人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.2.1导数与函数的单调性课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
第六章 6.2　利用导数研究函数的性质
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
学习目标
跳水比赛精彩纷呈,随着运动员纵身一跳,一道优美的弧线呈现在我们眼前.这是我们熟知的二次函数,它的单调性与其导数有没有关系呢 这就是本节课要讨论的内容.
引入
课时精练
一、函数的单调性与导数的关系
二、利用导数求函数的单调区间
三、由导数的信息画函数的大致图象
课堂达标
内容索引
函数的单调性与导数的关系
一
导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都______,曲线呈____状态,因此f(x)在(a,b)上是___函数,如图(1)所示;
(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都______,曲线呈_____状态,因此f(x)在(a,b)上是__函数,如图(2)所示.
知识梳理
大于0
上升
增
小于0
下降
减
利用导数研究函数单调性时应注意的问题
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域.
(2)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
(3)注意在某一区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件,而不是充要条件.
温馨提示
(链接教材P93例1、例2)求下列函数的单调区间.
(1)y=x-x2;
例1
∵y=x-x2,∴y'=1-2x.
(2)y=x-x3.
∵y=x-x3,
利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数y=f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数;
(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上为减函数.
思维升华
求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x2-4x+2;
训练1
∵f(x)的定义域为R,f'(x)=2x-4,
令f'(x)=0,解得x=2,
∴当x∈(-∞,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0;
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,2),单调递增区间为(2,+∞).
(2)f(x)=x3-x2.
f(x)=x3-x2的定义域为R,
利用导数求函数的单调区间
二
探究1 如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性
提示　f(x)是常数函数.
探究2 在区间(a,b)内,f'(x)>0是f(x)在(a,b)上为单调增函数的什么条件
提示　充分不必要条件,如f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.
(链接教材P94例3)利用导数判断下列函数的单调性:
(1)f(x)=x2·e-x;
例2
易知函数的定义域为R.
f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),
令f'(x)>0,则0则x<0或x>2,
所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)为单调递减,在(0,2)为单调递增区间.
思维升华
利用导数研究函数单调性的方法
第一步:求定义域;
第二步:对函数求导;
第三步:若f'(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;
若f'(x)<0,则y=f(x)在(a,b)上单调递减.
训练2
因为f(x)=x2-2x+aln x,x∈(0,+∞),
由导数的信息画函数的大致图象
三
(1)函数y=f(x)的图象如图所示,给出以下说法:
√
例3
①函数y=f(x)的定义域是[-1,5];
②函数y=f(x)的值域是(-∞,0]∪[2,4];
③函数y=f(x)在定义域内是增函数;
④函数y=f(x)在定义域内的导数f'(x)>0.
其中正确的是
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
由图象可知,函数的定义域为[-1,5],值域为(-∞,0]∪[2,4],故①②正确.
√
(2)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为
由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项可知选D.
思维升华
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
(1)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中,下列选项不正确的是
训练3
√
A、B、C均有可能;对于D,若C1为导函数,
则y=f(x)应为增函数,不符合;
若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合.
√
(2)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.
【课堂达标】
1.已知f(x)在R上是可导函数,f(x)的图象如图所示,则不等式f'(x)>0的解集为
√
∵f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数,
∴在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上f'(x)>0.
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-2,-1)∪(1,2)
2.(多选)下列区间中，函数f(x)=(x-3)ex在其上为增函数的是
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(3,4) D.(2,+∞)
√
∵f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
由f'(x)>0得(x-2)ex>0,
∴x>2.
∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞),C,D符合.
√
3.函数f(x)=x+2cos x,x∈(0,π)的单调递减区间是　　　　　　.

4.函数f(x)=x-2sin x,x∈(0,π)的单调递减区间是　　　　.

【课时精练】
√
1.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
易知f'(x)=-sin x-1,x∈(0,π),
∴f'(x)<0,则f(x)=cos x-x在(0,π)上单调递减.
√
√
√
√
5.设函数f(x)的大致图象如图所示,则函数y=[f(x)]2的单调递增区间是
由题可知y'=2f(x)f'(x)≥0,由图可知,当x∈(-∞,1]时,f'(x)≥0,
当x∈[1,+∞),f'(x)≤0,
所以2f(x)f'(x)≥0的解集为[0,1]∪[3,+∞).
A.[0,3]
B.(-∞,0]和[1,3]
C.(-∞,0]和[3,+∞)
D.[0,1]和[3,+∞)
√
√
由题意可知f(x)是R上的增函数.
故B中函数是“H函数”;
对于C,f'(x)=ex>0恒成立,故C中函数是“H函数”;
对于D,f(x)为偶函数,所以它不可能为R上的增函数,故D中函数不是“H函数”.
7.函数y=x2-4x+a的递增区间为　　　　,递减区间为　　　　.
(2,+∞)
y'=2x-4,令y'>0,得x>2;
令y'<0,得x<2,
所以y=x2-4x+a的递增区间为(2,+∞),递减区间为(-∞,2).
(-∞,2)
由题图知,当x∈(-∞,-3)∪(-1,1)时,f'(x)<0;
(-3,-1)∪(0,1)
9.函数f(x)=x2-5x+2ln (2x)的单调递增区间是　　　　　　　　.
10.判断函数f(x)=2x(ex-1)-x2的单调性.
函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2(ex-1+xex-x)=2(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上是增函数,在(-1,0)上是减函数.
√
11.(多选)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
设g(x)=exf(x),
√
由x>0,a<0,f'(x)>0,得1-x2<0,
解得x>1;
若f'(x)<0,即1-x2>0,解得0所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(1,+∞)　
(0,1)
13.已知函数f(x)=ex-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
由题意可得f(0)=1,即切点为(0,1),
因为f'(x)=ex-1,所以在(0,1)处的切线斜率k=0,切线方程为y=1.
(2)判断函数f(x)在(-∞,+∞)内的单调性.
因为f'(x)=ex-1,
当x∈(0,+∞)时,f'(x)=ex-1>0,函数单调递增,
当x∈(-∞,0)时,f'(x)=ex-1<0,函数单调递减,
所以函数f(x)=ex-x在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.
因为f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(2)求函数f(x)的单调区间.