 B.-1
C.2 D.-2
y'=(1-ax)2-2ax(1-ax),
则12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1.
√
3.设函数f(x)=(2 026-2 025x)3,则f'(1)=
A.6 075 B.-6 075
C.2 025 D.-2 025
f'(x)=3×(-2 025)×(2 026-2 025x)2,
则f'(1)=3×(-2 025)=-6 075.
√
√
6.(多选)下列结论中正确的是
故A正确;
对于B,y=sin x2,则y'=2xcos x2,
故B正确;
√
√
√
7.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组,最高时速为160 km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内,速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v=0.4t+0.6t2,则出站后“绿巨人”速度首次达到24 m/s时加速度为　　　　m/s2.
7.6
当v=24时,0.4t+0.6t2=24,
解得t=6(负根舍去),v'=0.4+1.2t,
当t=6时,v'=0.4+1.2×6=7.6(m/s2).

e2
10.求下列函数的导数:
(1)y=ln(ex+x2);(2)y=102x+3;
(1)令u=ex+x2,则y=ln u.
(5)y=sin 2xcos 3x;(6)y=x3ecos x.
(5)∵y=sin 2xcos 3x,
∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'
=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.
(6)y'=(x3)'ecos x+x3(ecos x)'=3x2ecos x+x3ecos x·(cos x)'=3x2ecos x-x3ecos xsin x.
√
y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),
√
由曲线y=f(x)过(0,0)点,
0
-1
13.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.求切线l的方程.
f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.
14.(1)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
法一　f'(x)=2f'(2-x)(2-x)'-2x+8=-2f'(2-x)-2x+8,
则f'(1)=-2f'(1)-2+8,得f'(1)=2.
又f(1)=2f(1)-1+8-8,得f(1)=1,
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
法二　∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ①
∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. ②
把②代入①得f(x)=x2,
∴f(1)=1,f'(x)=2x,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2,
故所求切线方程为y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0.