人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.3.1等比数列第三课时等比数列的性质课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
第五章 5.3　等比数列 5.3.1　等比数列
1.理解等比中项的概念.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.
3.能运用等比数列的性质简化计算,并能利用它解决有关等比数列的问题.
学习目标
前面我们一起对等差数列、等比数列的有关知识进行了探索与研究,对比等差数列的有关性质,等比数列是否也具有类似的性质呢
引入
课时精练
一、等比中项
二、等比数列的性质
三、等比数列的实际应用
课堂达标
内容索引
等比中项
一
如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的__________.即G2=______.
知识梳理
等比中项
xy
(1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
(4)如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列一定是等比数列.
温馨提示
例1
√

√
因为{an}成等比数列.
思维升华
训练1
√
(2)在等比数列{an}中,a1=1,公比为2,则a2与a8的等比中项为　　　　.
∵数列{an}是等比数列,
±16
等比数列的性质
二
知识梳理
asat=apaq
ap,as,aq
(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz.该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同.
(2)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,
即a1·an=a2·an-1=….
温馨提示
温馨提示
(1)已知数列{an}为等比数列.若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=　　　　.
例2
∵an>0,∴a3+a5>0,
∴a3+a5=5.
5
(2)(链接教材P34例7)在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于　　　　.
设a1=2,a5=8,
64
在例2(1)中,添加条件a1a7=4,求an.
迁移
由等比数列的性质得a1a7=a3a5=4,
思维升华
在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算.若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦.通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
在等比数列{an}中,已知a4+a7=2,a5a6=-8,求a1+a10.
训练2
因为数列{an}为等比数列,所以a5a6=a4a7=-8.
等比数列的实际应用
三
探究3 如何建立等比数列模型
提示　(1)由特例入手,归纳总结一般情形,进而建立等比数列的模型.
(2)仔细审题,抓住可建立等比数列的“题眼”(如“增长率”“递减率”“利率”等),直接建立等比数列模型.
(3)从一般入手,结合特例分析,寻找递推公式,利用等比数列的定义建立等比数列模型.
(链接教材P36练习AT5)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元,并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长12%,则该公司需经过　　　　年其投入资金开始超过7 000万元.
(参考数据:lg 1.12≈0.049,lg 2≈0.301,lg 7≈0.845)
例3
12
设该公司经过n年投入的资金为an万元,则a1=2 000×1.12,
思维升华
等比数列实际应用的求解策略
(1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
(2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.
《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.如:100,60,36,21.6四个数,递减的比例为40%,那么“衰分比”就等于40%.今共有粮m(m>0)石,甲、乙、丙、丁4人按顺序进行“衰分”,已知乙分得80石,甲、丙所得之和为164石,则“衰分比”为
A.20% B.25%
C.75% D.80%
训练3
√
根据题意,设衰分比为x%,甲分到a石,0又由今共有粮食m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,
已知乙分得80石,甲、丙所得之和为164石,
则a(1-x%)=80,a+a(1-x%)2=164,
解得a=100,x=20.
【课堂达标】
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
√
所以a3,a6,a9成等比数列.
2.已知实数m是2,8的等比中项,则m=
A.±4 B.-4
C.4 D.5
√
因为实数m是2,8的等比中项,
所以m2=2×8=16,得m=±4.
3.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=　　　　.
7
4.(链接教材P37练习BT7)理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,如图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,反复进行这一过程.若第一个正三角形(图①)的边长为1,则第5个
图形的周长为　　　　.

【课时精练】
√
√
2.(多选)已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于
A.6 B.-6
C.-12 D.12
∴ab=±6.
√
√
依题意可设,竹子自上而下各节的容积成等比数列{an},设其公比为q(q≠0),由上面3节的容积之积为3,下面3节的容积之积为9,
√
4.在等差数列{an}中,a4=9,且a2,a4,a10构成等比数列,则公差d等于
A.-3 B.0
C.3 D.0或3
设等差数列{an}的公差为d,因为a4=9,a2,a4,a10构成等比数列,
√
5.在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10等于
A.6 B.2
C.2或6 D.-2
由题意知a2+a18=-6,a2·a18=4,
6.(多选)对任意的等比数列{an},下列说法一定正确的是
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a1a3,a5a7,a9a11成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
设等比数列{an}的公比为q,
√
√
7.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a11+2a6a8+a3a13=25,则a1a13的最大值
是　　　　.
根据题意,在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a11+2a6a8+a3a13=25,

3(答案不唯一,3,4均可)
2
设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
√
11.(多选)设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是
A.若a1=1,a5=4,则a3=2 B.若a1+a3>0,则a2+a4>0
C.若a2>a1,则a3>a2 D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2
若a1+a3>0,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,因此B不正确;
若a2>a1,则a1(q-1)>0,于是a3-a2=a1q(q-1),其正负由q确定,因此C不正确;
若a2>a1>0,则a1q>a1>0,可得a1>0,q>1,
所以1+q2>2q,则a1(1+q2)>2a1q,即a1+a3>2a2,因此D正确.
√
12.已知等比数列{an}满足:an>0,a4+a6=5,a3a5=1,则公比q=　　　,a1a2…an的最小
值为　　　.
又因为an>0,所以a4=1,
又因为a4+a6=5,
即1+q2=5,解得q=2;
因为a4=1,q=2,
所以an=2n-4,
2

因为3Sn=an+2a1,
设等比数列{an}的公比为q,
因为{an}是递增的等比数列且a3=2,所以q>1.
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列 若存在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由.
由题意知an+1=an+(n+2-1)dn,