人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题课件(共54张PPT)

(共54张PPT)
第六章 导数及其应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.
学习目标
“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学”.著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系.导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢
引入
课时精练
一、生活中的优化问题
二、容积与费用问题
三、成本与利润问题
课堂达标
内容索引
生活中的优化问题
一
探究 在利用导数解决实际优化问题中,要注意哪些方面
提示　(1)将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示;(2)确定函数关系式中自变量的取值范围.
生活中的最优化问题
(1)生活中经常遇到求利润______、用料______、效率______等问题,这些问题都需要寻求相应的__________或__________,数学上都称为最优化问题.
(2)利用导数解决优化问题的实质是求__________.
(3)解决优化问题的基本思路
知识梳理
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
最大
最省
最高
最佳方案
最佳策略
函数最值
(4)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
①分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
②求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0,即求函数可能的极值点;
③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值;
④把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论.
解决最优化问题的注意点
利用导数解最优化问题,往往转化为求函数的最大值或最小值问题,解题时要特别注意以下几点:
(1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量之间的关系式;
(2)确定函数关系式中自变量的取值范围;
(3)所得的结果要符合问题的实际意义.
温馨提示
容积与费用问题
二
(链接教材P104例2)将一张2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线,要求①至⑦全为矩形,且左右对称、上下对称,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为x m,容积为y m3.
例1
(1)写出y关于x的函数关系式;
由水箱的高为x m,
(2)x取何值时,水箱的容积最大.
由y'=6x2-16x+6=0,
思维升华
1.几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题.
2.解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.
某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为54π m3,且分上、下两层,其中上层是半径为r(r≥1)(单位:m)的半球体,下层是半径为r m,高为h m的圆柱体.经测算,上层半球体部分每平方米建造费用为2千元,下层圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元,设所有帐篷的总建造费用为y千元.
训练1
(1)求y关于r的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)当半径r为何值时,所有帐篷的总建造费用最少 并求出最小值.
成本与利润问题
三
例2
因为x=5时,y=11,
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[ /( )+ 〖( )〗^ ]
=2+10(x-3)(x-6)2,3从而f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6),
于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值42 ↘
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思维升华
利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益),常见的基本等量关系如下:
(1)利润(收益)=收入-成本.
(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.
训练2
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 (注:年利润=年销售收入-年总成本)
【课堂达标】
1.某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当利润最大时,每件商品的定价为
A.105元 B.110元
C.115元 D.120元
√
由题意知0利润为S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6 000,
S'(x)=-2x+230,令S'(x)=0,得x=115,
当00;
当1152.(链接教材P104例1)一批物资需要通过轮船沿长江运送至武汉,已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知当速度为10海里/时时,燃料费是6元/时,而其他与速度无关的费用是96元/时,则航行1海里所需的费用总和最小时，轮船的速度是
A.15海里/时 B.20海里/时 C.25海里/时 D.30海里/时
√
设速度为v海里/时的燃料费是p元/时,
3.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为　　　　.
3
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【课时精练】
√
1.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2
(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x>0),要使利润最大,则该产品应生产
A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台
设利润为y万元,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
所以y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,所以应生产6千台该产品.
√
2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)
A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18
√
√
4.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为
A.120 000 cm3 B.128 000 cm3
C.150 000 cm3 D.158 000 cm3
设水箱底边长为x cm,
√
设圆锥的高为h cm,06.(多选)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,若长方体的宽为x m,则
A.长方体的体积V(x)=(9x2-6x3)m3
B.长方体的最大体积V=3
C.长方体的体积最大时,长为2 m,宽为1 m
D.长方体的体积最大时,高为1.5 m
√
√
√
7.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,且容器底面的长边比短边长0.5 m(不计损耗).若要使该容器的容积最大,则容器的高为　　　　m.
1.2
设底面短边长为x m,
则V'(x)=-6x2+4.4x+1.6=-(6x+1.6)(x-1),
令V'(x)>0,得0令V'(x)<0,得1所以函数V(x)在(0,1)上单调递增,
在(1,1.6)上单调递减,
所以当x=1时,V(x)取得最大值,
所以要使该容器的容积最大,
则容器的高为3.2-2=1.2 m.
令V'(x)=0,得x=40或x=0(舍去),
当00,V(x)单调递增;
当40所以x=40是V(x)的极大值点,也是最大值点.
所以当箱子的底面边长为40时,体积最大.
40
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10.某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
若商品降价x元,则多卖的商品数为kx2件,
由题意知24=k·22,得k=6.
若记商品在一个星期的获利为f(x),则依题意有
f(x)=(30-x-9)·(432+6x2)=(21-x)(432+6x2),
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大
f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,2) 2 (2,12) 12 (12,30)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
故x=12时,f(x)取得极大值,因为f(0)=9 072,f(12)=11 664,f(0)所以定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.
√
11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)
A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
设毛利润为L(p),由题意知
L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,
所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.
令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23 000.
因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,
右侧L'(p)<0,
所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,
即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
12.为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a=　　　　,b=　　　　时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).
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3
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
14.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex成反比.已知每件产品的售价为40元时,日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x元的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.