人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.2.2导数与函数的极值、最值第二课时函数的导数与最值课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
第六章 6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.2　导数与函数的极值、最值
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
学习目标
喜马拉雅山脉是世界海拔最高的山脉,位于中国与尼泊尔之间,其主峰珠穆朗玛峰,海拔8 844.43米,也是世界上最高的山峰!吐鲁番盆地位于新疆维吾尔族自治区东部,是中国最低的洼地,盆底的艾丁湖湖面海拔-154.31米,是我国大陆的最低处.在数学学习中,也有类似的情况.例如,函数的最值问题.函数的极值与最值有什么关系呢 这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、极值与最值的关系
二、求函数的最值
三、由最值求参数的值或范围
课堂达标
内容索引
极值与最值的关系
一
探究1 如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗
提示　最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质,且要求函数是连续不断的,而最值不同于极值,如果有最大(小)值,则唯一存在.
函数最值的定义
(1)假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,函数的最值必在________或__________处取得.
(2)如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意x∈I,总有f(x)≤f(x0),那么f(x0)为函数在定义域上的________;如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意x∈I,总有____________,那么f(x0)为函数在定义域内的最小值.
知识梳理
极值点
区间端点
最大值
f(x)≥f(x0)
(1)开区间不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值;
(2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.
温馨提示
(链接教材P100练习AT1)如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
例1
由题图可知,y=f(x)在x1,x3处取得极小值,在x2处取得极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域内的点(不含端点),而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
思维升华
设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点
训练1
√
根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点,可能是区间的端点.连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确,若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确.
求函数的最值
二
探究2 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值或最小值一定是某极值吗
(2)怎样确定函数f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值
提示　(1)不一定,也可能是区间端点的函数值.
(2)比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.
函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的______;
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值_____________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
知识梳理
极值
f(a),f(b)
(链接教材P99例3)求下列各函数的最值.
(1)f(x)=3x3-9x+5,x∈[-2,2];
例2
f'(x)=9x2-9=9(x+1)(x-1),
令f'(x)=0得x=-1或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -1 ↗ 11 ↘ -1 ↗ 11
从表中可以看出,当x=-2或x=1时,函数f(x)取得最小值-1.
当x=-1或x=2时,
函数f(x)取得最大值11.
思维升华
求函数最值需注意
(1)首先确定函数的定义域.
(2)若定义域为闭区间,则最值在极值点或区间端点处取得,通过比较大小确定最值;若定义域为开区间,则需借助导数分析研究函数的单调性与极值情况,画出函数的大致图象,结合图象确定最值是否存在,存在时求出最值.
求下列函数的最值:
(1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4];
训练2
f'(x)=6x2-12x=6x(x-2).
令f'(x)=0,得x=0或x=2.
又f(0)=3,f(2)=-5,f(4)=35,f(-2)=-37,
∴当x=4时,f(x)取最大值35.
当x=-2时,f(x)取最小值-37.
即f(x)的最大值为35,最小值为-37.
x (-∞,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
由最值求参数的值或范围
三
已知f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
例3
f(x)的定义域为(0,+∞),
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
迁移
由题设知f(x)的定义域为(0,+∞),
思维升华
已知最值求参数的值或范围的策略
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
提醒:比较区间端点函数值和极值时,有时需要利用作差法比较大小.
已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
训练3
由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.
求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0,且x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.
(2)当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【课堂达标】
√
所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)
A.有最值,但无极值 B.有最值,也有极值
C.既无最值,也无极值 D.无最值,但有极值
√
f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-1,1)上单调递减,
无最大值和最小值,也无极值.
3.已知f(x)=-x3+3x2+m在[-2,2]上的最小值为1,则实数m=　　　　.
f'(x)=-3x2+6x,令f'(x)=0得x=0或x=2.当x∈[-2,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,2]时,f'(x)>0.
所以当x=0时,f(x)有极小值,也是最小值,f(0)=m=1.
1
4.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　.
f(x)=(x+1)ex,得f'(x)=(x+2)ex,
【课时精练】
√
1.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为
A.16 B.12 C.32 D.6
∵f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,可知M-m=24-(-8)=32.
√
2.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是
A.3 B.18 C.20 D.0
令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,
则f(x)min=f(-3)=-19,
f(x)max=f(-1)=f(2)=1,
由题意知|f(x1)-f(x2)|max=|-19-1|=20,
∴t≥20,故tmin=20.
√
由题意得函数f(x)=x3-6bx+3b的导函数f'(x)=3x2-6b在(0,1)内有零点,
√
4.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
令F(x)=f(x)-g(x),
∵f'(x)∴F(x)在[a,b]上单调递减,
∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).
√
则h'(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),
所以当x∈[1,3)时,h(x)单调递减;
当x∈(3,+∞)时,h(x)单调递增.
当x=3时,函数h(x)取得极小值也是最小值.
因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方,
所以h(x)min>0,即h(3)=a>0.
√
√
√
7.已知函数f(x)=ln x+2,设函数h(x)=f(x+1)-x-2,则h(x)的最大值是　　　　.
0
当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,+∞)时,h'(x)<0,
所以h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)最大值为h(0)=0.
8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为　　　　.
f'(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0.
即-3×4+2a×2=0,故a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4.
f'(x)=-3x2+6x,由此可得f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
-4

0
(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值与最小值.
√
11.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的可能取值是
A.0 B.1 C.2 D.3
由f(x)=3x-x3,得f'(x)=3-3x2.
令f'(x)>0,解得-1解得x<-1或x>1.
由此得函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故函数在x=-1处取到极小值-2.
√
√
4
当a≤0时,x-a>0,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)无极值;
当a>0时,若x∈(0,a),f'(x)<0;当x∈(a,+∞),f(x)>0;
∴f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
∴f(x)的极小值为f(a)=1+ln a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)的极小值为1+ln a,无极大值.
(2)求f(x)在[1,e]上的最小值g(a).
当a≤1时,f'(x)≥0在[1,e]恒成立,
(3)讨论f(x)在[1,e]上的最大值.
由(2)可知若a≤1,则f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,