人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.2.1等差数列第一课时等差数列的定义课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
第五章 5.2　等差数列 5.2.1　等差数列
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决一些简单的问题.
学习目标
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列,这个数列有什么特征呢 这个数列叫什么数列呢 这正是这一节我们要讲的内容.
引入
课时精练
一、等差数列的定义
二、等差数列的通项公式
三、等差数列中的简单运算
课堂达标
内容索引
等差数列的定义
一
探究1 (链接教材P16尝试与发现)观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题.
我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2026年是马年,从2026年开始,马年的年份对应的数字依次为2026,2038,2050,2062,2074,2086,…;①
我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示,常用确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265,260,255,250,…;②
2026年1月中,每个星期日的日期为4,11,18,25.③
以上数列有什么共同特征
提示　对于①,我们发现
2 038=2 026+12,2 050=2 038+12,…,2 086=2 074+12,
换一种写法,就是
2 038-2 026=12,2 050-2 038=12,…,2 086-2 074=12.
这表明,数列①有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列②③也有这样的取值规律.
等差数列的概念
(1)条件:①数列{an}从第____项起.
②每一项与它的________之差都等于________常数d.即an+1-an=d恒成立.
(2)结论:数列{an}是等差数列.
(3)相关概念:d称为等差数列的______.
知识梳理
2
前一项
同一个
公差
(1)定义中“从第2项起”的原因是第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;
(2)定义中“每一项与它的前一项的差”强调了相邻两项且是后项减去前项;
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数.
温馨提示
(链接教材P17例1)(1)如果一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5,则下列说法正确的是
A.该数列一定是等差数列
B.该数列一定不是等差数列
C.该数列不一定是等差数列
D.以上结论都不正确
例1
√
如果一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5,
该数列可能是等差数列、周期数列或其他数列,
所以该数列不一定是等差数列.故选C.
√
(2)(多选)下列数列中是等差数列的是
A.2,5,8,11 B.1.1,1.01,1.001,1.0001
C.a,a,a,a D.lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000
对于A,因为第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数3,
所以此数列是等差数列,
对于B,因为1.01-1.1=-0.09,1.001-1.01=-0.009,
即1.01-1.1≠1.001-1.01,
所以此数列不是等差数,
对于C,因为第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数0,
√
√
所以此数列是等差数列,
对于D,数列lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000可表示为lg 2,1+lg 2,2+lg 2,3+lg 2,
因为第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数1,
所以此数列是等差数列,故选ACD.
判断一个数列是不是等差数列,关键是看它是否符合等差数列的定义,逐一检验定义中“从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”即可.
思维升华
(1)“a,b,c成等差数列”是“b-a=c-b”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
训练1
√
若“a,b,c成等差数列”,
则“b-a=c-b”,即“a,b,c成等差数列”是“b-a=c-b”的充分条件;
若“b-a=c-b”,则“a,b,c成等差数列”,
即“a,b,c成等差数列”是“b-a=c-b”的必要条件,
综上可得“a,b,c成等差数列”是“b-a=c-b”的充要条件.
√
(2)以下不能构成等差数列的是
A.2,2,2,2 B.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3
C.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a D.a-1,a+1,a+3
A是公差为0的等差数列;B不是等差数列;
C是公差为a的等差数列;D是公差为2的等差数列.
等差数列的通项公式
二
探究2 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗
提示　法一　设一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义,
可得an+1-an= d,
所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,…
于是a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,
…
归纳可得an=a1+(n-1) d(n≥2).
当n=1时,上式为a1=a1+(1-1) d=a1,这就是说,上式也成立.
因此,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1) d.
法二　根据等差数列的定义可得
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d(n≥2),
将上述(n-1)个式子相加得
an-a1=(n-1)d(n≥2),
∴an=a1+(n-1)d(n≥2),
当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式,
∴an=a1+(n-1)d(n∈N+).
以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=________________.
知识梳理
a1+(n-1) d
温馨提示
√
例2
思维升华
基本量法求通项公式
(1)等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示,这里的a1和d就称为基本量.
(2)有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
(1)已知等差数列{an}的前3项分别为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项为
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
√
训练2
因为a-1,a+1,2a+3为等差数列,
则2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0,
可知等差数列{an}的前3项分别为-1,1,3,
即首项为-1,公差为2,
所以此数列的通项为an=-1+2(n-1)=2n-3.
√
等差数列中的简单运算
三
(链接教材P18例2)已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,
(1)求a5.
例3
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
(变换条件、改变问法)已知等差数列{an}满足3a3=4a4,则该数列中一定为零的项为
A.a6 B.a7
C.a8 D.a9
迁移
√
因为3a3=4a4,
所以3a3=4(a3+d)=4a3+4d,
所以a3=-4d,
所以an=a3+(n-3)·d=-4d+(n-3)d=(n-7)d,
所以a7=0.
思维升华
等差数列通项公式的应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
在等差数列{an}中,
(1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项;
训练3
设数列{an}的公差为d,
所以an=7+2(n-1)=2n+5,n∈N+.
令2n+5=91,得n=43.
因为43为正整数,所以91是此数列中的项.
(2)若a2=11,a8=5,求a10.
所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n,n∈N+,
所以a10=13-10=3.
【课堂达标】
1.已知等差数列{an}中,an-an-1=2(n≥2),且a1=1,则这个数列的通项公式为
A.an=2n-1 B.an=2n+1
C.an=n-1 D.an=n+1
√
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n(n∈N+),则它的公差d为
A.2 B.3
C.-2 D.-3
√
d=an+1-an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2,故选C.
3.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=　　　　.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
18
4.{an}是首项a1=2,公差d=3的等差数列,若an=2 027,则n=　　　　.
∵a1=2,d=3,
∴an=2+(n-1)×3=3n-1.
由3n-1=2 027,得n=676.
676
【课时精练】
√
1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,则a4等于
A.5 B.6
C.7 D.9
a4=a1+3d=1+3×2=7.
√
2.在数列{an}中a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为
A.52 B.51
C.50 D.49
由题意,数列{an}满足2an+1-2an=1,
√
√
4.《张丘建算经》有一道题大意为:今有十等人,每等一人,宫赐金,以等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,则每等人比下一等人多得　　　　斤
设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,依次类推,第一等人得金a10斤,则数列{an}构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,
√
5.在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是
A.第13项 B.第14项
C.第15项 D.第16项
由37-40=-3可知等差数列首项为40,公差为-3,
6.(多选)下列说法错误的有
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
√
√
√
A中,1,2,3显然成等差数列,但是1,4,9显然不成等差数列,因此本说法不正确;
B中,0,0,0显然成等差数列,但是log2a,log2b,log2c这三个式子没有意义,因此本说法不正确;
C中,因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
因为2(b+2)-(a+2+c+2)=2b-a-c=0,
所以a+2,b+2,c+2成等差数列,因此本说法正确;
D中,1,2,3成等差数列,但是2a=2,2b=4,2c=8,显然2a,2b,2c不成等差数列,因此本说法不正确.
7.在等差数列{an}中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1=　　　.
-3
设数列{an}的公差为d,
8.首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是　　　　.
设an=-24+(n-1)d,


10.在等差数列{an}中,公差为D.
(1)已知a5-a3=12,a12=20,求a1和d;
(2)已知a1=9,d=-2,an=-15,求n;
(3)已知a3=9,a9=3,求{an}的通项公式.
(1)因为a5-a3=12,所以d=6.
√
√
√
根据题意,数列{an}满足a1=-7,且an+1-an=2(n∈N+),则数列{an}是首项为a1=-7,公差为2的等差数列,
-1
1
13.(1)在等差数列{an}中,已知a3=5,a7=13,求通项公式an;
∵a2+a5=(a1+d)+(a1+4d)=2a1+5d=4,
14.数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N+).
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
因为a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,
(2)是否存在λ的值,使数列{an}为等差数列 若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由.
因为a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,
所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.
若{an}为等差数列,则a1+a3=2a2,
即λ2-7λ+13=0.因为Δ=49-4×13<0,
所以方程无实数解,所以λ值不存在,
所以不存在λ的值使{an}为等差数列.