人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.2.2等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的性质课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
第五章 5.2　等差数列 5.2.2　等差数列的前n项和
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列前n项和的一些性质.
2.掌握等差数列前n项和的最值问题.
3.能在具体情境中发现等差关系,并能建立相应数学模型,解决实际问题.
学习目标
上节课我们学习了等差数列的前n项和公式,以及等差数列的前n项和公式的函数特征,那么等差数列的前n项和还具有哪些独特的性质呢 这一节课我们继续研究等差数列的前n项和的性质.
引入
课时精练
一、等差数列中前n项和的最值问题
二、等差数列中的片段和问题
三、等差数列前n项和的实际应用
课堂达标
内容索引
等差数列中前n项和的最值问题
一
探究1 对于等差数列{an}而言,若a1<0,d>0,其前n项和Sn有最大值还是最小值 若a1>0,d<0呢
提示　若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.
探究2 当公差d≠0时,Sn是关于n的二次函数,能否借助二次函数的性质求Sn的最值,为什么
提示　可以,但需注意自变量n的取值范围.
知识梳理
最大
最小
最小
最大
(链接教材P25例3)在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,则数列的前多少项之和最大 并求此最大值.
例1
即S13最大,由题意及等差数列的性质可得d=-2,
可求得最大值为169.
法二　∵S17=S9,
解得d=-2.
思维升华
思维升华
已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
训练1
由a1=9,a4+a7=0,
得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,
∴an=a1+(n-1)·d=11-2n(n∈N+).
(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值
法一　由(1)知,a1=9,d=-2,
等差数列中的片段和问题
二
等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,那么数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…(k∈N+)是等差数列,其公差等于________.
知识梳理
k2d
温馨提示
已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110.
例2
法一　∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,设公差为d,
思维升华
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些.
(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.
训练2
法一　在等差数列中,
等差数列前n项和的实际应用
三
探究4 如何构造等差数列模型
提示　在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决.若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要注意首项、项数等问题.
(链接教材P26例4)(1)中国载人航天工程发射的第二十艘飞船,简称“神二十”,于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神二十”的长征二号F遥二十运载火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加3 km,在达到离地面222 km的高度时,火箭开始进入转弯程序.则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是　　　　秒.
A.10 B.11
C.12 D.13
√
例3
(2)北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石), 环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石) 3 402块,则上层有扇形石板　　　　块.
405
记从中间向外每环扇面形石板数为{an},则{an}是等差数列,且公差d=9,a1=9,
思维升华
等差数列前n项和的实际应用解题方法
(1)根据题设条件,建立数学模型;
(2)利用数列相关知识求解;
(3)将数学问题得到的解客观化,从而达到解决实际问题的目的.
(1)5G基站建设是众多“新基建”的工程之一,截至2025年7月底,A地区已经累计开通5G基站300个,未来将进一步完善基础网络体系,加快推进5G网络建设.已知2025年8月该地区新建50个5G基站,以后每个月比上一个月多建40个,估计A地区累计开通4 640个5G基站要到
A.2026年10月底 B.2026年9月底
C.2026年8月底 D.2026年7月底
训练3
√
(2)某公司产品研发部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设18个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次,发放的奖金数从多到少依次成等差数列.已知第1名发放900元,前10名共发放6 750元,则该公司需要准备“幸运奖”　　　　元.
8 550
设第1名,第2名,…,第18名所得奖金数分别为a1元,a2元,…,a18元,等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,
【课堂达标】
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=5,S5=2,则S7=
A.7 B.-7
C.-10 D.10
√
因为S2=5,S5=2,
2.(多选)已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是
A.4 B.5
C.6 D.7
√
∵在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,
∴a3+a9=0,∴a6=0.
又公差d<0,∴a5>0,a7<0,
∴使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6.
√
3.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1支,最上面一层放了120支,这个V形架上共放了　　　支铅笔.
从下向上各层所放铅笔数依次为1,2,3,…,120,
7 260
4.已知等差数列{an},S3=7,S6=15,则S9的值为　　　　 .
在等差数列{an}中,由等差数列的前n项和公式的性质得:
S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,
所以有2(S6-S3)=(S9-S6)+S3,
又S3=7,S6=15,
所以2×(15-7)=(S9-15)+7,
所以S9=24.
24
【课时精练】
√
1.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为
A.11或12 B.12
C.13 D.12或13
∵an=26-2n,∴an-an-1=-2,
√
2.我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排,共680个座位,从第二排开始,每一排都比前一排多两个座位,则该电影院大厅最后一排的座位数为
A.53 B.51
C.15 D.16
由题意,设该电影院放映大厅第n排座位有an个(1≤n≤20),
√
3.(多选)已知等差数列{an}中,a1 013=4,S2 026=2 026,则下列结论正确的是
A.a1 013+a1 014=-2 B.a1 014=-2
C.S2 027=4 054 D.a1+a2 026=2
由{an}是等差数列,
√
√
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n的值为
A.8 B.7 C.6 D.9
√
∵{an}是等差数列,a1=1,
6.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,则下列判断正确的是
A.d<0 B.S11>0
C.S12<0 D.数列{Sn}中的最大项为S11
∵S6>S7,∴a7<0,
√
√
7.若一个等差数列的前5项和为15,后5项和为145,且该数列共有31项,则这个等差数列的公差为　　　　.
1
设这个等差数列为{an},
则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15,a27+a28+a29+a30+a31=5a29=145,
8.“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月共织九匹三丈.”其大意为:“现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(按30天计算)共织布390尺.” 则每天增加的数
量为　　　　尺,设该女子一个月中第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17=　　　　.
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,


9.首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S3=S8,当n=　　　　时, Sn取到最大值.
5或6
∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,∴a6=0.
∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.
故当n=5或6时,Sn最大.
10.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.
(1)求数列{an}的通项公式;
设公差为d,d≠0,
(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
又因为Sn>an,an=2n-6,所以n2-5n>2n-6,
即n2-7n+6>0,所以n<1或n>6,
因为n∈N+,所以nmin=7.
√
11.(多选)设数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且S7S10,则下列结论正确的是
由S7即a8>0,又∵S8=S9,
∴a1+a2+…+a8=a1+a2+…+a8+a9,
∴a9=0,故B正确;
A.d<0 B.a9=0
C.S11>S7 D.S8,S9均为Sn的最大值
√
√
同理,由S9>S10,得a10<0,
∴d=a10-a9<0,故A正确;
对于C,S11>S7,即a8+a9+a10+a11>0,
可得2(a9+a10)>0,
由结论a9=0,a10<0,显然C错误;
∵S7S10,
∴S8与S9均为Sn的最大值,故D正确.
12.若数列{an}满足an-an-1=3(n≥2),a3=-10,则数列的通项公式an=　　　　,设Sn为数列{an}的前n项和,那么当n=　　　　时Sn的值最小.
因为an-an-1=3(n≥2),所以{an}是公差d=3的等差数列,又a3=-10,
3n-19
6
13.某水库共可蓄水130 000立方米,该地区去年8月1日零时至8月22日24时为大汛期,在大汛期中第n天注入水库的水量为f(n)=n·P+100立方米,其中P为定值.已知8月1日零时水库的存水量为110 000立方米,且大汛期的第一、二天注入水库的总水量为1 700立方米.
(1)求P的值;
因为第n天注入水库的水量为f(n)=n·P+100立方米,且大汛期的第一、二天注入水库的总水量为1 700立方米,
则有1 700=1×P+100+2×P+100,
解得P=500.
(2)该水库有两个泄洪闸,每打开一个闸门,一天可泄水6 000立方米,为了保证水库的安全,又要减轻下游地区的抗洪压力,指挥部于8月8日零时打开了第一个泄洪闸,问第二个泄洪闸最迟应在哪一天打开
由(1)可知f(n)=600+500(n-1),f(n)可以看作首项为600,公差为500的等差数列,
14.在①a5=6,a1+S3=50;②S12>S9,a2+a21<0,③S9>0,S10<0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解决问题.
问题:设等差数列{an}的前n项和为Sn,若　　　　,判断Sn是否存在最大值 若存在,求出Sn取最大值时n的值;若不存在,说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
选①:设数列{an}的公差为d,
∵a5=6,a1+S3=50,