人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.2.1等差数列第二课时等差数列的判定及简单应用课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第五章 5.2　等差数列 5.2.1　等差数列
1.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系.
2.会判断与证明等差数列.
3.掌握设元法巧解等差数列中常见的设元技巧.
学习目标
上节课我们学习了等差数列的概念和等差数列的通项公式;我们知道数列是一类特殊的函数,等差数列也应是一类特殊的函数,那么等差数列有没有其独特的性质呢 这正是本节课我们要研究的内容!
引入
课时精练
一、等差数列与函数的关系
二、等差数列的判定与证明
三、等差数列中项的设法
课堂达标
内容索引
等差数列与函数的关系
一
探究1 (链接教材P18尝试与发现)观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关
提示　由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时,等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+a1-d(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).
如图,在平面直角坐标系中画出函数f(x)=dx+(a1-d)的图象,就得到一条斜率为d,截距为a1-d的直线.在这条直线上描出点(1,f(1)),(2,f(2)),…,(n,f(n)),…,就得到了等差数列{an}的图象.事实上,公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上.
反之,任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b,f(2)=2k+b,…,
f(n)=nk+b,…,构成一个等差数列{nk+b},其首项为(k+b),公差为k.
1.等差数列与一次函数的异同点
知识梳理
等差数列 一次函数
不同点 解析式 an=a1+(n-1)d(n∈N+) f(x)=kx+b(k≠0),x∈R
公差、斜率
定义域 N+ R
图象 位于同一直线上的一系列孤立的点 一条直线
等差数列 一次函数
相同点 等差数列的通项公式(d≠0)与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式
2.等差数列的单调性
等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为递增数列;若公差d<0,则数列{an}为递减数列;若公差d=0,则数列{an}为常数列,不增也不减.
(1)等差数列的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上,其中直线的斜率为d,截距为a1-d;
(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d.
(3)一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数)的函数值f(1),f(2),…,f(n)构成一个等差数列{nk+b},其首项为(k+b),公差为k.
温馨提示
(1)设{an}是等差数列,则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例1
√
由题意可得公差d=a2-a1=a3-a2>0,
所以数列{an}是递增数列,即充分性成立;
若数列{an}是递增数列,则必有a1即必要性成立.
(2)已知数列{an}的通项公式an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗 若是,首项和公差分别是多少
取数列{an}中任意两项an和an-1(n≥2),
作差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p.
它是一个与n无关的常数,
所以{an}是等差数列.
由于an=pn+q=q+p+(n-1)p,
所以首项a1=p+q,公差d=p.
数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+b,其中k,b是常数.
思维升华
训练1
√
对于A,an=a1+(n-1)d,d>0,
∴an-an-1=d>0,则A正确;
对于B,nan=na1+n(n-1)d,
∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d,这个值与0的大小关系和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增,则B不正确;
√
√
(2)已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n(n∈N+),则它的公差d为
A.2 B.3
C.-2 D.-3
法一　由等差数列的定义,
得d=a2-a1=-1-1=-2.
法二　an=3-2n=-2n+3,
由等差数列的函数特征知,d=-2.
等差数列的判定与证明
二
(链接教材P19例3)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列.
例2
法一　根据题意,知bn+1=3an+1+4,则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).
由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列.
法二　由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),
则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.
由于bn是关于n的一次函数(或常数函数,当d=0时),
故{bn}是等差数列.
思维升华
判定或等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+) 数列{an}是等差数列.
(2)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列.
提醒　①若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.②若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
(1)数列{an}的通项公式an=4-3n,则此数列
A.是公差为4的等差数列 B.是公差为3的等差数列
C.是公差为-3的等差数列 D.是首项为4的等差数列
√
训练2
∵an+1-an=4-3(n+1)-(4-3n)=-3.
∴{an}是公差为-3的等差数列.
等差数列中项的设法
三
探究2 对于三个数成等差数列,某班同学给出了以下三种设法:
(1)设这三个数分别为a,b,c.
(2)设该数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d.
(3)设该数列的中间项为b,公差为d,则这三个数分别为b-d,b,b+d.
那么,哪种方法在计算中可能更便捷一些
提示　方法(3)可能更便捷一些.
探究3 如果四个数成等差数列,如何设更方便运算
提示　可以设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.
例3
思维升华
1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列.
2.当已知数列有2n项时,可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,
a+(2n-1)d,此时公差为2d.
3.当已知数列有2n+1项时,可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,
a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.
－21
(1)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　.
训练3
设这三个数为a-d,a,a+d,
(2)已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.
根据题意设这5个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则

【课堂达标】
1.若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列,则三边的长分别为
A.5,8,11 B.9,12,15
C.10,13,16 D.15,18,21
√
由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列,
设可三边长为x,x+3,x+6 ,
则x2+(x+3)2=(x+6)2,
解得x=9 ,x=-3(舍去),
故三边长为9,12,15 .
√
由题意,设等差数列{an}的公差为d,
√
3.(链接教材P19例5)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=　　　　.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
18
4.已知等差数列{an},对任意的n∈N+,点(n,an)都在直线y=-2x+2上,则首项a1=　　　　,公差d=　　　　.
由题意an=-2n+2,
所以a1=0,d=-2.
0
-2
【课时精练】
√
1.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14等于
A.45 B.41
C.39 D.37
所以a14=a1+13d=2+13×3=41.
√
设原等差数列的公差为d,
√
3.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an-2,则a8等于
A.-12 B.12
C.-16 D.16
数列{an}中,a1=2,an+1=an-2,
即an+1-an=-2,
所以数列{an}为等差数列,公差为-2,
所以an=-2n+4,所以a8=-2×8+4=-12.
√
4.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),
则有(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20,
由a+a+d+a+2d=3(a-2d+a-d),得3a+3d=3(2a-3d);
∴12d=3a,∴d=5.
∴最少的一份为a-2d=20-10=10.
6.(多选)已知数列{an}是首项为2,公差为d(d∈N+)的等差数列,若2 026是该数列的一项,则公差d可能是
由题可设an=2+(n-1)d,2 026是该数列的一项,即2 026=2+(n-1)d.
A.2 B.3
C.4 D.5
√
√
7.在等差数列{an}中,如果a4=3,a7=9,an=17,那么n=　　　　.
11
∴an=a4+(n-4)d,
∴17=3+2(n-4),
∴n=11.
8.在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,则这个数列在450到600之间共有　　项.
由题意,得d=a2-a1=116-112=4,
所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.
令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,
又因为n为正整数,故有38项.
38
10.已知等差数列的通项公式为an=-2n+7.
(1)求首项a1和公差d;
等差数列的通项公式为an=-2n+7,所以首项a1=-2×1+7=5,
公差d=an+1-an=-2(n+1)+7-(-2n+7)=-2.
(2)画出数列{an}的图象;
(3)判断数列{an}的增减性.
(2)数列{an}的图象,如图,
(3)由n∈N+,an=-2n+7,
得an+1-an=-2(n+1)+7-(-2n+7)=-2<0,
因此an+1√
对于A,等差数列{an}的公差d>0,
则数列{an}是递增数列,正确;
对于B,不妨取{an}:-2,-1,0,1,2,…,
则{|an|}:2,1,0,1,2,…不是递增数列,B错误;
√
对于C,不妨取{an}:-2,-1,0,1,2,…,
根据题意,数列{an}满足a1=-7,且an+1-an=2(n∈N+),则数列{an}是首项为a1=-7,公差为2的等差数列,
-1
1
13.已知数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由;
当n≥3时,an=an-1+2,
即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2,
所以{an}不是等差数列.
(2)求{an}的通项公式.
当n≥2时,{an}是等差数列,且公差为2,
因为对于n∈N+,
(2)求数列{an}的通项公式.