人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.1.2导数及其几何意义第二课时导数的几何意义课件(共51张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.1.2导数及其几何意义第二课时导数的几何意义课件(共51张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
第六章 6.1 导数 6.1.2 导数及其几何意义
1.理解导数的几何意义,会求导数.
2.会求曲线的切线方程.
3.会求近似值.
学习目标
2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛,中国选手谢震业以19秒88夺冠,这不仅刷新了全国纪录,还创造了新的亚洲纪录.赛后各国教练都在研究他的弯道技术,通过回放录像分析其弯道时的运动方向.这需要求运动曲线在任一点的切线.怎样求曲线的切线 这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、导数的几何意义
二、求曲线在某点处的切线方程
三、求切点坐标
课堂达标
内容索引
导数的几何意义
一
探究1 直观上感知“割线逼近切线”的变化过程,初步体会“以直代曲”的辩证思想,如图是从割线到切线的变化过程,如何理解f'(x0)的几何意义
导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点_____________处(也称在x=x0处)的切线的______.
知识梳理
(x0,f(x0))
斜率
温馨提示
(1)如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,5)处的切线,则f'(4)等于
例1
√
根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y=f(x)在点(4,5)处的切线的斜率,
(2)已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是
√
由导数的几何意义知,f'(xA),f'(xB)分别是切线在点A,B处切线的斜率,
由图象可知f'(xA)A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定
根据导数的几何意义可知,f'(x0)能反映曲线f(x)在x=x0处的升降及变化快慢情况,若f'(x0)>0,则曲线在该点处上升,若f'(x0)<0,则曲线在该点处下降.
思维升华
训练1
√
A.kB.f'(x1)C.f'(x2)D.f'(x1)∵函数增长的越来越快,
∴函数在该点的斜率越来越大,
∴f'(x1)(2)如图所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)= ,f'(5)= .
-1
由图象知f(5)=-5+8=3,f'(5)等于在该点P处切线的斜率,故f'(5)=-1.
3
求曲线在某点处的切线方程
二
探究2 如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程
提示 即根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程,得y-y0=k(x-x0).
探究3 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同
提示 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
探究4 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点
提示 不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.
(链接教材P72例4)已知曲线C:f(x)=x3.
求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
例2
将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点P(1,1).
本例曲线方程不变,求曲线C过点P(1,1)的切线方程.
迁移
迁移
思维升华
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程,先求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0).
(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
求曲线f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
训练2
求切点坐标
三
在曲线y=x2上过哪一点的切线,
(1)平行于直线y=4x-5;
例3
设P(x0,y0)是满足条件的点,
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,
(3)与x轴成135°的倾斜角.
因为切线与x轴成135°的倾斜角,
思维升华
(1)解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系、平行、垂直等.
(2)切点既在切线上,又在原函数图象上,即切点坐标既满足切线方程,又满足原函数关系式.
已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
训练3
设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
【课堂达标】
√
2.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是
√
f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,
f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,
根据图象可知0A.0B.0C.0D.0x+2y+4=0
4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a) f'(b)(填“<”或“>”).
f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,
由图象可得f'(a)>f'(b).
>
【课时精练】
√
1.设f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
因为f'(x0)=0,所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0.
√
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0
C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在
切线的斜率为k=-2,由导数的几何意义知f'(x0)=-2<0.
√
3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为
A.4 B.16
C.8 D.2
即k=8.
√
4.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
∴f'(x0)=a.
√
设M(2,f(2)),N(4,f(4)),
A.aC.f'(4)6.(多选)曲线f(x)=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程可以为
A.y=9x B.y=9x-26
C.y=9x+26 D.y=9x+6
√
√
7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f'(x)的图象可能是 .(填序号)
②
由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知,
当x<0时,f'(x)>0;当x=0时,f'(x)=0;
当x>0时,f'(x)<0.故②符合.
8.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则f'(2)= .
因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知f'(2)=3.
3
9.已知f(x)=x2+ax,f'(1)=4,曲线f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为-1,则实数a的值为 .
2
由导数的几何意义,得切线的斜率为k=f'(1)=4.
又切线在y轴上的截距为-1,
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=4x-1,
从而可得切点坐标为(1,3),
所以f(1)=1+a=3,即a=2.
10.求过点P(-1,2)且与曲线f(x)=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程.
曲线f(x)=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率k=f'(1)
√
11.(多选)下列说法正确的是
A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f'(x0)有可能存在
√
k=f'(x0),所以f'(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在,
而当斜率不存在时,切线也可能存在,
其切线方程是x=x0,故A,C正确.
(1,1)
x-2y+1=0
13.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.
14.点P在曲线f(x)=x2+1上,且曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标.
设P(x0,y0),
第六章 6.1 导数 6.1.2 导数及其几何意义
1.理解导数的几何意义,会求导数.
2.会求曲线的切线方程.
3.会求近似值.
学习目标
2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛,中国选手谢震业以19秒88夺冠,这不仅刷新了全国纪录,还创造了新的亚洲纪录.赛后各国教练都在研究他的弯道技术,通过回放录像分析其弯道时的运动方向.这需要求运动曲线在任一点的切线.怎样求曲线的切线 这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、导数的几何意义
二、求曲线在某点处的切线方程
三、求切点坐标
课堂达标
内容索引
导数的几何意义
一
探究1 直观上感知“割线逼近切线”的变化过程,初步体会“以直代曲”的辩证思想,如图是从割线到切线的变化过程,如何理解f'(x0)的几何意义
导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点_____________处(也称在x=x0处)的切线的______.
知识梳理
(x0,f(x0))
斜率
温馨提示
(1)如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,5)处的切线,则f'(4)等于
例1
√
根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y=f(x)在点(4,5)处的切线的斜率,
(2)已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是
√
由导数的几何意义知,f'(xA),f'(xB)分别是切线在点A,B处切线的斜率,
由图象可知f'(xA)
根据导数的几何意义可知,f'(x0)能反映曲线f(x)在x=x0处的升降及变化快慢情况,若f'(x0)>0,则曲线在该点处上升,若f'(x0)<0,则曲线在该点处下降.
思维升华
训练1
√
A.k
∴函数在该点的斜率越来越大,
∴f'(x1)
-1
由图象知f(5)=-5+8=3,f'(5)等于在该点P处切线的斜率,故f'(5)=-1.
3
求曲线在某点处的切线方程
二
探究2 如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程
提示 即根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程,得y-y0=k(x-x0).
探究3 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同
提示 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
探究4 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点
提示 不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.
(链接教材P72例4)已知曲线C:f(x)=x3.
求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
例2
将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点P(1,1).
本例曲线方程不变,求曲线C过点P(1,1)的切线方程.
迁移
迁移
思维升华
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程,先求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0).
(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
求曲线f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
训练2
求切点坐标
三
在曲线y=x2上过哪一点的切线,
(1)平行于直线y=4x-5;
例3
设P(x0,y0)是满足条件的点,
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,
(3)与x轴成135°的倾斜角.
因为切线与x轴成135°的倾斜角,
思维升华
(1)解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系、平行、垂直等.
(2)切点既在切线上,又在原函数图象上,即切点坐标既满足切线方程,又满足原函数关系式.
已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
训练3
设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
【课堂达标】
√
2.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是
√
f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,
f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,
根据图象可知0
4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a) f'(b)(填“<”或“>”).
f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,
由图象可得f'(a)>f'(b).
>
【课时精练】
√
1.设f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
因为f'(x0)=0,所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0.
√
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0
C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在
切线的斜率为k=-2,由导数的几何意义知f'(x0)=-2<0.
√
3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为
A.4 B.16
C.8 D.2
即k=8.
√
4.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
∴f'(x0)=a.
√
设M(2,f(2)),N(4,f(4)),
A.a
A.y=9x B.y=9x-26
C.y=9x+26 D.y=9x+6
√
√
7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f'(x)的图象可能是 .(填序号)
②
由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知,
当x<0时,f'(x)>0;当x=0时,f'(x)=0;
当x>0时,f'(x)<0.故②符合.
8.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则f'(2)= .
因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知f'(2)=3.
3
9.已知f(x)=x2+ax,f'(1)=4,曲线f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为-1,则实数a的值为 .
2
由导数的几何意义,得切线的斜率为k=f'(1)=4.
又切线在y轴上的截距为-1,
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=4x-1,
从而可得切点坐标为(1,3),
所以f(1)=1+a=3,即a=2.
10.求过点P(-1,2)且与曲线f(x)=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程.
曲线f(x)=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率k=f'(1)
√
11.(多选)下列说法正确的是
A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f'(x0)有可能存在
√
k=f'(x0),所以f'(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在,
而当斜率不存在时,切线也可能存在,
其切线方程是x=x0,故A,C正确.
(1,1)
x-2y+1=0
13.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.
14.点P在曲线f(x)=x2+1上,且曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标.
设P(x0,y0),