人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.1.2导数及其几何意义第一课时瞬时变化率与导数课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
第六章 6.1　导数 6.1.2　导数及其几何意义
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解极限的意义,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,理解导数的实际意义.
学习目标
有一个长方体的木块放置在一个光滑的坡面上,让它自己滑落下来,这个过程中,木块的速度越来越快,那它的速度是怎么变化的呢 在某两个时刻之间的变化是一样的吗 此时我们就需要用到函数的瞬时变化率(导数)来进行解答.
引入
课时精练
一、瞬时变化率
二、函数在某点处的导数
三、导数的实际意义
课堂达标
内容索引
瞬时变化率
一
(1)瞬时变化率:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量
为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率___________________无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.
(2)函数f(x)在x=x0处的导数
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为k,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在_______处的导数,记作f'(x0)=k.
即f'(x0)=______________________.
知识梳理
x=x0

(1)函数应在x0处的附近有定义,否则导数不存在.
(2)在极限式中,Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量,所以Δx可正、可负,但不能为0.
当Δx>0(或Δx<0)时,Δx→0表示x0+Δx从右边(或从左边)趋近于x0.
(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是个常数,不是变量.
温馨提示
温馨提示
(链接教材P74练习AT3)已知函数f(x)=x2+x+1,求
(1)函数f(x)在[1,1+Δx]的平均变化率;
例1
即f(x)在[1,1+Δx]的平均变化率为3+Δx.
(2)函数在x=1处的瞬时变化率.
思维升华
一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(s的单位是:m,t的单位是:s).
(1)求t=0 s到t=2 s时的平均速度;
(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度.
训练1
函数在某点处的导数
二
(链接教材P70例1) (1)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数;
例2
∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)+2=3Δx-(Δx)2,
(2)求函数y=3x2在x=1处的导数.
∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=6Δx+3(Δx)2,
思维升华
用定义求导数的三个步骤
训练2
导数的实际意义
三
(链接教材P70例2) 一条水管中流过的水量y(单位:m3)与时间t(单位:s)之间的函数关系为y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
例3
思维升华
(链接教材P71例3)某正方形铁板在0 ℃时,边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁板的边长也会发生变化,已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1+at)cm,其中a为常数.设此时正方形的面积为S cm2,且S=f(t),求f'(0),并解释其实际意义.
训练3
依题意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.
【课堂达标】
1.如果某物体的运动方程为s=2(1-t2) (s的单位为m,t的单位为s),那么其在1.2 s末的瞬时速度为
A.-4.8 m/s B.-0.88 m/s
C.0.88 m/s D.4.8 m/s
√
2.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则
A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
√
√
√
3.物体做匀速运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是　　　　　.
物体做匀速直线运动,所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.
相等

【课时精练】
√
1.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是
A.-3 B.3 C.6 D.-6
即质点在t=1时的瞬时速度是-6.
√
2.已知函数s(t)=-t2+2t,则s'(t)=
A.2t+2 B.-2t-1
C.2t-1 D.-2t+2
√
√
A.表示t=t0时汽车的瞬时加速度 B.表示t=t0时汽车的瞬时速度
C.表示t=t0时汽车的路程变化率 D.表示t=t0时汽车与起点的距离
5.如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是
√
不妨设A固定,B从A点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x很小,即弧AB长度很小,这时给x一个改变量Δx,那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢;当弦AB接近于圆的直径时,同样给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快;从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢.由上可知函数y=f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D正确.
6.(多选)为了评估某种治疗药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量,甲、乙两人服用该药物后,血管中的药物浓度c(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)变化的关系如图所示,则下列四个结论中正确的是
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在t2时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
√
√
√
1
0
9.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为　　　　.
(3,30)
令f(x)=2x2+4x,
当0≤t<3时,s(t)=3t2,
√
11.(多选)设f(x)在x0处可导,下列式子中与f'(x0)相等的是
√
若Δx=0.02,则f(3.02)=f(3+0.02)≈f(3)+f'(3)×0.02=9+9×0.02=9.18,
即f(3.02)的近似值为9.18.
9
9.18