人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.1.1数列的概念基础第二课时数列与函数的关系课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
第五章 5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念
1.理解数列与函数的关系.
2.会判断数列的单调性.
3.会利用单调性求数列的最大(小)项.
学习目标
通过前面的学习,我们了解到数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要,我们学习了数列的概念,数列的分类以及数列的表示方法,那么它与函数有什么关系呢 今天我们就来探究一下吧.
引入
课时精练
一、数列与函数的关系
二、数列的单调性
三、数列的最大(小)项
课堂达标
内容索引
数列与函数的关系
一
(2)数列的定义域是从1开始的正整数集或其子集,即{1,2,3,…};解析式是数列的通项公式;值域是数列每一项组成的集合,即{a1,a2,a3,…};数列的图象在坐标平面上是一些离散的点.
从函数的观点看,数列可以看作特殊的函数,关系如下表:
知识梳理
定义域 ____________(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式 数列的通项公式
值域 由自变量________________________时对应的函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法);(2)________;(3)________
正整数集N+
从小到大依次取正整数值
列表法
图象法
数列还可以用列表法、图象法表示.数列的图象是一系列孤立的点,点的横坐标都是正整数.
温馨提示
(多选)下列说法正确的是
A.数列的定义域一定为正整数集 B.数列的图象可以是连续的曲线
C.数列的图象只能是离散的点 D.数列在y轴左侧没有图象
例1
√
√
数列定义域为正整数集或其子集,可知CD正确.
在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件,即数列是一种特殊的函数,主要特殊在其定义域,从而使得图象和值域也具备特殊性.
思维升华
训练1
√
根据题意知,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an,
即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足.
数列的单调性
二
探究2 已知数列{an}的通项公式为an=-n2+2n+1,该数列的图象有何特点 试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.
提示　由数列与函数的关系可知,数列{an}的图象是分布在二次函数y=-x2+2x+1图象上的离散的点,如图所示,从图象上可以看出该数列是一个递减数列,且前两项为正数项,从第3项往后各项为负数项.
探究3 若数列{an}满足an+1-an>0, n∈N+都成立,则该数列{an}是递增数列吗
提示　是.因为an+1-an>0,故an+1>an,所以数列{an}是递增数列.
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列称为______数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列称为______数列;各项都相等的数列称为______数列(简称为________).
知识梳理
递增
递减
常数
常数列
(1)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an+1与an的大小来判断,即
①若数列{an}满足an②若数列{an}满足an>an+1,则是递减数列.
③若数列{an}满足an=an+1,则是常数列.
④若数列{an}中,an+1与an的大小关系不确定,则是摆动数列.
(2)函数y=f(x)为增函数,则其对应的数列为递增数列;函数y=f(x)为减函数,则其对应的数列为递减数列,但是,数列an=f(n)为递增数列,其对应的函数不一定是增函数.
温馨提示
例2
(2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.
思维升华
判断数列单调性的两种方法
方法1:通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小,若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列;若an+1方法2:利用相应的函数性质判断,即函数单调,相应的数列必单调,如an=3-2n,由一次函数y=3-2x是减函数知,数列{an}是递减数列.但要注意,函数不单调时,相应的数列仍可能单调,如an=2n2-5n,函数y=2x2-5x在[1,+∞)上不单调,而数列{an}是递增数列.
训练2
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列 为什么
数列的最大(小)项
三
(1)(多选)已知在数列{an}中,an=n2-5n+4,则数列{an}的最小项是
A.第1项 B.第2项
C.第3项 D.第4项
√
例3
√
又∵n∈N+,
∴当n=2或3时,an有最小值.
(2)已知数列{bn}的通项公式为bn=n2-λn-3,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(-∞,3) D.(-∞,3]
由bn+1-bn=(n+1)2-λ(n+1)-3-(n2-λn-3)=(2n+1)-λ>0,
所以λ<2n+1,即是λ小于2n+1的最小值,
所以λ<3.
√
思维升华
1.数列中的最值问题
方法1:利用数列单调性的定义:若an≥an+1且an≥an-1,得到的正整数n即为最大项的序号;若an≤an+1且an≤an-1,得到的正整数n即为最小项的序号.
方法2:从数列对应的函数图象出发,获得最大、最小值,但要注意自变量的取值是正整数.
思维升华
2.已知数列的单调性求参数的取值范围
方法1:利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决.
方法2:将数列的单调性转化为相应函数的单调性,结合对应函数的性质求参数的取值范围,但要注意数列中n的取值范围.
训练3
∵462=2 116,452=2 025,∴当n≤45时,数列{an}单调递减,且an<1;
当n≥46时,数列{an}单调递减,且an>1.
∴在数列{an}的前50项中,最小项和最大项分别是a45,a46.故选D.
√
√
(2)数列{an}的通项公式为an=n2+kn(k∈R),则“{an}为递增数列”是“k>-1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
an=n2+kn,{an}为递增数列,
故an+1-an=(n+1)2+k(n+1)-n2-kn=2n+1+k>0,故k>-2n-1,
由于-2n-1≤-3,故k>-3,
因为k>-3 /k>-1,k>-1 k>-3,
故“{an}为递增数列”是“k>-1”的必要不充分条件.故选B.
【课堂达标】
1.以下四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是
A.380 B.39
C.32 D.23
√
n(n+1)是这个数列的通项公式,
即an=n(n+1).
∵380=19×20=19×(19+1),
∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.
故选A.
2.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
√
an+1-an=2n+1-2n=2n>0,
∴an+1>an,即{an}是递增数列.故选A.
当n≤12时,25-2n>0,数列单调递增;当n≥13时,25-2n<0,数列单调递增.
则满足an+1√
4.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50,则数列中的最小项是　　　　.
因为n∈N+,所以当n=3或n=4时,an最小,此时a3=a4=38,
则数列中的最小项是38.
38
【课时精练】
√
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是
A,B都是递减数列,D是有穷数列,只有C符合题意.故选C.
√
对于A ,{an}显然是无穷数列,故A正确;
√
依题意,a2=2×2-2=2,a3=3×3-1=8,
则a2a3=2×8=16,所以a2a3的值是16.
A.70 B.28
C.20 D.16
√
√
5.已知{an}的通项公式为an=-n2+λn(λ∈R),若数列{an}为递减数列,则实数λ的取值范围是
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,3) D.(-3,+∞)
an-an+1=-n2+λn-[-(n+1)2+λ(n+1)]=2n+1-λ,
由数列{an}为递减数列,则2n+1-λ>0,
即λ<2n+1恒成立,即λ<(2n+1)min,
当n=1时,2n+1的最小值为3,即λ<3.
√
√
7.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,可以得出第8个图形有　　个点.
57
根据题意,图(1)中只有1个点,无分支;
图(2)除中间一个点外,有两个分支,每个分支由1个点;
图(3)除中间一个点外,有三个分支,每个分支由2个点;
图(4)除中间一个点外,有四个分支,每个分支由3个点,
……
则第n个图形中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有n-1个点,
第n个图形中有1+n(n-1)个点,
故第8个图形中有1+8×7=57个点.
8.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　.
由an=2 021-3n>0,
673
9.已知数列{an}的通项公式an=3n-6,记数列{an}落在区间(3m,32m)内项的个数为bm,则b2=　　　　.
23
由题意b2为数列{an}落在区间(9,81)内项的个数,
所以令9<3n-6<81,n∈N+,
解得5所以b2=28-6+1=23.
10.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:
(1)这个数列共有几项为负
(2)这个数列从第几项开始递增
(1)由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0,
解得1≤n<10,n∈N+,
所以数列{an}前9项为负数,也即共有9项为负数.
(3)这个数列中有无最小值 若有,求出最小值;若无,请说明理由.
an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36,
根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,
即数列中有最小值,最小值为-36.
√
A中,an=n-1为关于n的一次函数,则数列{an}是递增数列,故正确;
√
则当1≤n≤11(n∈Z)时,an随n的增大而减小,且an<0;
当n≥12(n∈Z)时,an随n的增大而减小,且an>0,
所以数列{an}的最大项的值为a12=25;最小项的值为a11=-23.
25
-23
(2)求数列{an}中的最大项.
由(1)知,a8≥an,a9≥an,