人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.1.2数列中的递推课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
第五章 5.1　数列基础
1.了解用递推公式表示数列,会由递推公式写出数列的前n项.
2.理解用累加法、累乘法求通项公式.
3.会利用数列的前n项和求数列的通项公式.
学习目标
知识都来源于实践,最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题.
如图是钢管堆放示意图.
引入
请问第n层的钢管数与第n-1层钢管数之间满足怎样的关系式呢 由此,你能说出第n层的钢管数吗 这运用到数列中哪些知识点呢 本节课我们来学习一下吧.
课时精练
一、递推关系的概念
二、由递推关系求通项公式
三、an与Sn的关系
课堂达标
内容索引
递推关系的概念
一
探究1 (1)(链接教材P9尝试与发现)如下是某次测试中的一道题,你能做出来吗 你能用数列的语言来描述有关问题吗
观察1,3, 6,10,15,…中数字出现的规律,写出第8个数.
(2)上述数列{an}的每一项可以由关系式an+1=an+n+1确定吗
提示　(1)如果将给定的数列记作数列{an},那么相当于是给出了数列的前5项,要求写出数列的第8项a8.
因为a2-a1=3-1 =2,a3-a2=6-3 =3,
a4-a3=10-6=4,a5-a4=15-10=5,
因此,可以猜想,数列{an}应该满足
an+1=an+n+1,从而可知a6=a5+6=15+6=21,
a7=a6+7=21+7=28,
a8=a7+8=28+8=36,
(2)上述数列{an}可以由a1=1,an+1-an=n+1完全确定.
如果已知数列的__________________,且数列的__________或__________的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
知识梳理
首项(或前几项)
相邻两项
两项以上
(1)数列递推公式与通项公式的关系
温馨提示
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法;
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
(2)与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.
(3)用递推公式给出一个数列,必须给出:①“基础”——数列{an}的首项(或前几项);②递推关系.
温馨提示
(链接教材P9例1)分别写出下列数列{an}的一个递推关系,并求出各个数列的第7项.
(1)4,5,7,10,14,…;(2)7,9,11,13,15,…;
例1
(1)an+1=an+n.
由于a5=14,∴a6=a5+5=14+5=19,a7=a6+6=19+6=25.
(2)an+1=an+2.
由于a5=15,
∴a6=a5+2=15+2=17,
a7=a6+2=17+2=19.
(3)2,6,18,54,162,….
an+1=3an,由于a5=162,
∴a6=3a5=3×162=486,
a7=3a6=3×486=1 458.
由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系,可以从后一项与前一项的差或和,后一项是前一项的倍数等角度去考虑,然后用剩余的项去验证猜想即可;由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式,依次求出各项即可.
思维升华
训练1
√
由题意可知C项符合.
31
(2)已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+1(n≥2),则a5=　　　　.
所以a2=3,a3=7,a4=15,
所以a5=2a4+1=31.
由递推关系求通项公式
二
例2
法一　(归纳猜想法)因为
思维升华
(1)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1,且a1=1,则a100=　　　　.
5 050
训练2
由(n-1)an=(n+1)an-1,
因为anan-1=an-1-an,
an与Sn的关系
三
知识梳理
Sn=a1+a2+a3+…+an
a1+a2+a3+…+an-1
Sn-1+an
(链接教材P13例3)已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
例3
当n=1时,a1=S1=2-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.(*)
当n=1时,a1满足(*)式,故an=4n-5.
(2)Sn=3n-2.
当n=1时,a1=S1=3-2=1.
(变条件)若把本例(1)中的Sn换为Sn=2n2-3n+1,再求{an}的通项公式.
迁移
当n=1时,a1=S1=2-3+1=0,
思维升华
由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用a1=S1,求出a1;
(2)用n-1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式;
(3)注意检验n=1时的值是否符合n≥2时an的解析式,若符合,则合并;若不符合,则用分段函数表示通项公式an.
11
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a1+a5=　　　　.
训练3
由Sn=n2+1得a1=12+1=2,a5=S5-S4=(52+1)-(42+1)=9,
故a1+a5=2+9=11.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为
　　　　　　　　　　.
【课堂达标】
√
√
由题意得a2=ma3+1,
3.已知数列an的前n项和为Sn=2n-1,则an=　　　　.
由Sn=2n-1得,当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
2n-1
令n=1,则a1=20=1=S1,∴an=2n-1.
4.数列{an}的构成法则如下:a1=1,如果an-2为自然数且之前未出现过,则用递推公式an+1=an-2,否则用递推公式an+1=3an,则a6=　　　　.
由a1=1,a1-2=-1 N,得a2=3a1=3.
又a2-2=1=a1,故a3=3a2=9.
又a3-2=7∈N,故a4=a3-2=7.
又a4-2=5∈N,则a5=a4-2=5.
又a5-2=3=a2,所以a6=3a5=15.
15
【课时精练】
√
1.已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2,n∈N+),且a1=0,则此数列的第5项是
由递推公式,得a2=3,a3=15,a4=63,a5=255.
A.15 B.255
C.16 D.63
√
√
3.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,则a11的值为
A.512 B.256
C.2 048 D.1 024
√
4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a9的值为
A.15 B.17
C.49 D.64
由已知,a9=S9-S8=92-82=17.
√
5.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是
结合题图知,a1=1,a2=3=a1+2,
a3=6=a2+3,a4=10=a3+4,
∴an=an-1+n,n∈N+,n≥2.故选B.
A.an+1=an+n,n∈N+
B.an=an-1+n,n∈N+,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2
D.an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2
√
√
7.已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+3(n≥2),则a5=　　　　.
61
因为a1=1,an=2an-1+3(n≥2),
所以a2=5,a3=13,a4=29,
所以a5=2a4+3=61.
8现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则 a1=　　　　;a5=　　　　.
2
86
由题意知,an=21n-19,
所以 a1=2,a5=86.
9.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
an=2n+1,n∈N+
a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,
a4=3+2+2+2=9,…,an=2n+1,n∈N+.
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系可以是　　　　　　　　.
可依次代入项数进行求值.
√
A.a2=3 B.a3=3
C.S3=5 D.S2 026=5 065
√
12.已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+n(n∈N+),则S3=　　　　,数列{an}的通项公式an=　　　　.
由Sn=n2+n,
所以S3=9+3=12.
当n=1时,a1=S1=1+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,
当n=1时,得a1=2成立,
所以an=2n.
12
2n
13.已知数列{an}的前n项和Sn满足n=log2(Sn-1),求其通项公式an.
根据条件可得Sn=2n+1.
14.设数列{an}中,若an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.
(1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和;
因为an+1=an+an+2(n∈N+),且a1=1,a2=-2,
所以a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=-1,a5=2,a6=3,S6=0.
∴an+1+an+2=an+an+2+an+1+an+3,
即an+an+3=0,
∴an+3=-an,∴an+6=-an+3=an,n∈N+.