人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.1.4求导法则及其应用第一课时导数的四则运算法则及应用课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第六章 6.1　导数 6.1.4　求导法则及其应用
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数.
学习目标
由导函数的定义可知,一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数,并且知道,很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到,能否先求出基本初等函数的导数,然后研究出导数的"运算法则",这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
引入
课时精练
一、函数和与差的求导法则
二、函数积与商的求导法则
三、求导法则的应用
课堂达标
内容索引
函数和与差的求导法则
一
两个函数和或差的导数:[f(x)±g(x)]'=_________________.
知识梳理
f'(x)±g'(x)
推广:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
温馨提示
例1
两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),对于每一项分别利用导数的求导法则即可.
思维升华
求下列函数的导数:
(1)y=x5-x3+cos x;
(2)y=lg x-ex.
训练1
(1)y'=(x5)'-(x3)'+(cos x)'=5x4-3x2-sin x.
函数积与商的求导法则
二
探究2 (链接教材P83尝试与发现)如果f(x),g(x)都可导,你认为f(x)g(x) 的导数与f'(x),g'(x)有什么关系 用实例验证你的猜想.
提示　 一般来说,[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x),
例如,当f(x)=x,g(x)=x2时,
f(x)g(x)=x3,
因此[f(x)g(x)]'=(x3)'=3x2,
f'(x)=1,g'(x) =2x,
即[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x),
事实上,可以证明,当f(x),g(x)都可导时,
有[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g(x)',
即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数.
特别地,当g(x)是常函数,即g(x)=C时,因为C'=0,所以由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf(x)'.
即常数与函数之积的导数,等于常数乘函数的导数.
知识梳理
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(g(x)≠0)
注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式.
温馨提示
例2
(1)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,∴y'=3x2-2x+1.
思维升华
1.解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则.
2.对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简(恒等变形),然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程.
√
训练2
D中(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,D错误;
B,C正确.
√
f'(x)=x2+ax
求导法则的应用
三
角度1　求切线方程
例3
已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为　　　　　　　　.
x-y-1=0
设切点坐标为(x0,y0).
角度2　求参数的值
例4
函数y=mx3+2x+1在点(1,m+3)处的切线为l.若l与直线y=3x平行,求实数m的值.
由题意得y'=3mx2+2,
迁移
切线斜率k=3m+2,
思维升华
利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时,首先应判断所给定点是不是切点,如果不是,需设出切点坐标.
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上,可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.
(3)如果切线的斜率存在,那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.
训练3
√
√
【课堂达标】
√
√
3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3x2+2xf'(2),则f'(2)=　　;f'(5)=　　.
依题意,f'(x)=6x+2·f'(2),
令x=2得f'(2)=12+2·f'(2),
∴f'(2)=-12,
∴f'(x)=6x-24,
∴f'(5)=6×5-24=6.
-12
6
4.已知函数f(x)=ex·sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是　　　　.
∵f(x)=ex·sin x,
∴f'(x)=ex(sin x+cos x),
f'(0)=1,f(0)=0,
∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即x-y=0.
x-y=0
【课时精练】
√
A.0 B.1
C.-1 D.2
√
√
因为f'(x)=x2-2x,k=f'(1)=-1,
√
√
5.曲线f(x)=x2ln x在点(1,0)处的切线方程为
A.y=2x-1 B.y=2x-20
C.y=x-1 D.y=x+1
因为f(x)=x2ln x,
所以f'(x)=x(2ln x+1),所以f'(1)=1,
故曲线f(x)=x2ln x在点(1,0)处的切线方程为y-0=x-1,即y=x-1.
6.(多选)过点P(2,-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线,则切线方程可以为
A.3x+y=0 B.24x-y-54=0
C.3x-y=0 D.24x-y+54=0
设切点为(m,m3-3m),
f(x)=x3-3x的导数为f'(x)=3x2-3,
则切线斜率k=3m2-3,
由点斜式方程可得切线方程为
y-m3+3m=(3m2-3)(x-m),
√
√
将点P(2,-6)代入可得-6-m3+3m=(3m2-3)(2-m),
解得m=0或m=3.
当m=0时,切点为(0,0),
切线方程为3x+y=0;
当m=3时,切点为(3,18),切线方程为24x-y-54=0.
∵f'(x)=f'(-1)·x-2,

5x-y+2=0
√
若f(x)=2x-sin x,则f'(x)=2-cos x,所以f'(0)=1>0,故A不符合题意;
若f(x)=x-2sin x,则f'(x)=1-2cos x,
所以f'(0)=-1<0,故B符合题意;
√
1
2
13.已知抛物线f(x)=ax2+bx-7经过点(1,1),且在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0,求a,b的值.
由抛物线f(x)=ax2+bx-7经过点(1,1),
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
设P(x0,y0)为曲线上任一点,
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).