人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.2.1等差数列第三课时等差数列的性质课件(共56张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.2.1等差数列第三课时等差数列的性质课件(共56张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共56张PPT)
第五章 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列
1.能理解等差中项的概念.
2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
3.能运用等差数列的性质简化计算.
4.能运用等差数列解决实际问题.
学习目标
同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了等差数列是一种特殊的函数,在学习过程中,我们发现了一件非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…,容易发现这也是一个等差数列;同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的等差数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.
引入
课时精练
一、等差中项
二、等差数列的性质
三、等差数列的实际应用
课堂达标
内容索引
等差中项
一
如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的__________,且A=__________.
在一个等差数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项.
知识梳理
等差中项
(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.
(2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列,
即2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+),则{an}为等差数列.
温馨提示
(链接教材P20例6)(1)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N+),且a3+a8+a13=2π,则cos(a7+a9)=
例1
√
由题意知,2an+1=an+an+2,
(2)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求p,q的值.
由x1=3,得2p+q=3,
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,
且x1+x5=2x4,
得3+25p+5q=25p+8q,即q=1.
又2p+q=3,∴p=1.
思维升华
训练1
√
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.
∵-1,a,b,c,7成等差数列,
等差数列的性质
二
探究2 (链接教材P20尝试与发现)观察等差数列{an}的序号与项,回答问题:
(1)3+6=4+5,a3+a6与a4+a5相等吗
提示 相等.
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq吗
提示 相等.因为am=3m-1,an=3n-1,ap=3p-1,aq=3q-1,
所以am+an=3(m+n)-2,ap+aq=3(p+q)-2,
因为m+n=p+q,故am+an=ap+aq.
探究3 探究2中的等差数列若换为一般的等差数列,等式还成立吗 对于任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等差数列{an}中,am+an与ap+aq之间有怎样的关系
提示 am+an=ap+aq.因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,
又因为m+n=p+q,
所以am+an=ap+aq.
1.等差数列的性质
(1)角标和相等性质
若{an}是公差为d的等差数列,正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=_________;特别地,当m+n=2s(m,n,s∈N+)时,am+an=______.
(2)对称性
在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于首末两项之和,即
a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…,利用等差数列的对称性,可以巧设等差数列,简化运算.
知识梳理
ap+aq
2as
知识梳理
√
(链接教材P22练习BT3)(1)(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0
C.a3+a99=0 D.a51=0
例2
根据等差数列的性质,
得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,
所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=2a51=0.
√
20
在等差数列{an}中,a5+a6=4,
思维升华
等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
√
训练2
因为(a2+a3)+(a5+a6)=(a2+a6)+(a3+a5)=4a4=12,所以a4=3.
(2)设等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,若an>0,则项数n的最大值是 .
8
由a7+a8+a9=3a8>0,
而a7+a10=a8+a9<0,
所以a7>0,a8>0,a9<0,a10<0,
故等差数列{an}递减,
所以,对于等差数列{an},要使an>0的最大n值为8.
等差数列的实际应用
三
(链接教材P21例7)(1)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影,得其最短日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,春分日影长为7.5尺,则这十二个节气中后六个(春分至芒种)日影长之和为
A.8.5尺 B.30尺
C.66尺 D.96尺
√
例3
设这个等差数列为{an},公差为d,首项为冬至日最短日影长,
(2)第19届亚运会在杭州盛大开幕,这是杭州历史上的一件大事,也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事,为庆祝本次赛事,该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动,派发规则如下:①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套;②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2026人(编号为1号到2026号,中间没有空缺),则获得精品吉祥物的人数为 .
136
将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列,所得的数列记为{an},
由已知得an-1是3的倍数,也是5的倍数,
所以an-1为15的倍数,所以{an-1}是首项为0,公差为15的等差数列,
所以an=15n-14,
令1≤an≤2 026,可得1≤15n-14≤2 026,
又n∈N+,解得1≤n≤136且n∈N+,
故获得精品吉祥物的人数为136.
思维升华
与等差数列有关的实际应用解题方法
(1)建模:将实际问题转化为数学中的等差数列模型;
(2)求解:利用等差数列知识求出该问题的解;
(3)还原:将所求结果还原到实际问题中.
注意:建立等差数列模型时,要根据题意找准首项、公差和项数.
《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,每人所得依序减,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱 ”(“钱”是古代的一
种质量单位)这个问题中,戊所得为 钱.
训练3
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
【课堂达标】
1.已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则角B等于
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
因为A,B,C成等差数列,所以B是A,C的等差中项,则有A+C=2B,
又因为A+B+C=180°,
所以3B=180°,从而B=60°.
2.在等差数列{an}中,a2=7,a6=21,则a4=
A.14 B.16
C.18 D.28
√
3.在等差数列{an}中,a2,a6是方程x2-3x+1=0的根,则a4= .
4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何 现有一个相关的问题:将1到2 026这2 026个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列的项数为 .
由题知,满足上述条件的数列为14,29,44,…,
该数列为首项是14,公差为15的等差数列{an},
则an=14+15(n-1)=15n-1≤2 026,n∈N+,解得n≤135,
故该数列的项数为135.
135
【课时精练】
√
1.在等差数列{an}中,若a2+a6=6,a5=8,则a2+a7等于
A.22 B.14
C.20 D.11
因为a2+a6=2a4=6,所以a4=3.
又a5=8,所以a2+a7=a4+a5=11.
√
∵b是x,2x的等差中项,
√
3.在等差数列{an}中,若a2,a2 026为方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a1 014+a2 027等于
A.10 B.15
C.20 D.40
∵a2,a2 026为方程x2-10x+16=0的两根,∴a2+a2 026 =10,
由等差数列的性质得2a1 014=10,即a1 014=5.
∴a1+a1 014+a2 027=3a1 014=15.
√
4.在数列a1,a2,…,an,…的每相邻两项中插入3个数,使它们与原数构成一个新数列,则新数列的第49项
A.不是原数列的项 B.是原数列的第12项
C.是原数列的第13项 D.是原数列的第14项
设数列为{bn},
√
A.64 B.100
C.128 D.132
6.(多选)若正项数列{an}是等差数列,且a2=5,则
A.当a3=7时,a7=15 B.a4的取值范围是[5,15)
C.当a7为整数时,a7的最大值为29 D.公差d的取值范围是(0,5)
当a2=5,a3=7时,公差d=2,
a7=a3+4d=7+8=15,故A正确;
因为{an}是正项等差数列,所以a1=5-d>0,即d<5,且d≥0,
所以公差d的取值范围是[0,5),故D错误;
因为a4=5+2d,所以a4的取值范围是[5,15),故B正确;
a7=5+5d∈[5,30),当a7为整数时,a7的最大值为29,故C正确.
√
√
√
7.已知正项数列{an}是等差数列,若a2=2,2(a3+a6)=a3·a6,则2a5-a6的值为 .
4
设等差数列{an}的公差为d>0,a3=a2+d=2+d,a6=a2+4d=2+4d,
由2(a3+a6)=a3·a6,
2(2+d+2+4d)=(2+d)(2+4d),
2(4+5d)=4+8d+2d+4d2,
8+10d=4d2+10d+4,
4d2-4=0,解得d=1,
2a5-a6=2(a2+3d)-(a2+4d)=2×(2+3)-(2+4)=4.
8.已知数列8,a,2,b,-4是等差数列,则a= ,b+a= .
由8,a,2是等差数列,
得2a=8+2,解得a=5.
b+a=8+(-4)=4.
5
4
9.若等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10= .
24
∵{an}是等差数列,
由a1+3a8+a15=5a8=120,
则a8=24,则2a9-a10=a8+a10-a10=a8=24.
10.已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项
设新数列为{bn},公差为d,
(2)新数列的第29项是原数列的第几项
由(1)知an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8,即新数列的第29项是原数列的第8项.
√
设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根分别为a1,a2,a3,a4,
√
设第三行的四个数的公差为d3,
3
(2)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数m,使得a2m=2am+1 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
不存在.理由:因为a2m=2am+1,
第五章 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列
1.能理解等差中项的概念.
2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
3.能运用等差数列的性质简化计算.
4.能运用等差数列解决实际问题.
学习目标
同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了等差数列是一种特殊的函数,在学习过程中,我们发现了一件非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…,容易发现这也是一个等差数列;同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的等差数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.
引入
课时精练
一、等差中项
二、等差数列的性质
三、等差数列的实际应用
课堂达标
内容索引
等差中项
一
如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的__________,且A=__________.
在一个等差数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项.
知识梳理
等差中项
(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.
(2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列,
即2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+),则{an}为等差数列.
温馨提示
(链接教材P20例6)(1)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N+),且a3+a8+a13=2π,则cos(a7+a9)=
例1
√
由题意知,2an+1=an+an+2,
(2)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求p,q的值.
由x1=3,得2p+q=3,
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,
且x1+x5=2x4,
得3+25p+5q=25p+8q,即q=1.
又2p+q=3,∴p=1.
思维升华
训练1
√
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.
∵-1,a,b,c,7成等差数列,
等差数列的性质
二
探究2 (链接教材P20尝试与发现)观察等差数列{an}的序号与项,回答问题:
(1)3+6=4+5,a3+a6与a4+a5相等吗
提示 相等.
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq吗
提示 相等.因为am=3m-1,an=3n-1,ap=3p-1,aq=3q-1,
所以am+an=3(m+n)-2,ap+aq=3(p+q)-2,
因为m+n=p+q,故am+an=ap+aq.
探究3 探究2中的等差数列若换为一般的等差数列,等式还成立吗 对于任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等差数列{an}中,am+an与ap+aq之间有怎样的关系
提示 am+an=ap+aq.因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,
又因为m+n=p+q,
所以am+an=ap+aq.
1.等差数列的性质
(1)角标和相等性质
若{an}是公差为d的等差数列,正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=_________;特别地,当m+n=2s(m,n,s∈N+)时,am+an=______.
(2)对称性
在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于首末两项之和,即
a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…,利用等差数列的对称性,可以巧设等差数列,简化运算.
知识梳理
ap+aq
2as
知识梳理
√
(链接教材P22练习BT3)(1)(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0
C.a3+a99=0 D.a51=0
例2
根据等差数列的性质,
得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,
所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=2a51=0.
√
20
在等差数列{an}中,a5+a6=4,
思维升华
等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
√
训练2
因为(a2+a3)+(a5+a6)=(a2+a6)+(a3+a5)=4a4=12,所以a4=3.
(2)设等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,若an>0,则项数n的最大值是 .
8
由a7+a8+a9=3a8>0,
而a7+a10=a8+a9<0,
所以a7>0,a8>0,a9<0,a10<0,
故等差数列{an}递减,
所以,对于等差数列{an},要使an>0的最大n值为8.
等差数列的实际应用
三
(链接教材P21例7)(1)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影,得其最短日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,春分日影长为7.5尺,则这十二个节气中后六个(春分至芒种)日影长之和为
A.8.5尺 B.30尺
C.66尺 D.96尺
√
例3
设这个等差数列为{an},公差为d,首项为冬至日最短日影长,
(2)第19届亚运会在杭州盛大开幕,这是杭州历史上的一件大事,也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事,为庆祝本次赛事,该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动,派发规则如下:①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套;②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2026人(编号为1号到2026号,中间没有空缺),则获得精品吉祥物的人数为 .
136
将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列,所得的数列记为{an},
由已知得an-1是3的倍数,也是5的倍数,
所以an-1为15的倍数,所以{an-1}是首项为0,公差为15的等差数列,
所以an=15n-14,
令1≤an≤2 026,可得1≤15n-14≤2 026,
又n∈N+,解得1≤n≤136且n∈N+,
故获得精品吉祥物的人数为136.
思维升华
与等差数列有关的实际应用解题方法
(1)建模:将实际问题转化为数学中的等差数列模型;
(2)求解:利用等差数列知识求出该问题的解;
(3)还原:将所求结果还原到实际问题中.
注意:建立等差数列模型时,要根据题意找准首项、公差和项数.
《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,每人所得依序减,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱 ”(“钱”是古代的一
种质量单位)这个问题中,戊所得为 钱.
训练3
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
【课堂达标】
1.已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则角B等于
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
因为A,B,C成等差数列,所以B是A,C的等差中项,则有A+C=2B,
又因为A+B+C=180°,
所以3B=180°,从而B=60°.
2.在等差数列{an}中,a2=7,a6=21,则a4=
A.14 B.16
C.18 D.28
√
3.在等差数列{an}中,a2,a6是方程x2-3x+1=0的根,则a4= .
4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何 现有一个相关的问题:将1到2 026这2 026个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列的项数为 .
由题知,满足上述条件的数列为14,29,44,…,
该数列为首项是14,公差为15的等差数列{an},
则an=14+15(n-1)=15n-1≤2 026,n∈N+,解得n≤135,
故该数列的项数为135.
135
【课时精练】
√
1.在等差数列{an}中,若a2+a6=6,a5=8,则a2+a7等于
A.22 B.14
C.20 D.11
因为a2+a6=2a4=6,所以a4=3.
又a5=8,所以a2+a7=a4+a5=11.
√
∵b是x,2x的等差中项,
√
3.在等差数列{an}中,若a2,a2 026为方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a1 014+a2 027等于
A.10 B.15
C.20 D.40
∵a2,a2 026为方程x2-10x+16=0的两根,∴a2+a2 026 =10,
由等差数列的性质得2a1 014=10,即a1 014=5.
∴a1+a1 014+a2 027=3a1 014=15.
√
4.在数列a1,a2,…,an,…的每相邻两项中插入3个数,使它们与原数构成一个新数列,则新数列的第49项
A.不是原数列的项 B.是原数列的第12项
C.是原数列的第13项 D.是原数列的第14项
设数列为{bn},
√
A.64 B.100
C.128 D.132
6.(多选)若正项数列{an}是等差数列,且a2=5,则
A.当a3=7时,a7=15 B.a4的取值范围是[5,15)
C.当a7为整数时,a7的最大值为29 D.公差d的取值范围是(0,5)
当a2=5,a3=7时,公差d=2,
a7=a3+4d=7+8=15,故A正确;
因为{an}是正项等差数列,所以a1=5-d>0,即d<5,且d≥0,
所以公差d的取值范围是[0,5),故D错误;
因为a4=5+2d,所以a4的取值范围是[5,15),故B正确;
a7=5+5d∈[5,30),当a7为整数时,a7的最大值为29,故C正确.
√
√
√
7.已知正项数列{an}是等差数列,若a2=2,2(a3+a6)=a3·a6,则2a5-a6的值为 .
4
设等差数列{an}的公差为d>0,a3=a2+d=2+d,a6=a2+4d=2+4d,
由2(a3+a6)=a3·a6,
2(2+d+2+4d)=(2+d)(2+4d),
2(4+5d)=4+8d+2d+4d2,
8+10d=4d2+10d+4,
4d2-4=0,解得d=1,
2a5-a6=2(a2+3d)-(a2+4d)=2×(2+3)-(2+4)=4.
8.已知数列8,a,2,b,-4是等差数列,则a= ,b+a= .
由8,a,2是等差数列,
得2a=8+2,解得a=5.
b+a=8+(-4)=4.
5
4
9.若等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10= .
24
∵{an}是等差数列,
由a1+3a8+a15=5a8=120,
则a8=24,则2a9-a10=a8+a10-a10=a8=24.
10.已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项
设新数列为{bn},公差为d,
(2)新数列的第29项是原数列的第几项
由(1)知an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8,即新数列的第29项是原数列的第8项.
√
设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根分别为a1,a2,a3,a4,
√
设第三行的四个数的公差为d3,
3
(2)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数m,使得a2m=2am+1 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
不存在.理由:因为a2m=2am+1,