人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.1.1函数的平均变化率课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
第六章 6.1　导数
1.了解平均变化的实际情况.
2.理解平均变化率的含义.
3.会求函数在某一点附近的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题.
学习目标
在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学来刻画山坡的平缓与陡峭程度呢 这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、函数的平均变化率
二、以直代曲
三、平均速度与平均变化率
课堂达标
内容索引
函数的平均变化率
一
探究1 假设如图是一座山的剖面示意图,建立如图所示的平面直角坐标系.A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此
时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标
为(x2,y2).
(1)若旅游者从点A爬到点B,且这段山路是平直的,自变量x和函数值y的改变量Δx,Δy分别是多少
(2)能否根据Δy的大小判断山路的陡峭程度
(3)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢
知识梳理
Δx=x2-x1
Δy=y2-y1
温馨提示
例1
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤是:
思维升华
(1)如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=
A.-3 B.2
C.3 D.-2
训练1
√
√
∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[2(1+Δx)2-4]-(-2)=2(Δx)2+4Δx,
以直代曲
二
已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线段,
则图中阴影部分的面积近似为　　　　 .
例2

思维升华
以直代曲思想用来研究函数的局部性质,重在体会“无限逼近”,“量变到质变”,“近似与精确”的思想.
刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家,他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想,创立了割圆术,如图是半径为1尺的圆内接正六边形,若用该正六边形的面积近似代替圆的面积,则该圆的
面积的近似值为　　　　 .
训练2

平均速度与平均变化率
三
知识梳理

平均速度
温馨提示
角度1　求平均速度
例3
依题意知Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=24,
(链接教材P66例2)已知某质点按规律s=2t2+2t做直线运动(路程s的单位为m，时间t的单位为s),求:
(1)该质点在前3 s内运动的平均速度;
(2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度.
由题意知Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=12,
角度2　平均变化率的意义及应用
例4
(1)(链接教材P67练习BT4)甲,乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在[0,t0]这个时间段内,甲,乙两人的平均速度v甲,v乙的大小关系是
A.v甲>v乙 B.v甲C.v甲=v乙 D.不确定
√
由图知,s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0)>0,
思维升华
(1)(多选)A,B两个单位开展节能活动,活动开始后两个单位的用电量W1(t),W2(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示,则一定有
训练3
A.两个单位节能效果一样好
B.A单位比B单位节能效果好
C.A单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率小
D.A单位与B单位自节能以来用电量总是相同
√
√
由题意可知,A单位所对应的图象比较陡峭,B单位所对应的图象比较平缓,故一定有A单位比B单位节能效果好.故B正确.
用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,所以A单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率小,C正确.
(2)一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系s(t)=t2+1,该质点在[2,2+Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5,求Δt的取值范围.
【课堂达标】
√
设直线O'A,AB,BC的斜率分别为kO'A,kAB,kBC,
2.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为
A.-1 B.1
C.2 D.3
√
3.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为　　　　.

4.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是　　　　.
由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为:
[x3,x4]
【课时精练】
√
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为
A.3 B.2
C.1 D.4
∴m+1=3,∴m=2.
√
2.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为
A.3 B.0.29
C.2.09 D.2.9
f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2.
√
3.一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)=-x2+2x,则S(x)从2到2+Δx的平均速度为
A.2-Δx B.-2-Δx
C.2+Δx D.(Δx)2-2·Δx
∵S(2)=-22+2×2=0,
√
2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)2+1=2+2Δx+(Δx)2,
√
5.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D. k1，k2的大小关系不确定
6.(多选)甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,则下列说法正确的是
A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
√
√
8.已知函数f(x)=x2+4上两点A,B,xA=1,xB=1.3,则直线AB的斜率为　　　　.
f(1)=5,f(1.3)=5.69.
2.3　
9.在甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，两人的平均速度 　　　　 （用“>"“<”或“=”填空）.
<　
由题图可知， ，所以在从0到 t0这段时间内乙的平均速度大.
10.某质点按规律做运动,且在t=2 s时,位移x=12 m,当t=3 s时,位移x=24 m,t=4 s时,位移x=38 m.
(1)求这个质点在时间段[2,3],[3,4]的平均速度;
(2)估计出t=3.2 s时质点的位移.
√
11.(多选)关于函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均变化率,下列说法正确的是
A.与a的取值有关 B.与b的取值有关
C.与a的取值无关 D.与b的取值无关
√
所以平均变化率与a,b的取值没有关系.
12.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在区间[-1,1]上的平
均变化率为　　　　;在区间[0,2]上的平均变化率为
　　　　.


14.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯.
(1)求身影的长度y与人到路灯的距离x之间的关系式;
如图所示,设人从C点运动到B处的路程为x m,AB为身影长度,AB的长度为y m,
(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率.
84 m/min=1.4 m/s,在[0,10]内自变量的增量为x2-x1=1.4×10-1.4×0=14,