人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.1.1数列的概念基础第一课时数列的概念与通项公式课件(共62张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.1.1数列的概念基础第一课时数列的概念与通项公式课件(共62张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共62张PPT)
第五章 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法,掌握数列的分类.
2.理解数列的通项公式,能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,会用通项公式写出数列的任一项,并能正确判断某数值是否为已知数列中的项.
学习目标
古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4, 9,16等数称为正方形数,因为这些数目的点可以摆成一个正方形,如图所示.依据这个规律我们很容易就能知道,下一个正方形数应该是25,再下一个是36.
引入
你知道吗 通过寻找数字出现的规律,可以产生新的发现.
课时精练
一、数列的概念与分类
二、数列的通项公式
三、数列通项公式的简单应用
课堂达标
内容索引
数列的概念与分类
一
提示 共同点:都是按照确定的顺序进行排列的.不同点:从项数上来看:(2)项数有限,(1)(3)(4)项数无限;从项的变化上来看:(1)每一项在依次变小,(2)(3)每一项在依次变大,(4)项的大小交替变化.
1.数列的定义
按照__________排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的____,各项依次称为这个数列的第1项(或______),第2项,…,组成数列的数的个数称为数列的______.
知识梳理
一定次序
项
首项
项数
数列与集合的区别
温馨提示
数列 集合
各项必须是数 集合中的元素可以是数,也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的,如1,2,3与1,3,2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性,如{1,2,3}={1,3,2}
同一个数在一个数列中可以重复出现,如1,1,1,1,… 集合中的元素具有互异性,如1,1,1,1,…组成的集合只能写为{1}
数列与集合的区别
温馨提示
数列 集合
各项必须是数 集合中的元素可以是数,也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的,如1,2,3与1,3,2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性,如{1,2,3}={1,3,2}
同一个数在一个数列中可以重复出现,如1,1,1,1,… 集合中的元素具有互异性,如1,1,1,1,…组成的集合只能写为{1}
2.数列的分类
(1)有穷数列:项数有限的数列.
(2)无穷数列:项数无限的数列.
(3)递增数列:从第2项起,每一项都______它的前一项的数列.
(4)递减数列:从第2项起,每一项都______它的前一项的数列.
(5)常数列:各项都______的数列.
(6)摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
知识梳理
大于
小于
相等
(1)(多选)下列有关数列的说法不正确的是
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
例1
√
√
√
对于A中,常数列中任意两项都是相等的,所以A不正确;
对于B中,数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,所以B不正确;
对于C中,{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;
对于D中,根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.
(2)下列说法正确的是 .(填序号)
①1,1,1,1是有穷数列;
②从小到大的自然数构成一个无穷数列;
③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
因为1,1,1,1只有4项,所以①正确;
①②
②正确;
数列1,2,3,4,…,2n共有2n项,是有穷数列,所以③错误.
数列及相关概念的理解
(1)判定所给对象是否为数列,关键在于是否属于按一定顺序排列的一列数,也是数列与集合的本质区别;
(2)通过分析项的变化趋势判断数列是递增数列、递减数列还是摆动数列,通过项的个数有限还是无限确定数列是有穷数列还是无穷数列.
思维升华
(1)(多选)下列说法正确的是
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.在某数列中,若首项为3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,4与数列2,1,3,4为同一数列
D.数列中的项不能是三角形
训练1
√
由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确;
√
同一个数在数列中可以重复出现,故B错误;
两者顺序不同,所以不是同一数列,故C错误;
数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.
①
②③
①
②
③
①为有穷数列;②③是无穷数列,同时①也是递增数列;②为常数列;③为摆动数列.
数列的通项公式
二
探究2 观察探究1中的(1)(3)(4),你能发现每一项和它的项数n之间的联系吗 它们之间能否用一个式子表示呢
1.数列的表示
(1)一般形式:a1,a2,a3,…,an,…;
(2)字母表示:上面数列通常记为{an}.
知识梳理
符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
温馨提示
2.数列的通项公式
一般地,如果数列的________an与n之间的关系可以用______________来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个__________.
第n项
an=f(n)
通项公式
(1)并不是所有的数列都有通项公式.
(2)同一数列的通项公式表达形式不是唯一的.例如,数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2或an=cos nπ等.
温馨提示
例2
(2)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an=10n-1(n∈N+).
把本例(2)改为“0.6,0.66,0.666,0.666 6,…”,又如何求通项公式呢
迁移
思维升华
用观察法求数列通项公式的一般规律
此类问题虽无固定模式,但有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1处理符号;(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
训练2
(3)7,77,777,…;
(4)0,3,8,15,24,….
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘9,
数列通项公式的简单应用
三
例3
由题意可知
思维升华
判断某数是否为数列的项的步骤
(1)将所给某数代入通项公式中;
(2)解关于n的方程;
(3)若n为正整数,说明某数是该数列的项;若n不是正整数,说明某数不是该数列的项.
已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
训练3
根据an=3n2-28n,得a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.
(2)-49和68是该数列的项吗 若是,是第几项 若不是,请说明理由.
令3n2-28n=-49,
【课堂达标】
√
当n分别等于1,2,3,4时,
a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
√
3.数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第 项.
令an=log2(n2+3)-2=log23,
3
解得n=3.
4.观察数列1,3,6,10,x,21,28,…的特点,则x的值为 .
结合数字特征可知3-1=2,6-3=3,10-6=4,28-21=7,∴x-10=5,21-x=6,
15
∴x=15.
【课时精练】
√
√
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
√
3.已知数列{an}的前四项为1,0,1,0,则下列可作为数列{an}的通项公式的有
将n=1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中,可知①③④符合,对于②,当n=3时不符合,对于⑤,显然当n=1时不符合,故可作为{an}的通项公式的有3个.故选C.
√
√
5.(链接教材P8练习BT4)数列1,6,15,28,45,…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么第10个六边形数为
由题意知,数列{an}的各项为1,6,15,28,45,…,
A.153 B.190
C.231 D.276
所以a1=1=1×1,a2=6=2×3,a3=15=3×5,a4=28=4×7,a5=45=5×9,…,
an=n(2n-1),所以a10=10×19=190.故选B.
6.(多选)已知n∈N+,给出4个表达式,其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是
√
√
√
9.以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”:
该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为 .
2 019×22 016
观察每一行第一个数的规律:
第一行的第一个数为1=2×2-1,
第二行的第一个数为3=3×20,
第三行的第一个数为8=4×21,
第四行的第一个数为20=5×22,…,
第n行的第一个数为an=(n+1)×2n-2,
表中一共2 018行,
∴第2 018行只有一个数即a2 018=2 019×22 016.
10.根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项公式:
(1)1,-2,3,-4,5,…;
(2)5,55,555,5555,…;
(1)这个数列的前4项1,-2,3,-4的绝对值都是序号且奇数项为正,偶数项为负,
(3)注意到6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项分子、分母同乘2,
√
12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是0, 2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第19
项的值为 .此数列的通项公式an= .
180
13.已知无穷数列1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),….
(1)求这个数列的第10项和第31项.
(2)420是不是这个数列中的项 如果是,是第几项
(1)因为无穷数列1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),…,
所以该数列的通项公式为an=n(n+1),
则a10=10×(10+1)=110,a31=31×(31+1)=992.
(2)因为an=n(n+1),将420代入,得n(n+1)=420,
解得n=20或n=-21(舍去),
所以420是这个数列中的第20项.
(3)60是不是这个数列中的项.
因为an=n(n+1),
14.如图,下列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1,后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍,记图形1的面积为a1,后续图形的面积依次为a2,a3,…,an,…;解答下列问题.
(1)利用观察法写出a1,a2,a3,a4以及an;
根据题意,图形1的面积a1=1+1×2=3,
图形2的面积a2=1+1×2+1×2×2=7,
图形3的面积a3=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2=15,
图形4的面积a4=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2+1×2×2×2×2=31,
图形n的面积an=2n+1-1.
(2)从第几个图形开始,图形面积大于127
由an>127,得2n+1>128=27,
所以n+1>7,故n>6,
又因为n∈N+,所以n≥7,
所以从第7个图形开始图形面积大于127.
第五章 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法,掌握数列的分类.
2.理解数列的通项公式,能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,会用通项公式写出数列的任一项,并能正确判断某数值是否为已知数列中的项.
学习目标
古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4, 9,16等数称为正方形数,因为这些数目的点可以摆成一个正方形,如图所示.依据这个规律我们很容易就能知道,下一个正方形数应该是25,再下一个是36.
引入
你知道吗 通过寻找数字出现的规律,可以产生新的发现.
课时精练
一、数列的概念与分类
二、数列的通项公式
三、数列通项公式的简单应用
课堂达标
内容索引
数列的概念与分类
一
提示 共同点:都是按照确定的顺序进行排列的.不同点:从项数上来看:(2)项数有限,(1)(3)(4)项数无限;从项的变化上来看:(1)每一项在依次变小,(2)(3)每一项在依次变大,(4)项的大小交替变化.
1.数列的定义
按照__________排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的____,各项依次称为这个数列的第1项(或______),第2项,…,组成数列的数的个数称为数列的______.
知识梳理
一定次序
项
首项
项数
数列与集合的区别
温馨提示
数列 集合
各项必须是数 集合中的元素可以是数,也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的,如1,2,3与1,3,2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性,如{1,2,3}={1,3,2}
同一个数在一个数列中可以重复出现,如1,1,1,1,… 集合中的元素具有互异性,如1,1,1,1,…组成的集合只能写为{1}
数列与集合的区别
温馨提示
数列 集合
各项必须是数 集合中的元素可以是数,也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的,如1,2,3与1,3,2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性,如{1,2,3}={1,3,2}
同一个数在一个数列中可以重复出现,如1,1,1,1,… 集合中的元素具有互异性,如1,1,1,1,…组成的集合只能写为{1}
2.数列的分类
(1)有穷数列:项数有限的数列.
(2)无穷数列:项数无限的数列.
(3)递增数列:从第2项起,每一项都______它的前一项的数列.
(4)递减数列:从第2项起,每一项都______它的前一项的数列.
(5)常数列:各项都______的数列.
(6)摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
知识梳理
大于
小于
相等
(1)(多选)下列有关数列的说法不正确的是
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
例1
√
√
√
对于A中,常数列中任意两项都是相等的,所以A不正确;
对于B中,数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,所以B不正确;
对于C中,{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;
对于D中,根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.
(2)下列说法正确的是 .(填序号)
①1,1,1,1是有穷数列;
②从小到大的自然数构成一个无穷数列;
③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
因为1,1,1,1只有4项,所以①正确;
①②
②正确;
数列1,2,3,4,…,2n共有2n项,是有穷数列,所以③错误.
数列及相关概念的理解
(1)判定所给对象是否为数列,关键在于是否属于按一定顺序排列的一列数,也是数列与集合的本质区别;
(2)通过分析项的变化趋势判断数列是递增数列、递减数列还是摆动数列,通过项的个数有限还是无限确定数列是有穷数列还是无穷数列.
思维升华
(1)(多选)下列说法正确的是
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.在某数列中,若首项为3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,4与数列2,1,3,4为同一数列
D.数列中的项不能是三角形
训练1
√
由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确;
√
同一个数在数列中可以重复出现,故B错误;
两者顺序不同,所以不是同一数列,故C错误;
数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.
①
②③
①
②
③
①为有穷数列;②③是无穷数列,同时①也是递增数列;②为常数列;③为摆动数列.
数列的通项公式
二
探究2 观察探究1中的(1)(3)(4),你能发现每一项和它的项数n之间的联系吗 它们之间能否用一个式子表示呢
1.数列的表示
(1)一般形式:a1,a2,a3,…,an,…;
(2)字母表示:上面数列通常记为{an}.
知识梳理
符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
温馨提示
2.数列的通项公式
一般地,如果数列的________an与n之间的关系可以用______________来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个__________.
第n项
an=f(n)
通项公式
(1)并不是所有的数列都有通项公式.
(2)同一数列的通项公式表达形式不是唯一的.例如,数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2或an=cos nπ等.
温馨提示
例2
(2)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an=10n-1(n∈N+).
把本例(2)改为“0.6,0.66,0.666,0.666 6,…”,又如何求通项公式呢
迁移
思维升华
用观察法求数列通项公式的一般规律
此类问题虽无固定模式,但有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1处理符号;(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
训练2
(3)7,77,777,…;
(4)0,3,8,15,24,….
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘9,
数列通项公式的简单应用
三
例3
由题意可知
思维升华
判断某数是否为数列的项的步骤
(1)将所给某数代入通项公式中;
(2)解关于n的方程;
(3)若n为正整数,说明某数是该数列的项;若n不是正整数,说明某数不是该数列的项.
已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
训练3
根据an=3n2-28n,得a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.
(2)-49和68是该数列的项吗 若是,是第几项 若不是,请说明理由.
令3n2-28n=-49,
【课堂达标】
√
当n分别等于1,2,3,4时,
a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
√
3.数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第 项.
令an=log2(n2+3)-2=log23,
3
解得n=3.
4.观察数列1,3,6,10,x,21,28,…的特点,则x的值为 .
结合数字特征可知3-1=2,6-3=3,10-6=4,28-21=7,∴x-10=5,21-x=6,
15
∴x=15.
【课时精练】
√
√
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
√
3.已知数列{an}的前四项为1,0,1,0,则下列可作为数列{an}的通项公式的有
将n=1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中,可知①③④符合,对于②,当n=3时不符合,对于⑤,显然当n=1时不符合,故可作为{an}的通项公式的有3个.故选C.
√
√
5.(链接教材P8练习BT4)数列1,6,15,28,45,…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么第10个六边形数为
由题意知,数列{an}的各项为1,6,15,28,45,…,
A.153 B.190
C.231 D.276
所以a1=1=1×1,a2=6=2×3,a3=15=3×5,a4=28=4×7,a5=45=5×9,…,
an=n(2n-1),所以a10=10×19=190.故选B.
6.(多选)已知n∈N+,给出4个表达式,其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是
√
√
√
9.以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”:
该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为 .
2 019×22 016
观察每一行第一个数的规律:
第一行的第一个数为1=2×2-1,
第二行的第一个数为3=3×20,
第三行的第一个数为8=4×21,
第四行的第一个数为20=5×22,…,
第n行的第一个数为an=(n+1)×2n-2,
表中一共2 018行,
∴第2 018行只有一个数即a2 018=2 019×22 016.
10.根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项公式:
(1)1,-2,3,-4,5,…;
(2)5,55,555,5555,…;
(1)这个数列的前4项1,-2,3,-4的绝对值都是序号且奇数项为正,偶数项为负,
(3)注意到6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项分子、分母同乘2,
√
12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是0, 2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第19
项的值为 .此数列的通项公式an= .
180
13.已知无穷数列1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),….
(1)求这个数列的第10项和第31项.
(2)420是不是这个数列中的项 如果是,是第几项
(1)因为无穷数列1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),…,
所以该数列的通项公式为an=n(n+1),
则a10=10×(10+1)=110,a31=31×(31+1)=992.
(2)因为an=n(n+1),将420代入,得n(n+1)=420,
解得n=20或n=-21(舍去),
所以420是这个数列中的第20项.
(3)60是不是这个数列中的项.
因为an=n(n+1),
14.如图,下列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1,后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍,记图形1的面积为a1,后续图形的面积依次为a2,a3,…,an,…;解答下列问题.
(1)利用观察法写出a1,a2,a3,a4以及an;
根据题意,图形1的面积a1=1+1×2=3,
图形2的面积a2=1+1×2+1×2×2=7,
图形3的面积a3=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2=15,
图形4的面积a4=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2+1×2×2×2×2=31,
图形n的面积an=2n+1-1.
(2)从第几个图形开始,图形面积大于127
由an>127,得2n+1>128=27,
所以n+1>7,故n>6,
又因为n∈N+,所以n≥7,
所以从第7个图形开始图形面积大于127.