人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.2.2导数与函数的极值、最值第一课时函数的导数与极值课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
第六章 6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.2　导数与函数的极值、最值
1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
学习目标
(链接教材P96情境与问题)在群山之中,某个山峰的顶端可能不是群山的最高点,但它一定是其附近的最高点;某个山谷,可能不是群山的最低点,但它一定是附近的最低点.在数学学习中,也有类似的情况.例如函数的极值问题.这正是这一节我们要学习的内容.
引入
课时精练
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值或极值点
三、由极值求参数的值或范围
课堂达标
内容索引
函数极值概念的理解
一
探究1 (链接教材P96情境与问题)观察图中函数y=f(x)的图象,指出其中是否有类似山峰、山谷的地方,如果有,尝试用数学语言描述.
提示　从图中可以看出,函数y=f(x)在x1,x3,x5这三点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最大值;而在x2,x4这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者.
探究2 (链接教材P97尝试与发现)从如图所示的函数y=f(x)图象中可以看出,A,B,C,D对应的横坐标x1,x2,x3,x4都是函数的极值点,已知曲线y=f(x)在A,B,C,D之处都存在切线.
(1)A,B,C,D处的切线具有什么特征 这说明f(x)在x1,x2,x3,x4处的导数具有什么特点
(2)曲线y=f(x)在A,B,C,D附近的点处的切线具有什么特征
提示　(1)可以看出,曲线y=f(x)在A,B,C,D处的切线都是水平的,即f'(x1)=f'(x2)=
f'(x3)=f'(x4)=0.
(2)在A点与C点左侧的附近,曲线的切线斜率都大于零,在右侧的附近曲线的切线斜率都小于零.在B点与D点的附近则正好与点C和点D处相反,因此在两侧附近的符号不一样.
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)f(x)(2)_____________,则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
知识梳理
极大值点
f(x)>f(x0)
2.极值与导数之间的关系
一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有________;对于x0右侧附近的任意x,都有_________,那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x,都有________;对于x0右侧附近的任意x,都有___________,那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
f'(x)>0
f'(x)<0
f'(x)<0
f'(x)>0
(1)极值点不是点;(2)极值是函数的局部性质;(3)函数的极值不唯一;(4)极大值与极小值两者的大小不确定;(5)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点;(6)若f'(x0)=0,则x0不一定是极值点,即f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f'(x)的变号零点,才是函数的极值点.
温馨提示
(链接教材P100练习AT1)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为
例1
A.1 B.2
C.3 D.4
√
设f'(x)穿过x轴的两个交点的横坐标分别为c,d,其中c所以此时函数f(x)在(a,c),(d,b)上单调递增,
在(c,d)上,f'(x)<0,所以此时f(x)在(c,d)上单调递减,
所以当x=c时,函数取得极大值,当x=d时,函数取得极小值.
则函数y=f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为1.
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.设导函数与x轴相交时x=x0，(1)如果“左正右负”,那么函数f(x)在x=x0处取得极大值;(2)如果“左负右正”,那么函数f(x)在x=x0处取得极小值;(3)如果左右符号不改变,那么函数f(x)在x=x0处不取极值.
思维升华
函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
训练1
③⑤
求函数的极值或极值点
二
(链接教材P98例2)(1)函数f(x)=xsin x+cos x-3x2的极值点为　　　　.
例2
由已知得f'(x)=sin x+xcos x-sin x-6x=x(cos x-6),
所以当x<0时,f'(x)>0,
当x>0时,f'(x)<0,
即函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在x=0处取到极大值.
0
①函数的定义域为R.
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 -3 单调递增 -1 单调递减
列表如下,
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 3 单调递增
从表中可以看出,当x=1时,函数f(x)有极小值,极小值为f(1)=3,f(x)无极大值.
思维升华
求可导函数f(x)极值的步骤
(1)定义域:求函数的定义域;
(2)求导:求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0:求出方程f'(x)=0全部的根,即导函数f'(x)的零点;
(4)列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)结论:若导数f'(x)在x0附近左正右负,则函数f(x)在x0处取得极大值;若左负右正,则函数f(x)在x0处取得极小值.
提醒　使f'(x)无意义的点,可以用定义去判断.如0是f(x)=|x|的极小值点,但f'(0)不存在.
(1)(多选)对于函数f(x)=ex(x-1)2(x-2),以下选项正确的是
A.有2个极大值 B.有2个极小值
C.1是极大值点 D.1是极小值点
√
训练2
√
(2)函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为　　　　.
2
由f'(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2.
列表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x=2时,f(x)取得极小值.
由极值求参数的值或范围
三
探究3 若f'(x0)存在,则“f'(x0)=0”是“x0是y=f(x)的极值点”的什么条件
提示　“f'(x0)=0”是“x0是y=f(x)的极值点”的必要不充分条件.如f(x)=x3,
由f'(x)=0得x=0,但0不是f(x)=x3的极值点.
(链接教材P101练习BT3)(1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a=　　　　,b=　　　　.
例3
2
9
∵f'(x)=3x2+6ax+b,且函数f(x)在x=-1处有极值0,
当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数;
当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,此时f(x)为减函数;
当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数.
故f(x)在x=-1处取得极小值,
∴a=2,b=9.
∵f'(x)=x2-2x+a,
由题意得方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,
∴Δ=4-4a>0,解得a<1.
(-∞,1)
思维升华
已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点:
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
(1) 已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是
A.(-∞,-1) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(-1,0)
训练3
∵f'(x)=a(x+1)(x-a),若a<-1,
∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,
∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1若a>0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意不符.
√
(2)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P,且曲线y=f(x)在点P处的切线方程为12x-y+4=0.若函数f(x)在x=2处取得极值0,求f(x)的解析式.
由题意得P(0,d),代入12x-y+4=0中,得d=12×0+4=4.
因为f(x)=ax3+bx2+cx+d,
则f'(x)=3ax2+2bx+c,
【课堂达标】
1.(多选)函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论正确的是
√
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
√
√
根据导函数图象知,x∈(1,2)时,
f'(x)>0,x∈(2,4)时,f'(x)<0,x∈(4,5)时,f'(x)>0.
∴f(x)在(1,2),(4,5)上为增函数,
在(2,4)上为减函数,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.
2.函数y=x3-3x2-9x(-2√
令y'=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.
当x<-1或x>3时,y'>0;当-1∴当x=-1时,函数有极大值5;3 (-2,2),故无极小值.
A.极大值5,极小值-27
B.极大值5,极小值-11
C.极大值5,无极小值
D.极小值-27,无极大值
3.函数f(x)=x3-6x+a的极大值为　　　　,极小值为　　　　.
f'(x)=3x2-6,
f'(x)=3x2+2ax+b,
2
-4
【课时精练】
√
1.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)有
由题图可知导函数f'(x)有三个零点,依次设为x1<0,x2=0,x3>0,
当x0,所以函数f(x)在x=x1处取得极小值;
当x10,当x20,
所以函数f(x)在x=x2处无极值;
当x>x3时,f'(x)<0,所以函数f(x)在x=x3处取得极大值.
A.两个极大值,一个极小值 B.两个极大值,无极小值
C.一个极大值,一个极小值 D.一个极大值,两个极小值
√
2.函数f(x)=x3(x-1)的极值点的个数是
A.3 B.2
C.1 D.0
√
3.若函数f(x)=x3-3bx+3在(-1,2)内有极值,则实数b的取值范围是
A.(0,4) B.[0,4)
C.[1,4) D.(1,4)
f'(x)=3x2-3b=0,即x2=b.
又∵f(x)在(-1,2)内有极值,
∴f'(x)在(-1,2)内有变号零点,∴0≤b<4.
当b=0时,f(x)=x3+3在R上单调递增,没有极值,故选A.
√
由题意,函数f(x)=(2x-x2)ex,
√
5.若函数f(x)=ex+e-x-ax有大于零的极值点,则a的取值范围为
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(e,+∞) D.(-∞,e)
原命题等价于f'(x)=ex-e-x-a有大于零的零点,显然f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
又因为x→+∞时,f'(x)→+∞,
所以f'(0)=-a<0,所以a>0,
所以a的取值范围为(0,+∞).
6.(多选)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是
A.-4 B.-3
C.6 D.8
由题意知f'(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不相等的根,
所以Δ>0,即4a2-12(a+6)>0,
解得a>6或a<-3.
√
√
7.若函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a=　　　　,b=　　　　.
1
∵f'(x)=3ax2+b,
-3
8.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),
令f'(x)=0,即x2+2ax+a+2=0,
∵函数f(x)有极大值和极小值,
∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根,即Δ=4a2-4a-8>0,
解得a>2或a<-1.
(-∞,-1)∪(2,+∞)
9.若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
(0,1)
由题意知f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,
则f(x)在R上单调递增,不符合题意;
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=ln a,
∴当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
可知x=ln a为f(x)的极值点,
∴ln a<0,∴a∈(0,1).
(2)求函数f(x)的极值.
√
√
1
2
13.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
f'(x)=3x2-2x-1.
x 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点
函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,
14.已知函数f(x)=xln x.若函数g(x)=f'(x)+ax2-(a+2)x(a>0),试研究函数g(x)的极值情况.
因为f(x)=xln x,x>0,